Московская аспирантура

Школа Лузина

Московский университет в то время был одним из мировых центров математики. Математическая школа в Москве расцвела перед самой революцией, во время революции и гражданской войны. Это происходило в очень тяжёлых материальных условиях. Образовалась она из студентов Московского университета вокруг Николая Николаевича Лузина, недавно вернувшегося из Гёттингена и Парижа.  Некоторых из его учеников я знал, бывал на их лекциях и семинарах и сохранил о них впечатление.

Николай Николаевич Лузин  был купеческий сын из Томска. Однажды в Томске я видел на одной квартире уцелевшую табличку его отца.

Он получил обычное образование в гимназии. Но  в гимназии он по математике учился плохо, не успевал. Это свидетельствует только о том, что у него был, по-видимому,  плохой учитель. Но он интересовался математикой и поступил в Московский университет. В ту пору Московский университет по математике был ещё слаб, и по окончании Московского университета он поехал в Париж. Это было незадолго до революции, может быть, в 1912 или 1913 году, где познакомился с французской математической школой.

Он рассказывал, что наибольшее впечатление на него произвели лекции Пуанкаре. Это особенно любопытно, поскольку его собственные научные интересы были далеки от этого. Пуанкаре рассказывал методы возмущения в небесной механике. Лузин никогда не занимался этими сюжетами, но его совершенно изумило, в каком стиле тот читал лекции.

Пуанкаре обычно в начале лекции ставил задачу – нерешённую задачу – и принимался её решать. К концу лекции задача могла быть решена, продвинута или не удавалась. Все эти возможности случались, но слушатели имели возможность присутствовать при совершенно необычном явлении – они наблюдали процесс решения задачи первоклассным математиком: как он думает, какие пути он ищет. И это настолько расходилось с привычками, господствовавшими в то время в Московском университете, что Лузин был этим потрясён.

В обычных европейских университетах читали курс по каким-нибудь учебникам, придерживаясь известного порядка, и рассказывали только хорошо известные вещи. Причём искусство профессора заключалось в том, чтобы не запутаться в предмете и аккуратно изложить известное.

Пуанкаре рассказывал совершенно неизвестные вещи, вначале неизвестные ему самому – это был процесс творчества. Такой совершенно новый и необычный подход к построению лекций поразил Лузина,  хотя сам предмет рассказа Пуанкаре его не интересовал. Его интересовали другие сюжеты.

Дело в том, что  как раз в начале века во Франции произошёл очень значительный перелом в математическом мышлении, связанный с появлением теории функции действительного переменного. Это было расширение классического анализа, которое в первую очередь связывается с появлением меры интеграла Лебега. Лебег был французский математик совершенно иного стиля, чем Пуанкаре, отнюдь не пользовавшийся такой известностью. И даже то, что он делал, было плохо принято классиками, в том числе и Пуанкаре. А ввёл он новое понятие меры и интеграла. Достаточно сказать, что тот интеграл, с которым мы теперь имеем дело,– это интеграл Лебега. Старое определение интеграла Римана он вытеснил. Новые понятия, которые были введены такими математиками как Лебег, Борель, Бер, Фату, произвели сильнейшее впечатление на Лузина, потому что как раз эти вещи были в духе его собственных интересов.

Когда он вернулся в Москву, он стал пропагандистом  и идеологом теории  функции действительного переменного, что было совершенно новым направлением и сразу же получило большую популярность в Московском университете. Эта популярность была не только положительным явлением, она несла в себе некоторый отрицательный элемент. Молодые люди, которые увлеклись функциями действительного переменного, перестали интересоваться классическим анализом. Классическая математика вообще вышла из моды в этой среде.  Достаточно сказать, что курс уравнений в частных производных, который читали в университете, вызывал общее отвращение – их называли ``несчастными производными’’. А между тем, ведь это предмет, который стоит прямо на границе приложений анализа к математической физике. Впоследствии оказалось, что московская математическая школа породила превосходных исследователей и в этой области, но это было потом.

Николай Николаевич Лузин был очень своеобразный человек. Он был энтузиастом, загоравшимся новыми идеями, пропагандировал эти идеи и в высшей степени обладал способностью образовывать учеников. А этой способности не имели многие величайшие математики. Например, Пуанкаре не имел ни одного определённого, несомненного ученика. Образование школы – это совершенно особый талант. Если, например, говорить о физиках, то Эйнштейн не имел учеников. У него  были сотрудники-секретари или нечто в этом роде, но сильных физиков, которые могли бы быть названы его учениками, у него не было.

Для того, чтобы иметь учеников, необходимо умение работать с молодёжью, которое в значительной степени независимо от математического таланта. Лузин не был великим математиком. Ему не принадлежат фундаментальные математические результаты, хотя, конечно, теорема Лузина об аппроксимации измеримых функций непрерывными является классической теоремой теории функций действительного переменного, и Лузину принадлежит важный вклад в дескриптивную теорию  множеств. Однако он в высшей степени обладал способностью образовывать учеников – не обучать учеников, а именно образовывать их.

Самым блестящим из его учеников, несомненно, был Андрей Николаевич Колмогоров. Он был одним из великих математиков двадцатого века. Это был человек с оригинальными идеями. Достаточно сказать, что ему принадлежит первая общепринятая аксиоматика теории вероятностей. Он сделал теорию вероятностей строго математической наукой в своей книге 33-го года. Колмогоров отличался универсальным охватом математических предметов, то есть его работы относились едва ли не ко всей математике.

С Колмогоровым был тесно дружен Павел Сергеевич Александров. Оба они были родом из Смоленска и оба из старых интеллигентских семей. Они представляли собой элемент старой, традиционной русской интеллигенции, которую я очень высоко ценю и пытаюсь всячески поддержать её продолжение.

