3. Чистый разум

До сих пор мы рассматривали математику как "язык" точных наук. Если уж пользоваться повседневными сравнениями, то математика – не "язык" точных наук, а их "душа". Сто лет назад никто не возражал бы против только что сказанного, но в наше время понятие математики сузилось, и теперь нередко подчеркивается ее "служебный" характер. Как уже говорилось выше, в прошлом физики-теоретики называли себя математиками, и между этими занятиями не было профессионального барьера: математические орудия для исследования природы производили те же люди, которые их применяли. Со временем выделился отдельный "инструментальный цех": возникло деление математики на "чистую" и "прикладную". Что же такое "чистая" математика? В сущности, с самого начала математики в ней были внутренние задачи, не связанные непосредственно с изучением природы, а возникавшие из внутренней логики математической мысли. С этими внутренними задачами, как мы видели, было связано самое возникновение математической науки: теоремы начали доказывать вовсе не потому, что в них сомневались, а для придания им особого рода достоверности, не зависящей от опытной проверки. Далее, уже первые геометры пытались свести к минимуму исходные посылки своего предмета, что составляло также его внутреннюю задачу.

Если верить традиции, Фалес Милетский доказал теорему о том, что противоположные углы, образующиеся при пересечении двух прямых, равны друг другу. Мы не знаем, в чем состояло его доказательство и на какие более простые, по его мнению, предложения он опирался. Заметим однако, что самая "теорема Фалеса" разительным образом очевидна (в отличие, например, от теоремы Пифагора о катетах и гипотенузе, доказанной, вероятно, позднее). Таким образом, наука началась, собственно, с попыток "доказать" очевидное. Пока мудрецы думали только о полезных применениях, у них были всего лишь технические знания, но не было науки: наука в собственном смысле началась с бесполезного рассуждения. Иначе говоря, наука родилась "чистой".

Геометрия древних греков была связана с техническими приложениями, о чем свидетельствует Архимед; но она воспринималась и излагалась как "чистая" математика. Возможно, здесь сыграла роль общая психическая установка греков, мало ценивших физический труд (потому что им занимались рабы). Очень рано греки стали интересоваться задачами, не имевшими никакого отношения к практической жизни. Впрочем, можно сказать, что в некотором смысле и сама геометрия была "изучением природы". Например, Аполлоний из Перги изучал "конические сечения" – фигуры, возникающие при пересечении конуса плоскостями. Эти фигуры – эллипс, гипербола и парабола – реальны в том смысле, что их может изготовить любой столяр, распилив деревянный конус, хотя косые сечения конуса в древности, да и много столетий впоследствии никому не были нужны. Интерес Аполлония к этому предмету "оправдался" через две тысячи лет, когда выяснилось, что по изученным в его книге кривым движутся небесные тела. Но сам он вряд ли чувствовал себя "прикладным" математиком, и даже Архимед, бывший не только великим математиком, но и великим инженером, в дошедших до нас работах излагал свои открытия в строго логическом дедуктивном стиле. Интерес греков к чистой математике заходил очень далеко. Мы уже говорили об открытии несоизмеримости отрезков, в связи с гекатомбой Пифагора. Впоследствии другой грек, Евдокс, создал совсем уж удивительное теоретическое построение: он рассмотрел вопрос об измерении отрезков в общем виде, и поскольку отрезки, как правило, не имеют общей меры, построил строго логическую теорию, описывающую эту ситуацию. В переводе с геометрического языка на язык современной математики, Евдокс построил теорию иррациональных чисел, вновь вошедшую в математическое мышление лишь в семидесятых годах девятнадцатого века.

Греки любили знание ради самого знания: они стали посвящать свое время и силы отысканию истины ради нее самой. В этом смысле все серьезные ученые на них похожи: кто ищет практическую пользу, может быть великим изобретателем, как Эдисон, но не может быть ученым. Серьезная наука есть "искусство для искусства". Но нас интересует здесь не "бескорыстная наука" вообще, а особое явление, возникшее внутри математики во второй половине девятнадцатого века.