У Павла Сергеевича Александрова не было такой универсальности.  Это значит, что талант его был ниже, чем у Колмогорова. Он не был великим, он был выдающимся математиком. Начинал он с теории множеств в стиле Лузина. А потом он занялся так называемой теоретико-множественной топологией. Топология и составляла в математике его преимущественный интерес.

Дмитрий Евгеньевич Меньшов и Нина Карловна Бари занимались тригонометрическими рядами в стиле теории функций действительного переменного. Их я лично не знал, и даже не помню, чтобы их видел. Они, конечно, появлялись на факультете и были тогда активны, но я не интересовался этим предметом.

Пётр Сергеевич Новиков был гениальный математик, который последовал по пути теории множеств. И более того, развил её в ту сторону, в которую Лузин не мог или не хотел её развивать. А именно, от теории множеств он перешёл к тесно связанной с ней математической логике. Ему принадлежат важнейшие результаты в математической логике и в алгебре, потому что он был ещё и выдающимся алгебраистом.

Он был скромен, похожий на колхозного бухгалтера, ходил в очень рваных башмаках – тогда было трудно с этим. У него я был на одной только лекции по математической логике, и она мне очень понравилась, но я не имел возможности всё слушать – не мог разбрасываться. Он сказал тогда: ``А кто знает, может быть теорема Ферма и неразрешима’’. Это значит, что её нельзя ни доказать, ни опровергнуть. Для меня было большим потрясением, что такие вещи бывают. Он ошибся, потому что она оказалась всё-таки доказуемой.

Появились также люди несколько иного направления, которые отошли от интересов школы Лузина.

Лазарь Аронович Люстерник и Лев Генрихович Шнирельман вначале работали вместе и были соавторами. Их знаменитая работа о замкнутых геодезических была как раз в традициях Пуанкаре и была связана с дифференциальной геометрией и топологией. Сюжеты эти уже далеко ушли от того, чем занимался Лузин. Это направление как раз и стало моей специальностью.

Моложе других был Лев Семёнович Понтрягин. Он был учеником не самого Лузина, а П.С.Александрова. Он занялся топологией, но не теоретико-множественной, как Павел Сергеевич, а комбинаторной топологией. Теперь её называют алгебраической топологией.  Из Понтрягина выработался классик, совершенно первоклассный математик, проложивший новые пути в топологии.

И, наконец, появилось классическое по сюжету направление математического анализа – дифференциальные уравнения. Совершенно новые и сильные результаты стал получать Иван Георгиевич Петровский, который, как и Лузин, был учеником Дмитрия Федоровича Егорова. На семинарах Петровского я никогда не был и его предметом тогда не интересовался, хотя впоследствии даже очень интересовался.

Можно упомянуть ещё таких математиков, как Вячеслав Васильевич Степанов (ученик Д.М.Егорова), специалист по обыкновенным дифференциальным уравнениям, и Виктор Владимирович Немыцкий, который занимался функциональным анализом и дифференциальными уравнениями. Степанов был автором известного учебника дифференциальных уравнений, по которому я учился. А Немыцкий – автором той самой статьи, которая повлияла на моё решение заниматься функциональным анализом и ехать в Москву. Она произвела на меня сильнейшее впечатление.

А потом появились новые люди, которые уже не были учениками Лузина. Среди них самым выдающимся математиком и основателем школы был Израиль Моисеевич Гельфанд. Я не знаю, чьим учеником был Израиль Моисеевич и был ли он вообще чьим-нибудь  учеником. Он начал внезапно, с очень новых и сильных результатов. Происходил он откуда-то из провинции, из Бессарабии. В Москве его энергично поддержал Колмогоров, который понял его талант и его оригинальные результаты.

Московская математическая школа

Как функционировала эта школа в эпоху её расцвета? Территориально московская математическая школа была связана с Московским университетом. Мехмат Московского университета тогда был крупнейшим математическим центром.  Теперь об этом очень странно говорить, потому что в наше время всё это в далёком прошлом – хотя роль российской математики всё ещё значительна, она никак не сравнима с тем, что было тогда.

Фольклор, который был распространён в Московском университете, утверждал: ``До войны было две главных математических школы: одна из них – немецкая школа в Гёттингене, которая приняла уже интернациональный характер, а другая – московская математическая школа. Нацисты, конечно, уничтожили немецкую школу, но спасшиеся из Германии математики вместе с американскими математиками создали математическую школу в Соединённых Штатах’’.

Осенью 46-го года, когда я появился в Москве, там думали, что теперь есть две математических школы – американская  и  московская. Причём никакого комплекса неполноценности у москвичей не было. Они полагали, что эти школы равноправны, равноценны и сопоставляли их довольно бесцеремонно, вплоть до комического. Топологи, например, говорили, что в Америке есть Стинрод  (уже тогда знаменитый тополог), а у нас в Москве есть Кронрод (он подавал надежды стать выдающимся математиком, но не оправдал этих надежд, потому что перестал заниматься математикой).

Претензия эта на самом деле была неосновательной, потому что московская математическая школа, конечно, не могла выдержать конкуренции с американской. Американская, была сильнее.  Там уже были собственные выдающиеся математики – коренные  американцы: Морс, Лефшец и, в особенности,  Джордж Дэвид Биркоф и Винер. Но когда предвоенная и нищая послевоенная Европа экспортировала в Америку нескольких своих самых выдающихся математиков, среди которых был, например, Фон Нейман, американская математическая школа  превратилась, по существу, в международный центр.

Второе обстоятельство, которое делало эти школы неравными и сказалось на их судьбе, состояло в том, что американская школа имела прекрасные возможности для развития. Это была богатая и свободная страна, где учёных щедро оплачивали, положение учёных в Америке как раз в это время стало очень почётным, и математические школы там создавались не в одном каком-нибудь месте, как у нас в Москве, а в целом ряде университетов, где бурно развивалась математика.

Более того, в отличие от Москвы, у них была органическая связь с другими науками: с физикой, биологией, что и проявилось в работах Винера, создавшего кибернетику. Словом, Америка впитала в себя все математические силы Европы, а Москва этого не сделала и не могла сделать, потому что иностранцам въезд в Россию был почти невозможен. И когда из Германии разъехались эмигранты, Москва этим не воспользовалась. Одного только человека я знал в Москве, который приехал из Германии и работал в Московском университете – это был Плеснер, крупный специалист по функциональному анализу. Он был, пожалуй, пионером функционального анализа в Москве. Это не был математик мирового масштаба, скорее, солидный специалист по своей части. Но ему повезло – будучи иностранцем и приезжим из Германии, он остался в живых, не был арестован и умер своей смертью. Для Советского Союза это можно было считать большим достижением.

А когда советская власть перешла к активному разрушению науки, Московская математическая школа была обречена.

Университет

В аспирантуре. Москва, осень 1946

Осенью 1946 года я приехал в Москву. И вот пришёл я, никому не известный оборванец, в Институт Математики Московского университета. Директором этого института был Вячеслав Васильевич Степанов, автор знаменитого учебника дифференциальных уравнений. Он реагировал на моё появление очень замечательно: ``Для нас большая честь, что к нам приезжают учиться издалека’’. Я был потрясён этими словами. Никакой чести университету от меня не было. Я был никому не известен, а университет был старый и знаменитый. Но Вячеслав Васильевич Степанов был представитель старой интеллигенции.

В общежитие мне удалось устроиться далеко не сразу, а после больших хлопот. Пришлось ходить в главное управление университетами, которое должно было заняться устройством моей койки в общежитии. А пока меня приютил Михаил Васильевич Охотин – учёный, кандидат технических наук. Он мне предоставил свою подмосковную дачу, где я и жил, в полной изоляции и в ужасающем холоде, потому что уже была поздняя осень. Вопросы питания тогда тоже были почти неразрешимы – московских карточек у меня ещё не было. Что я ел, находясь на этой даче, я просто не могу припомнить. Единственное воспоминание, что в Москве я покупал какие-то пирожки, которые продавали на улице. С чем они были, мне даже страшно подумать.

Старые здания Московского университета находятся в центре Москвы, напротив Манежа. Если встать к ним лицом, то можно увидеть памятник Герцену и Огарёву. Слева от него был расположен корпус точных наук, а справа – корпус гуманитарных наук. В этот второй я никогда не заходил – мне это было неинтересно. А в корпусе точных наук я проводил б\'{o}льшую часть своего времени. В левом крыле этого корпуса находился Кабинет математики – прекрасная математическая библиотека, которая стараниями Московского математического общества получала все важнейшие мировые журналы, монографии. И всё это делалось несмотря на отсутствие валютных ассигнований.

Дело в том, что Московское математическое общество и московский университет имели обменный фонд. Они издавали Математический сборник, один из старейших и самых солидных математических журналов Европы, они издавали интересные математические книги, поэтому им было чем обмениваться. Обмен был искусно организован и, самое главное, вёлся не равнодушными библиотекарями, а настоящими энтузиастами этого  дела под наблюдением математиков. Это была прекрасно снабжённая математическая библиотека. Там я и работал.

Математическая работа в Московском университете происходила в двух учреждениях, одним из которых был Математический институт при Московском университете. Его не надо путать с Академическим институтом математики им.\,Стеклова, который с Московским университетом не был связан. Выдающиеся математики обычно работали в обоих местах. Директором института математики был Вячеслав Васильевич Степанов.

Этот институт представлял собой учреждение, которое можно было бы назвать излишним, потому что на самом же деле был математический факультет. Зачем был ещё институт? Но это имело свой смысл, потому что это было административное звено, независимое от института Стеклова. Как я потом понял, это было важно, потому что в Стекловском институте была дурная традиция, казённая, бюрократическая и антисемитская.  А в Институте при Московском университете традиция была интеллигентская, на старый лад. Этот институт вскоре после моего отъезда из Москвы закрыли. Я не знаю, почему начальство решило его закрыть, но это не было связано с арестами – никого не арестовали.

Вторым учреждением было Московское математическое общество, на заседаниях которого я несколько раз бывал, но не часто. Доклады на Московском математическом обществе были для меня недоступны. Они адресовались уже образованным математикам, касались специальных предметов, которых я большей частью не знал, а активного участия в математической жизни  я принимать не мог – я был начинающим математиком. Там я слышал доклады Понтрягина в 48-ом году. А докладывал он свои характеристические циклы. Я не имел понятия тогда, что это великая, очень важная идея, хотя мне это было очень интересно.

Семинары

Но самая главная часть жизни Московской математической школы протекала в семинарах. Здесь я  познакомился с тем, что такое семинары. Впоследствии я утратил такую возможность, потому что в тех местах, где я работал потом, не было достаточно сильных и заинтересованных математиков, чтобы образовывать семинары. Их не было в Томске, где я потом работал.  Их не было и в Новосибирске, несмотря на то, что туда переехало несколько крупных математиков. Но там ни разу не было активно действующего семинара. Делались попытки их организовать, но они не шли, не получались.

Для того, чтобы семинар создался, нужны особые условия, и, прежде всего, нужен руководитель семинара, инициатор, крупный математик, имеющий учеников. Эти ученики работают в семинаре, когда они уже есть, и образуются заново, когда они приходят в семинар. В семинаре этом ставятся задачи  и докладываются решения задач, делаются рефераты по чужим работам и всё время обсуждаются математические вопросы.