В это время среди математиков усилилось стремление к "строгости" доказательств, то есть к систематическому контролю над исходными посылками и способами вывода, допускаемыми при построении математических теорий. Такая тенденция имела исторические причины. Восемнадцатый век был героическим веком математики, во многом напоминавшим нынешнюю эпоху в теоретической физике. Математический анализ развивался тогда без строго логического обоснования, таким же образом, как теперь строятся физические теории: выводы производились не в строго логическом стиле Евклида, а опирались, в сущности, на опыт и многократную проверку. Величайшим математиком того времени был Эйлер, работы которого не могли бы быть опубликованы в наших математических журналах, поскольку не содержали, по нынешним понятиям, безупречных доказательств. Математика не была "формализована", но приносила прекрасные плоды: бурно развивались ее приложения к физике и астрономии, создавалась механика твердых тел, жидкостей и газов, а наряду с этим получались прекрасные результаты, не связанные с приложениями – например, возникла теория чисел. Казалось бы, математика и дальше могла процветать точно так же, как ныне процветает физика, тем более, что между этими видами деятельности не было отчетливой границы.

Можно было бы подумать, что стремление математиков укрепить логические основы своей науки объяснялись историческими воспоминаниями – ностальгией по утраченному раю Евклида. Но беспокойство их имело более глубокие причины. Дело в том, что физики проверяют свои теории, сравнивая их с экспериментом; иначе говоря, они изучают реальный мир, в котором мы живем, и сколь угодно абстрактные физические теории в конечном счете подвергаются опытной проверке. Математики же еще с древности задавали себе вопросы, не допускающие даже в принципе опытной проверки. Например, теорема Пифагора о несоизмеримости стороны и диагонали квадрата не может быть проверена никакими измерительными операциями, так как стержни и линейки можно изготовить лишь с некоторой неизбежной погрешностью, за пределами которой соизмеримость и несоизмеримость уже неотличимы. Точно так же, никакой эксперимент не может подтвердить теорему Лагранжа, согласно которой любое целое положительное число представимо в виде суммы квадратов четырех целых чисел. Можно, конечно, проверить это утверждение для не слишком больших чисел, но нельзя проверить его для всех. Физики довольствуются проверкой своих законов в достаточно большом числе случаев, но их утверждения относятся к объектам реального мира, которые, как можно полагать, ведут себя достаточно "регулярно": закон, подтвержденный в большом числе случаев, соблюдается всегда. Математик же имеет дело с абстрактными объектами, созданными его собственным мозгом, такими, как числа или отрезки. Хотя эти объекты и отражают в некотором смысле реальные предметы и процедуры, они не столь регулярны: в теории чисел был уже печальный опыт, когда некоторые предположения о целых числах, справедливые до очень большого числа, затем оказывались неверными. Математики упорно хотели знать, верна ли все-таки теорема Лагранжа для всех целых чисел, и соизмеримы ли сторона и диагональ квадрата.

Утверждения, даже в принципе не допускающие опытной проверки, напоминают в этом смысле не обычную деятельность ученых, а занятия философов и богословов, и вызывает нелестные для математики подозрения. В прежние времена люди практического склада не скрывали своего скептического отношения к таким умственным интересам. Секст Эмпирик, по профессии врач, написал "Пять книг против математиков" и столько же против "физиков", которые были в его глазах не лучше. Еще в восемнадцатом веке Свифт высмеял абстрактное мышление в рассказе об академии Лапуты. Английское слово "theory" до сих пор сохранило, наряду с серьезным смыслом, также уничижительное значение: в прошлом веке, во всяком случае, можно еще было выразить презрение к каким-нибудь длинным рассуждениям, попросту обозначив их этим словом. Возникает вопрос, чем же отличается любознательность "чистого математика" от домыслов, явно не относящихся к науке и, по выражению Галилея, "не порождающих ничего, кроме вечных споров". Есть ли в чистой математике объективность и достоверность, и если есть, то в чем она может заключаться? Не может ли эта деятельность, например, привести к противоречиям, так что один математик будет доказывать некоторое утверждение, а другие с таким же успехом будут его опровергать? И, наконец, если чистая математика не допускает опытной проверки и, стало быть, не имеет отношения к реальному миру, то зачем она нужна? Не является ли она, в таком случае, чем-то вроде "игры в бисер", развлечением праздных людей, производящих операции по определенным правилам, чтобы продемонстрировать свое остроумие?