Семинарская форма работы в математике, по-видимому, не была развита в прошлом. Я не уверен, что такие семинары где-нибудь были в девятнадцатом веке. Конечно, люди собирались и обсуждали разные вопросы, но такой организационной формы как семинар, не было. А это была именно форма организации, потому что семинары были постоянно живущими учреждениями, они продолжались, и некоторые из них продолжались даже после смерти основателя – его ученики брали на себя роль руководителей семинара, – но чаще всего в таких случаях разрушались.

Семинаров было много, и они охватывали обширный спектр математических наук. Была доска объявлений, на которой прикалывали кнопками написанные от руки, очень небрежные листочки: ``Семинар такого-то (или таких-то, потому что были семинары, возглавляемые двумя или тремя лицами) начинается тогда-то, будет проходить по вторникам в такое-то время’’. И вот передо мной, приехавшим из глубокой провинции, открылась бездна математической премудрости. Там были представлены все области математики, как я полагал. И в самом деле, если не все, то большинство из них были там представлены, и представлены первоклассными именами. Можно было идти в эти семинары и участвовать в них, если для этого было понимание.

Семинар  Гельфанда был самый многочисленный и самый популярный. Это было связано с тем, что он занимался функциональным анализом в новом направлении, в значительной степени начатом им самим. Он был инициатор так называемых нормированных колец, которые впоследствии назвали банаховыми алгебрами. На самом деле их, наверное, надо было бы называть алгебрами Гельфанда, но так как были банаховы пространства, а тут появились алгебры с банаховой нормой –  их назвали банаховыми алгебрами. Сам Гельфанд называл это нормированными кольцами.

Это была очень популярная тематика, самая модная тогда область функционального анализа, и в семинаре Гельфанда было человек 50 – это был чрезвычайно многолюдный семинар. Там были его ученики и сотрудники, некоторые уже были доктора наук – они сидели в первом ряду. Когда Гельфанд со своей обычной манерой задавал кому-нибудь провокационный вопрос, желая показать своё превосходство или возбудить интерес публики, он говорил: ``Сначала говорят только доктора’’. И доктора говорили, конфузились, к большому удовольствию Гельфанда.

Но то, что происходило в семинаре Гельфанда, показалось мне непонятным и странным. Дело в том, что как раз в ту пору Гельфанд переходил от своей тематики нормированных колец к новому сюжету – к представлениям групп.

Очень забавно, что как раз теперь я сижу за представлениями групп, а в то время я ими не занимался, не интересовался, и я вовсе не знал, зачем это нужно. Дело в том, что мои занятия физикой тогда были эпизодические, и хотя физика меня очень интересовала, но я не знал ещё, какую роль играет теория групп в квантовой механике. Гельфанд это знал, и он надеялся с помощью представлений групп сделать продвижение в физике. Его надежды в области физики не оправдались – ему не удалось открыть никаких новых релятивистски инвариантных уравнений, и в физике он ничего существенного не сделал, как это теперь ясно. Но тогда они занимались представлениями групп, причём не конечномерными представлениями, а бесконечномерными, значение которых Гельфанд, безусловно, понимал.

Его главным помощником по этой части был Марк Аронович Наймарк. С Наймарком они занимались и нормированными кольцами, и потом – представлениями групп, бесконечномерными представлениями. Это была алгебра, и она казалась мне трудной и непонятной. Дело в том, что моё развитие пошло по линии геометрии – я геометр по вкусам и настроению, а алгебра была мне чужда. А так как я вдобавок не слушал никаких хороших курсов в университете и ни один алгебраист на меня не влиял, то я был невежествен в алгебре. И я не понимал, зачем всё это делается, мне это было неинтересно, а я ведь приехал заниматься тем, что меня интересовало. Я увидел, что тем функциональным анализом, который был в статье Немыцкого (а меня больше всего в ней привлёк принцип  неподвижной точки в применении к функциональным уравнениям), здесь не занимались. И топологическими методами функционального анализа Гельфанд не занимался – он занимался алгебраическим аппаратом.

Кроме того,  хотя Гельфанд и был одним из самых выдающихся математиков двадцатого века, он был крайне неприятный человек. В нём был какой-то сильно развитый комплекс неполноценности. Очевидно, он страдал от чего-то ещё в детстве. При обсуждении всяких  математических вопросов он очень бесцеремонным образом демонстрировал свои способности, своё превосходство. Он это делал даже без всякой необходимости, с начинающими математиками. Он высмеивал людей, которые высказывали неправильные точки зрения, высмеивал чужие ошибки и, что самое главное, он совершенно не способен был уважать и оберегать самолюбие молодых людей.  Его поведение было вызывающе неприятным. Это не только моё мнение, так думали о нём и другие люди, его знавшие. Кто с ним сотрудничал, должны были его терпеть и, вероятно, натерпелись немало.

Особенно должен был терпеть его и приспосабливаться к нему его друг и ближайший ученик Георгий Евгеньевич Шилов. Он был очень хороший человек. Поскольку в семинаре Гельфанда было много студентов и аспирантов, не понимавших тех дискуссий и докладов, которые там происходили, был устроен подсеминар для молодёжи. Этим подсеминаром руководил Шилов. Он давал студентам задачи, но не те задачи, что в учебниках, а нерешённые задачи. И они их иногда решали, как я слышал. В одну задачу я вцепился. Это была задача по функциональному анализу, связанная с теорией функций комплексного переменного, которую я уже в то время знал.

И сидя на холодной даче, я принялся думать над этой задачей. Думал, думал, думал и вдруг решил. Причём в математике ведь так бывает, что если ты решил задачу, то это твёрдо знаешь.  Это не искусство, где оценку сделанного может дать только специалист, эстет, где человек может иметь иллюзии. Полно людей, которые имеют иллюзии, что они художники, что они композиторы и т.д. Но в математике если задача  решена, то логическая процедура ее решения должна быть верна, и это стандартным образом проверяется. Поэтому человек, решивший задачу, знает, что он решил её.