Самое скромное требование, какое можно предъявить к деятельности ученых, состоит в том, чтобы она не приводила к противоречиям. Есть другие виды человеческой деятельности – например, философия или поэзия – где это требование неуместно. Я вовсе не хочу сказать, что эти занятия бессмысленны: они очень важны и могут быть глубоко содержательны, хотя к ним не всегда можно применить формальные требования логики. Ни философия, ни, тем более, поэзия – не наука. Слава богу, есть много прекрасных вещей на свете, не подлежащих ведению науки. Но, как можно подозревать, чистая математика относится к другой категории прекрасных вещей, так как она не только повинуется законам логики, но даже служит недосягаемым образцом логической дисциплины. Никто не сомневается в том, что колоссальный материал, составляющий чистую математику, не содержит противоречий, и что при будущем развитии этого предмета не возникнет никаких противоречий.

Это утверждение может показаться слишком категорическим лишь тем читателям, которые не знакомы с объемом и разнообразием изученных математических явлений. В конечном счете, всякая уверенность опирается на приобретенный опыт. Опыт чистой математики – это не опыт в смысле физического эксперимента, но опыт своеобразной человеческой деятельности, выполняемой по строго установленным правилам и никогда не приводивший к противоречиям, если эти правила соблюдались.

Время от времени возникали вульгарные философские системы, предлагавшие решительно во всем сомневаться. Этот вульгарный скептицизм, всегда паразитировавший на какой-нибудь разновидности общественного декаданса, не имеет ничего общего с подлинно философским сомнением Декарта, стремящимся отделить истину от заблуждения. Сомневаться во всем так же глупо, как не сомневаться ни в чем – обе позиции, в некотором смысле, переходят друг в друга посредством перемены знаков. Мы гораздо больше уверены в "истинности" чистой математики, чем в том, что завтра, как всегда, взойдет Солнце: эта специальная истина подтверждается, правда, тем, что так было всегда до сих пор, но математика держится на чем-то значительно большем.

Анализ человеческого познания приводит к выводу, что всякое познание опирается на многочисленные перекрестные связи, соединяющие различные факты в одно целое. Мы уже пытались объяснить это на материале теоретической физики. Столь же грандиозную систему представляет астрономия, уверенно расширившая вселенную до границы, где перестают встречаться квазары, то есть до тех мест, куда разлетающееся вещество едва успело домчаться с момента Большого Взрыва. Поучительно хотя бы в общих чертах ознакомиться с методами, позволившими астрономам определить расстояния до самых отдаленных объектов, отправляясь от самых близких – Солнца и ближайших звезд. Этих методов много, и они исходят из различных наблюдений и гипотез; поразительно, каким образом они поддерживают друг друга, как различные подходы, после бесконечно терпеливого труда и критического анализа этого труда, приводят к многозначительным совпадениям. Эти совпадения и есть научная истина. Наука подобна решетчатой конструкции из соединенных стержней, каждый из которых может показаться ненадежным, но все вместе придают строению несокрушимую прочность.

Чистая математика обладает той же прочностью, что и самые надежные экспериментальные науки. Результаты, полученные в самых отдаленных ее разделах, не только никогда не приводят к противоречиям, но образуют гармоническое целое, подтверждая и поддерживая друг друга. Связи между различными математическими теориями, часто возникающие неожиданно для их создателей, как будто свидетельствуют о том, что математики изучают некую единую реальность – не выдуманную ими для развлечения, а в некотором смысле существующую объективно. Факты этой реальности так же неизбежны – хочется сказать, даже более неизбежны, – чем факты окружающего нас мира. Математика – не игра в бисер и не шахматная игра: если это игра, то правила ее не зависят от нас.

Но эту реальность нельзя отождествлять с внешним миром, воспринимаемым органами чувств человека. Объекты математической теории куда более абстрактны, чем объекты, описываемые физикой, и, как правило, не сопоставимы ни с каким экспериментом. И при этом математические теории образуют гораздо больше опирающихся друг на друга этажей, чем физические. Чтобы обеспечить прочность этого здания, математики могут полагаться лишь на логические связи. Отсюда ясно, почему на некотором этапе "строительства" они ощутили потребность в пересмотре основ своей науки.

В восемнадцатом веке, во времена Эйлера, даже крупные математики приходили иногда к противоположным результатам в одной и той же задаче. Трудно было ждать, пока многочисленные "совпадения" и гармоническая картина "целого" обнаружат, чт? правильно и чт? неверно; а задать вопрос природе с помощью приборов математики не могли. Стало быть, им надо было соорудить свою конструкцию из абсолютно прочных стержней. Эту грандиозную задачу поставили Коши и Вейерштрасс; она была решена усилиями нескольких поколений математиков, создавших вместо примитивной логики Аристотеля, донесенной до нас схоластами, современную математическую логику. При этом обнаружилось, что даже Евклид не был непогрешим: его аксиомы геометрии содержали пробелы, заполнение которых удалось лишь в конце девятнадцатого века. В это же время были формулированы аксиомы арифметики и создана необходимая для последовательного построения математики теория множеств.

Можно сказать, что достоверность математики связана не с внешним "экспериментальным" опытом, а с внутренним опытом человеческого мышления, ограниченного определенными конструктивными правилами. В математической логике объекты рассуждения (точки, прямые, целые числа и т.д. ) обозначаются символами разного рода, а процедуры вывода сводятся к механическим операциям над символами, например, к составлению из этих символов цепочек посредством соединения символов, обладающих определенными различимыми признаками. При этом, как мы уже говорили, все "творческое" содержание вывода заключается в порядке выполнения элементарных операций, каждая из которых носит вполне формальный характер и может быть выполнена не только любым человеком, но даже машиной. Придумать доказательство (логический вывод) и значит указать порядок таких операций; но распознать правильно построенный вывод как таковой может каждый (даже машина), причем не может возникнуть никаких разногласий, вывод это или нет. Таким образом, "конструктивное" ограничение внутреннего опыта, о котором была речь выше, сводится к требованию, чтобы этот опыт можно было свести к простейшему внешнему опыту над символами (различимыми предметами из любого материала). Ясно, что таким образом наш внутренний опыт, при указанных конструктивных ограничениях, приобретает объективность, недостающую построениям схоластов. Можно не заметить, что в итоге остается все же некоторый стандартизованный внешний опыт обращения с различными предметами, и рассматривать математику как "чистый разум".

Мы попытались объяснить, на чем основывается достоверность и объективность математического знания. Но что же описывает чистая математика? В некотором смысле можно сказать, что ее предметом является человеческий мозг, рассматриваемый в его формально-конструктивном аспекте. Такая точка зрения не кажется мне решением вопроса. Вряд ли "математическая реальность" связана только с нашим мозгом: если где-нибудь еще есть разумные существа, то, как я убежден, у них тоже есть математика, и при том равносильная ("изоморфная") нашей. Поскольку я не мог убедить в этом даже некоторых лучших математиков, я не буду настаивать на моем тезисе. Читателю должно быть ясно, что "другие существа" привлекаются здесь лишь для формулировки тезиса об универсальности математики: я никоим образом не верю в их существование.