Я пришёл на семинар, окрылённый этим, и рассказал Шилову, что решил задачу так-то и так-то – быстро объяснил ему у доски идею решения. Она ему понравилась, он сказал: ``Мы будем писать заметку в «Доклады»’’.

``Доклады Академии Наук’’ – это был серьёзный журнал, но там печатались и начинающие математики Московского университета, как только у них получались серьёзные результаты. Я был на восьмом небе. Теперь я не могу даже припомнить эту задачу. Но тот факт, что Шилов предложил её решать а потом напечатать работу в Докладах, свидетельствует о том, что это была не такая уж тривиальная задача. И вот на семинаре Георгий Евгеньевич рассказал Гельфанду, что Фет доказал такую-то вещь, на что Израиль Моисеевич ответил: ``А зачем ты, Юра, даёшь глупые задачи?’’. Георгий Евгеньевич что-то пробормотал. В то время он уже был очень известный математик, но чтó он мог против Гельфанда? Так увяла моя первая работа. Впоследствии я сделал другие, но мне было бы куда легче жить, если бы была опубликована та заметка в Докладах – это бы свидетельствовало о том, что я могу решить серьёзную задачу.

Доступ в семинары был совершенно открытый, каждый желающий мог приходить, садиться, слушать, задавать вопросы, что иногда приводило к конфузам, но молодые люди не должны конфузиться этим. Семинары – это то место, где студенты получали специальность.

Семинар Люстерника, в отличие от Гельфанда, был очень маленьким. Там было человек 7–8, не больше, причём это были разные люди.  Некоторые из них были взрослые математики (как например, Лев Эрнестович Эльсгольц, а другие были аспиранты.  Были также взрослые математики, не работавшие в университете. Почему там было так мало народу? Дело в том, что предмет этот не был модным. Люстерник занимался топологическими методами в геометрии и в функциональном анализе. Для этого нужны были разносторонние знания. Нужно было знать топологию, причём не теоретико-множественную топологию, которой занимался Александров, а более серьёзную, алгебраическую топологию. И надо было знать приложения – анализ и геометрию, к которым эти методы применялись, то есть надо было знать широкий спектр математических наук.

Я не знаю, как справлялись с этой многосторонностью участники семинара Гельфанда, но семинар Люстерника явно отпугивал людей тем, что там надо было много знать. Но так как меня это интересовало, то я не испугался, а стал туда ходить и разбираться во всём этом.

Стиль этого семинара был совсем другой. Лазарь Аронович Люстерник был известен своей сделанной вместе со Шнирельманом классической уже работой о замкнутых геодезических, где он доказал гипотезу Пуанкаре о трёх замкнутых геодезических на замкнутых поверхностях рода нуль. У него были и другие важные работы. Он хорошо разбирался в геометрии и анализе и применял там топологические методы. Хотя сам он новых топологических результатов не выдавал, но он применял эти методы к геометрии и анализу. Это было для меня необычайно интересно.

Лазарь Аронович был человек очень добродушный, доброжелательный. У него была некоторая ирония, но он был совершенно свободен от наглости и вызывающих манер Гельфанда. Обращение его было ровным, без этого рангового порядка, который был в семинаре Гельфанда. Он был математик очень сильных способностей и, вероятно, гораздо больше бы сделал в своих областях, если бы больше работал.

Он никогда не занимался моим развитием, но он отвечал на мои вопросы и дал мне задачу, которая стала моей кандидатской диссертацией. Впоследствии я узнал, что эта задача была в его собственном плане научной работы. Я вспоминаю его с благодарностью, хотя он был человек не очень внимательный. Я ему обязан в научном смысле – он дал направление моей научной работе. Когда я оказался без работы, он сделал всё, чтобы оказать мне поддержку. Он говорил обо мне с Соболевым и, вероятно, это привело к тому, что меня приняли в Институт Математики, потому что Соболев меня лично не знал. А если в нём не было активного участия к людям, то  я сам в этом отношении ничем не лучше. Когда я вспоминаю своё отношение к моим ученикам, то понимаю, что тоже мало занимался их личностью: не знал, где они живут, чем они живут, и только потом уже начал этим интересоваться.

Павел Сергеевич Александров был очень колоритной фигурой. Он был из интеллигентской семьи, с разными интеллигентскими наклонностями. В молодости он увлёкся гипотезой континуума Кантора,  пытался доказать её и убил на это несколько лет. Этот интерес неудивителен, поскольку он был одним из самых первых учеников Лузина, а Лузин мечтал, что кто-нибудь докажет или опровергнет эту гипотезу. Он любил говорить: ``Придёт еврейский мальчик и докажет гипотезу континуума’’. Но когда такие мальчики приходили, они, увы, занимались не этим: Гельфонд стал знаменитым арифметиком, специалистом по теории чисел, а Шнирельман, на которого Лузин возлагал особые надежды, тоже не стал заниматься теорий множеств и к тому же рано погиб. Впоследствии гипотеза континуума оказалась в очень своеобразном положении. Оказалось, что исходя из обычных аксиом математики она не может быть ни доказана, ни опровергнута. Этот потрясающий результат Лузин отчасти предчувствовал в последние годы жизни, а думать об этом он не переставал никогда, как я узнал со слов Алексея Андреевича Ляпунова, который называл себя последним учеником Лузина. Несколько математиков на этом сошло с ума, в том числе и сам Кантор.

Затратив на это несколько лет, Павел Сергеевич впал в отчаяние и перестал заниматься математикой. Он занялся чем-то вроде литературоведения. Он разъезжал по России с лекциями по литературе, особенно о Достоевском. Лекции эти имели большой успех. И было это как раз в самом конце гражданской войны, в это голодное время. Но, к счастью, он не остановился на этом, не стал популяризатором русской литературы, а занялся только начинавшейся тогда теоретико-множественной топологией, которую иногда называют общей топологией.