Универсальность математики можно выразить еще иначе. Как мы видели, теоретическая физика великолепно описывает мир, в котором мы живем, с помощью специального, подобранного для этой цели математического аппарата. Но физика использует лишь небольшую часть существующей математики. Что же описывает остальная, несравненно более обширная часть математики? Выражаясь поэтическим языком можно сказать, что математика изучает не только наш, "реальный" мир, но описывает совокупность всех возможных миров – например, с любым числом пространственных измерений, любой геометрией, топологией, или миров с дискретным пространством (состоящим из отдельных, изолированных точек), и т.п. Кажется, современная космология пытается превратить это представление из поэзии в реальность, не брезгуя никакой математикой для преодоления своих трудностей. Впрочем, и некоторые теории современной физики готовы считать возможными очень странные математические миры, рассматривая "наш" чувственный мир как некоторое грубое приближение к специальным аспектам недоступной нашим чувствам реальности. Я не буду заниматься здесь теориями, еще не доказавшими свою необходимость.

Как я полагаю, вопрос об объективности математики исчерпывается ее конструктивным истолкованием на языке безличного манипулирования символами. Что же касается достоверности математики, то к ней надо еще раз вернуться. В сущности, единственным аргументом в пользу ее была бы хорошо проверенная на опыте непротиворечивость.

Вероятно, многие читатели скажут, что пригодность математики для описания воображаемых миров не особенно подтверждает ее объективность и достоверность. И поскольку подавляющее большинство математических построений даже отдаленно не связано с "реальным" миром, то единственным аргументом в пользу объективности математики остается ее "формализуемость" в виде обезличенной логической игры с символами, а достоверность ее проявляется лишь в виде отсутствия противоречий. Читатель, вероятно, уже заподозрил, что здесь не хватает чего-то главного: объективность поэмы вовсе не в том, что ее текст записывается буквами, а достоверность картины не сводится к тому, что в ней нет дыр. Гораздо важнее гармония целого, то есть – красота.

Высшая объективность и достоверность математики доказывается ее красотой. Это очень серьезное утверждение, имеющее философское обоснование. Но мы не можем дальше углубляться в этот вопрос, и вместо красоты математики продемонстрируем ее полезность.

Полезность чистой математики состоит в том, что ее понятия и методы, даже очень удаленные от нашего чувственного опыта, имеют все же некоторое отношение не только к воображаемым мирам, но и к тому миру, в котором мы живем. Этот вопрос тесно связан с размышлениями Вигнера, о которых уже говорилось выше. Можно допустить, что между способом работы нашего мозга и "образом действий" природы существует далеко идущая аналогия, выработанная эволюцией в целях сохранения вида; эта аналогия дает человеку возможность в некоторой степени предвидеть развитие событий во внешнем мире, обрабатывая получаемую им информацию. При таком "моделировании" внешнего мира вовсе не происходит материальное воспроизведение материальных явлений: например, в мозгу астронома, предсказывающего затмения, не происходит ничего похожего на вращение планет. Мозг представляет собой "модель" внешнего мира не в том смысле, как детские машины имитируют машины взрослых, а в том "функциональном" смысле, который придается этому слову в современном инженерном языке. Это значит, что мозг, по-видимому, "изображает" явления природы, пользуясь другими средствами, и даже опережает их, что позволяет их предвидеть.

Более того, мозг математика может предвидеть не только наступление известных явлений, но и предсказать еще неизвестные. Дело происходит так, как будто математик, анализируя и обобщая исходные представления, первоначально заимствованные из опыта, способен конструировать некоторые структуры задолго до того, как они в какой-либо форме обнаружатся в природе.

Еще в начале прошлого века математики, занимавшиеся основаниями геометрии – Гаусс, Лобачевский и Бояи – пришли к выводу, что может существовать логически непротиворечивая геометрия, во многом непохожая на геометрию Евклида: например, в этой геометрии сумма углов треугольника всегда меньше двух прямых. Поскольку они исходили из одной и той же исторически сложившейся проблемы – вопроса о независимости "постулата о параллельных" от других аксиом Евклида – то неудивительно, что все трое пришли, независимо друг от друга, к одной и той же геометрической системе. Так была открыта первая "неевклидова" геометрия. В середине прошлого века Риман построил "воображаемую геометрию" любого числа измерений, содержащую в виде очень специальных случаев и евклидову геометрию, и неевклидовы геометрии, открытые к тому времени. Все эти построения казались очень далекими от действительности, хотя Риман и предвидел связь между геометрией физического пространства и заполняющим его веществом в нескольких пророческих словах, вряд ли понятых кем-нибудь из его современников. Лишь в 1916 году Эйнштейн обнаружил, что пространство и время человеческого опыта подчиняются закономерностям четырехмерного риманова пространства.