В это же время в Москве появился его сверстник Павел Самуилович Урысон, его ближайший друг молодости, с которым они вместе работали. Им принадлежит большая заслуга в обосновании начал теоретико-множественной топологии. Урысону, в частности, принадлежит знаменитая лемма Урысона.

Но это направление, которое Павел Сергеевич начал в Москве, оказалось тупиковым – оно не привело к интересным результатам, поскольку, занимаясь чисто логическим развитием оснований топологии, он упустил из виду связи топологии с математическими науками.  Он не интересовался приложениями топологии к математике. А главный путь развития топологии заключался в применении алгебры. И этим как раз занимался Лев Семёнович Понтрягин, виртуоз по этой части. А Павел Сергеевич алгебры не освоил, занимался теоретико-множественной топологией всегда в одном и том же духе, применяя лишь самый простейший алгебраический аппарат. И так как у него было много учеников и способность к образованию школы, то он сыграл даже вредную роль, потому что в Московском  университете развилось провинциальное, захудалое и тупиковое направление в топологии.

Однажды, будучи уже в Новосибирске, я даже попытался с ним объясниться на эту тему. Я написал ему письмо, где указал, что он завёл топологию в тупик, что было величайшей дерзостью с моей стороны. Я получил вежливый ответ на это письмо, из которого видно, что Павел Сергеевич не понимал и не принимал моих мыслей на эту тему.

На своём семинаре он занимался  как раз этой теоретико-множественной топологией, которая мне не понравилась. Я в него ходить не стал, несмотря на то, что Павел Сергеевич был очень любезен, никого не оскорблял и не обижал, как Гельфанд, и щедро раздавал свои задачи.

Настоящим представителем  серьёзной топологии в Москве был Лев Семёнович Понтрягин. Семинар Понтрягина мне показался чрезвычайно интересным, хотя он держался холодно и отчуждённо. Этот семинар для меня имел важное значение. В нём я понял самое главное – что такое настоящая топология.

Понтрягин считается учеником Александрова, но в действительности его учителем был Вадим Арсеньевич Ефремович. Ефремович не был профессором Московского университета, потому что он как раз отсидел свой срок в это время. Понтрягин помог ему обосноваться в Москве, но работал он где-то в другом месте, обратно в университет его не взяли.  Будучи бывшим зэком и не работая в университете, он всё же получил возможность вести  там семинар. В семинар Ефремовича я ходил и многому там научился.

Отношения между Понтрягиным и Александровым были, по-видимому, прохладные, хотя и  вежливые, как я мог наблюдать. Мне запомнилась такая сцена. Проходило объединённое заседание топологических семинаров Александрова и Понтрягина, что бывало нечасто. Зашла речь о том, что у некоторых аспирантов имеются ``хвосты’’ – не сданные экзамены. Александров сказал: ``Начальство на это очень плохо смотрит, и оно может начать придираться и присматриваться, почему это у топологов хвосты. Надо произвести решительное обесхвощивание’’.  А Понтрягин добавил к этому мрачно: ``Начнут разбираться, чем они там занимаются, и выяснится, что занимаются они топологией’’. Откуда видно, что Лев Семёнович тогда ещё не был человеком, хорошо ладящим с начальством.

Читались лекции. Меня интересовали и некоторые студенческие курсы, потому что для студентов читали лекции выдающиеся математики. Я помню, как прослушал лекцию Колмогорова по функциональному анализу и очень сожалел, что я не смог продолжить посещение этих лекций – не было времени. Послушал лекцию Куроша по алгебре, лекцию Рашевского по римановой геометрии, лекцию Новикова по математической логике, несколько лекций Понтрягина – всё это открывало огромные возможности для работы тому, кто хотел работать. И таких желающих было много, потому что московский мехмат был действительно центром научной и общественной жизни. Ведь общественная жизнь сосредоточивалась тогда в немногих областях, где ее не преследовали – математика была такой областью, до неё не добрались. Но систематически посещать лекции я не мог. Это великое разнообразие научных материалов, которое предлагалось там, превосходило все возможности имевшегося у меня времени. Я понял, что мне надо держаться чего-то одного и не разбрасываться. К сожалению, в будущем я был не всегда столь осторожен. Кроме того, учиться по лекциям  – это был слишком долгий путь обучения.

С какой яростью я пытался доказать себе тогда, что я математик! Дело в том, что я приехал из провинции, и мне объяснили, что хотя я уже и прошёл первый год в томской аспирантуре, но знания мои находятся на уровне третьего курса, иногда поправлялись – хорошего третьего курса. А вокруг ходили важные молодые люди и обменивались фразами, каждая из которых представляла собой нечто загадочное, причём я, конечно, не умел тогда отличить серьёзное от несерьёзного.

Молодые люди тогда не были похожи на нынешних – они не думали о кандидатских степенях, о зарплатах, о квартирах. Они думали о задачах: ``Он решил такую-то задачу, а у меня не получается моя задача’’. И на мехмате суждение о людях было такое: ``Такой-то, который решил такую-то задачу, занимается теперь тем-то и тем-то’’. И весь мехмат хохотал над каким-то незадачливым молодым человеком, который ходил и просил перевести ему работу с английского – не может прочесть работу по-английски!

В это время я уже ходил в разные семинары и, в том числе, в семинар Виленкина по топологическим группам.