Не только понятия, но и методы, возникающие в чистой математике, впоследствии часто оказываются необходимыми для исследования природы. Так, например, во второй половине прошлого века в чисто математических задачах римановой геометрии и алгебраической "теории инвариантов" возникла потребность в новом методе вычислений, и математики того времени, Риман, Риччи, Кристоффель и их последователи, разработали для этой цели мощный аппарат – так называемый тензорный анализ. Введенный в физику Эйнштейном, этот аппарат стал ее неотъемлемой частью, поскольку выяснилось, что основные физический системы – элементарные частицы – адекватно описываются тензорами. Когда в двадцатые годы этого века создавалась квантовая механика, физики могли воспользоваться теорией операторов, разработанной математиками (в особенности Гильбертом) для решения задач теории интегральных уравнений. Математики знали, что эта последняя теория связана с некоторыми традиционными задачами механики, такими, как задача о колебаниях струны. Совершенно неожиданно оказалось, однако, что "линейные операторы" имеют несравненно более важные приложения: в квантовой механике каждая физическая величина изображается некоторым оператором, и притом все такие операторы относятся к хорошо изученному математиками (по совсем другим мотивам!) классу "самосопряженных" операторов.

Можно было бы привести очень много таких примеров, свидетельствующих, как будто, о некой предустановленной гармонии между продукцией человеческого мозга и мастерской природы. Сомнительно даже, способен ли наш мозг придумать что-нибудь интересное, чего бы не было в природе – хотя бы в самой неожиданной форме. Мне рассказали анекдотический случай, достоверность которого я не мог проверить; все же я привожу его здесь, отдавая должное итальянской поговорке: Se non ? vero, ? ben trovato (Если это и неверно, то хорошо придумано). Некий отставной полковник американской армии, уставший от деловой жизни и всяких соображений полезности, хотел заняться на досуге какой-нибудь математической задачей, заведомо не связанной ни с какими приложениями. Ему рекомендовали "латинские квадраты": в клетки, образующие квадрат, требовалось вписать целые числа таким образом, чтобы их суммы по вертикалям, по горизонталям, а может быть и по диагоналям были все равны друг другу. Казалось, это была уже чисто игрушечная задача, где остроумие математика не рисковало натолкнуться на какую-нибудь реальность. Но через несколько лет обнаружилось, что эти "латинские квадраты" имеют основное значение для возникшей "теории планирования экспериментов".

Конечно, против такой "предустановленной гармонии" можно выдвинуть очевидные возражения. Если у нас нет других средств для описания природы, кроме математики, то естественно, что исследователи ищут подходящий язык в математике своего времени: они попросту пользуются тем, что у них есть в распоряжении. Иногда им это удается, иногда нет, и мы даже не знаем, насколько хорошо служат математические средства в тех случаях, когда им приписывается полная удача. Ведь может быть, что природа устроена не так, как ее описывает наша математическая теория, но у нас нет адекватного способа ее описать, и приходится довольствоваться той частичной картиной, какую может изобразить математика. Если бы у нас не было другого способа представлять предметы, кроме фотографии, то мы построили бы "плоскую" картину мира и, возможно, имели бы даже с этим "плоским" описанием достаточно убедительные успехи, но это не означало бы, что мир и в самом деле плоский. К счастью, наше зрение объемно, некоторые предметы доступны осязанию, и со временем у нас будет вместо фотографии какая-нибудь голография.