И вот сижу я в старой библиотеке на Моховой и думаю, с чего начать – ничего не знаю. И подходит ко мне Наум Яковлевич Виленкин и спрашивает, над чем я задумался. Я говорю ему, что приехал из Томска, недостатки образования – не знаю, с чего начать. Он говорит мне: ``Начните с топологии’’. И, кажется, он мне порекомендовал ``Топологию’’ Александрова и Хопфа. Хопф был коллега и друг Павла Сергеевича Александрова, с которым они написали немецкий курс топологии под названием ``Комбинаторная топология’’. Она вышла в Берлине в 1935 году. Это довольно удивительно – через два года после захвата власти фашистами. Но издательства работали, и всё ещё печатались немецкие журналы – инерция некоторое время продолжалась. Во всяком случае, Павел Сергеевич не побоялся напечатать в Берлине свою книгу. Она была в библиотеке, и мне её выдали.

Книга была издана в 35-ом году, а я приехал в аспирантуру осенью 46-ого. Я не знал, что за это время многое изменилось в топологии (во всяком случае с формальной стороны), и Павел Сергеевич написал другую книгу – он один. И эта другая книга ещё не была напечатана, но её машинопись находилась в этой же библиотеке, и все молодые люди, занимавшиеся топологией и просто готовившиеся к кандидатским экзаменам, учились по этой новой книге, а по старой никто уже не занимался. Я ничего не знал об этой новой книге и узнал о ней лишь много месяцев спустя, на экзамене – с топологами я ведь был почти не знаком, а лишь посещал их семинары.

И вот я оказался перед книгой Александрова и Хопфа. Немецкий язык уже тогда не представлял для меня трудностей (математическая книга – это достаточно простой немецкий язык, а по-немецки я в общем читал), но содержание книги мне было совершенно непонятно, просто страшно приниматься за неё. Я решил понять эту книгу, и месяцев шесть или даже восемь я сидел над ней и долбил её. Я приходил к открытию и работал там целый день, до закрытия библиотеки.

Эти мои занятия можно было назвать совершенно безумными, потому что я нанёс этим огромный вред своему здоровью. Вредил я себе ещё и нерегулярным питанием. Хотя в конце концов я с большим трудом и добился карточки на трёхразовое питание в столовой университета, я не ходил туда трижды, а всю мою порцию съедал зараз во время обеда, так как мне жаль было терять время на еду трижды в день. Теперь я понимаю, как это вредно, но тогда мне это казалось выгодным. Я совсем не дышал воздухом, кроме как в переполненных трамваях, которыми я ехал их Останкина, где я жил – час надо было добираться и столько же обратно.

Но в математическом кабинете я мог эксплуатировать свои силы до предела, до полного истощения умственных способностей. Чтобы понять, оценить и почувствовать изучаемый мною предмет, нужно было время. Не чувствуя, нельзя разобраться в математике, потому что математика это не логическая формальная наука, а наука наглядная, связанная с чувственными представлениями. И совсем не скоро у меня образовались такие представления в области топологии.

Когда мне было невмоготу, я выходил в коридор и переваривал мысленно прочитанное. При изучении математики это совершенно неизбежный этап. Человек ходит, бродит, вспоминая, чтó  он прочитал перед этим. Я пытался понять. Читаю, читаю – не понимаю. Выхожу в коридор – думаю, пытаюсь понять, возвращаюсь обратно. Наконец, какие-то вещи стали понемножку проясняться, я начал понимать, о чём идёт речь. Как бы это сказать? Представьте себе, что человек, ничего не понимающий в музыке, услышал симфонию. Хорошо, если он услышит главные темы – всё остальное пропадает для него. Но если он совсем невежествен, то он и тем не слышит, он слышит сплошной набор звуков. Вот такое и у меня было ощущение – всё это казалось мне очень сложным. Алгебра там была смешана с геометрией таким образом, что я не мог этого разобрать. Но я пробился через эту книгу. Я не то чтобы выучил топологию, но я разобрался в ней, понял, о чём идёт речь. И я понял, что это то, чем я могу заниматься.

Потом я по этому учебнику сдавал кандидатский экзамен Понтрягину и Люстернику. Их удивило, что я не знаю целых разделов, в то время как другие знаю блестяще. Они спросили, по какому учебнику я готовился – я ответил. Они удивились и несмотря на мои пробелы поставили мне пятёрку. Скучно им было, наверное, экзаменовать такого невежду.

Что я теперь думаю об этом? Дело в том, что книга была написана Павлом Сергеевичем Александровым вместе с Хайнцем Хопфом, швейцарцем, который был лучшим топологом, чем Павел Сергеевич. И самое главное, у него была хорошая геометрическая интуиция. Эта книга была на голову выше той, которую потом написал Павел Сергеевич. Кстати, книги Александрова и Хопфа у меня теперь нет – я её не смог достать, да теперь она и не нужна. А книга Павла Сергеевича у меня есть, и я могу теперь отдать себе отчёт в её слабостях, в том, как она излишне формализована, сколько там вещей устаревших и ненужных. Как ни странно, более ранняя ``Топология’’ Александрова и Хопфа меньше устарела. То есть я,  сам того не подозревая, взял лучшую книгу. Но её я должен был изучать один.

Потом так же в полном одиночестве я изучал книгу Морса. На это потребовалось по крайней мере полтора года. Это отнюдь не лёгкая книга. Она называется ``Вариационное исчисление в целом’’. ``В целом’’ не означает, что это всё вариационное исчисление, а означает изучение всей совокупности кривых, а не только вблизи данной экстремали. Она была по-английски. Через неё я тоже пробился. Потом мне Люстерник подарил свой экземпляр Морса, или у него был лишний – я не знаю. Он у меня стоит до сих пор. В общежитии мне его слегка залили чернилами. Всё это я делал в полном одиночестве, пробивался один, никого не спрашивая. Один раз я спросил Понтрягина, можно ли пользоваться такими-то результатами в многообразиях. Понтрягин посмотрел на меня и сказал: ``Можете этим пользоваться’’.