Я попытался изложить это возражение как можно яснее, но не уверен, что мне это удалось. Изложенную концепцию можно поддерживать, исходя из двух разных точек зрения. Философы, начиная с Аристотеля, часто полагали, что вещи обладают некой непознаваемой для нас "сущностью"; с этой точки зрения все доступное нашему познанию сводится к некоторым поверхностным аспектам существования вещей. Такое понимание мира согласуется с описанным выше возражением: поскольку сущность мира нам недоступна, то вопрос об адекватном изображении этого мира с помощью какого-либо аппарата попросту не возникает. К сожалению, философы этого рода всегда забывали объяснить, откуда им известно об этой непознаваемой сущности вещей. Никто не мешает нам придерживаться того, что доступно нашему познанию, и последовательно отрицать существование чего-либо другого. Когда-то говорили, что непознаваемые предметы открываются нам "в акте веры"; но мы, вместе с модным философом Камю, отказываемся совершить такой "прыжок" и остаемся на берегу эмпирической действительности.

Другое возражение кажется более реалистическим и современным. Представим себе, что возможен другой язык, более глубокий, чем математика, и дающий более адекватное описание природы; тогда наши математические теории оказались бы чем-то вроде плоской фотографии, доставляющей нам некоторое частичное представление о мире и некоторый примитивный способ обращения с ним. Чтобы это возражение имело смысл, будущий язык описания природы должен быть не похожим на математику: он должен быть чем-то принципиально иным, должен использовать иные способности человека. В наши дни многие готовы уверовать в какие-нибудь "интуитивные" способности, прямо ведущие к подлинному познанию, без скучной возни с математикой. Если бы у сторонников телепатии и других видов непосредственного познания мира были факты, выдерживающие серьезную экспериментальную проверку (какую выдерживают научные факты), то роль математического познания пришлось бы и в самом деле ограничить. Но ничего подобного у них нет, и они попросту от нас требуют такого же "акта веры", как поклонники традиционных религий.

Весь наш опыт убеждает нас в том, что математический метод, характерными чертами которого являются систематическое применение символов и мышление с помощью заранее заготовленных понятий, является единственным возможным методом точного описания природы. Если и будет когда-нибудь "голография" природы, то она будет относиться к нашей нынешней "фотографии", как высшая математика к элементарной.

"Чистый разум", к которому стремились все философы с древности до наших дней, действительно существует и, по-видимому, может существовать лишь в одном, достаточно определенном виде. Мы называем его чистой математикой. Весьма вероятно, что возможности этого "чистого разума" гораздо скромнее, чем мечтали философы; возможно, ему недоступны самые жгучие проблемы человеческого бытия. Так обстоит дело со всеми заветными мечтами человечества: в них бывает реальное зерно и фантастическая оболочка. Но не будем выходить за пределы нашего предмета.

"Полезность" чистой математики, о которой говорилось выше, вряд ли нуждается в доказательстве. С помощью этой науки можно, в конечном счете, получать те же предметы и услуги, какие нам доставляют самые практические науки, например, прикладная химия и агрономия. По-видимому, это оправдывает скромные расходы на чистую математику: содержание математиков, по сравнению с их коллегами на других факультетах, почти ничего не стоит. Чем "чище" математика, тем она дешевле; правда, ее практических применений приходится ждать долго, но когда они приходят, то оказываются несравненно важнее всего, что может дать "прикладная" деятельность.

Удивительно, как мало понимают значение чистой математики выродившиеся ученые наших дней. Известный физик Оппенгеймер, возглавлявший в свое время проектирование атомной бомбы, не постеснялся признаться в этом. "Я стараюсь следить, – сказал он, – за тем, что делается в современной физике и в других естественных науках, например, в биологии. Но я не могу понять, чем занимаются математики, и почему они этим занимаются". Математик, уверенный в своем деле, мог бы ответить такому научному политикану словами Фарадея: "Когда-нибудь вы это будете облагать налогом".

Страница 5 из 14 Все страницы