К тому времени я уже ходил в семинар Люстерника и нашёл такую математику, которая мне была наиболее интересна. Это было применение топологии к вариационному исчислению, то есть к анализу и геометрии. Позже, когда я представил мою кандидатскую диссертацию, мне сказали, что эта тема стояла в научном плане самого Люстерника. Моим главным, официальным оппонентом был Понтрягин. Но он был слепой, ему трудно было разбирать, поэтому он поручил разобрать мою диссертацию Рохлину и ему рассказать. Рохлин стал разбирать, в одном месте усомнился, сказал, что у него есть ко мне вопросы. Я в ужасе. Какие вопросы? Он спрашивает меня. Я понял, о чём идёт речь, и объяснил ему на пальцах: ``Это поворачивается так-то и отождествляется с тем-то и получается…’’ ``Ах так! Ну правильно, всё хорошо’’. Ему не нужно было долго объяснять. Ошибок он не нашёл.

Люстерник никогда не проверял детально ничего. Он знал основные идеи того, что я делал. Не особенно-то он меня и хвалил, но когда была защита, он предложил признать мою кандидатскую диссертацию выдающейся, что и было принято учёным советом.

С этой выдающейся диссертацией я отправился в Томск под угрозой трёхлетнего тюремного заключения, потому что за отказ отправиться по распределению в то время полагалось отсидеть три года – тогда был Сталин, а он человек серьёзный. Более ловкие люди, конечно, от всего этого уклонялись. Я тоже предпочёл бы остаться в Москве. Но как в Москве, так и в Томске я всегда работал один, всю жизнь в изоляции.

В конце концов я доказал себе и другим, что я математик, но ценою некоторого аскетизма. Эти два года, которые я был в Москве в аспирантуре, я почти не общался с людьми, кроме того принудительного общения, что я имел в общежитии. О нём стоит рассказать особо.

В общежитии

Кроме меня в комнате общежития жило ещё шесть человек. Это были очень разные люди. Один из них был аспирант-химик, русский, родом с Кавказа. Однажды он рассказывал товарищам разные гадости про армян. Я тогда ещё не видел ни одного армянина, но счёл нужным дать ему решительный отпор. Он смешался и стал извиняться в том роде, что он не знал о моих армянских родственниках – другого мотива он не мог себе представить.

Два из них были азербайджанцы. Один специализировался по азербайджанской литературе, а другой по турецкой. Первый был просто малограмотный примитивный тип, а второй был заведомо человек из органов. Он рассказывал сам, что на войне служил в заградотрядах. Темой его диссертации был турецкий поэт Назым Хикмет, впоследствии очень знаменитый. Но в то время он сидел как коммунист в турецкой тюрьме, и его исследователь Акпер очень волновался, не следует ли его считать ``врагом народа’’: он бегал по разным учреждениям и спрашивал, как надо относиться к его герою, но никто не мог ему сказать.

Другие два аспиранта, люди постарше, были с кафедры марксизма и делали диссертации о политике партии во время коллективизации. Это были солидные хозяйственные мужички, русские, но совсем безграмотные, так что они не умели связно выражать свои мысли. А мысли у всех этих гуманитарных аспирантов были готовые и вполне определённые, они знали, чтó от них требуется. Заметив, что я очень легко формулирую любые мысли на грамотном языке, они всё время мне докучали, произнося неуклюжие фразы, и просили меня перевести их на русский язык. Я это делал, находя, что это простейший способ отделаться от них. Но когда я защитил диссертацию и уехал в Томск, я получил письмо от одного из марксистов, который предлагал мне сотрудничество в обработке его диссертации за вознаграждение. Я вежливо отказался.

Концерты

В Москве я был завсегдатаем на концертах в консерватории. Дело в том, что цены на концерты при советской власти не были коммерческими. От большевиков осталась линия поощрения культуры, поэтому книги и билеты в концерты стоили дёшево, и я мог слушать прекрасную музыку даже на жалкие гроши моей аспирантской стипендии. Я покупал абонементы и был постоянным слушателем Московской консерватории – Большого зала и, в особенности, Малого. Мехмат тогда был расположен на Моховой улице, недалеко от Манежа, в старом университетском здании, где я ежедневно занимался. А недалеко оттуда – улица Герцена, где находилась консерватория. Она тоже была в старом дореволюционном здании. Сколько ни трясли все эти учреждения, а всё-таки в консерватории музыка оставалась, и это была хорошая музыка.

В Малом зале мехмат имел своё представительство. Наши студенты занимали там чуть ли не всю галёрку, где были дешёвые места. Вообще в то время мехмат был элитарным факультетом. Там учились дети московской интеллигенции, которые не могли и не хотели вынести официальную пропаганду гуманитарных специальностей. В Малом зале я прослушал полный цикл трио Бетховена. А чего я только не слышал в Большом зале! Тогда, собственно, и сложились мои музыкальные вкусы, которые впоследствии развивались. Бетховену я был обязан больше всего.

В 48-ом году вышло постановление партии об опере ``Великая дружба’’ Мурадели, и был произведён разгром таких наших композиторов как Шостакович и Прокофьев. Их не посадили, но смешали с грязью, перестали исполнять их музыку, которая, впрочем, меня тогда не интересовала. Я не был модернист, я слушал только классическую музыку. В фойе сохранились старые афиши, вывешенные ещё до постановления, и на них была объявлена музыка из ``Гибели богов’’ Вагнера. Я помню, как кто-то из выходящей публики многозначительно указал на эту афишу – авторитеты в музыке пошатнулись, боги пали. В ту пору в Большом зале не замазали портреты великих композиторов, но пересмотрели их состав. В частности, Вагнера заменили на кого-то из русских композиторов.

Страница 7 из 12 Все страницы