4. Границы математического познания

Мы переходим теперь к одному из самых трудных вопросов философии. На первый взгляд кажется, что общий вопрос о пределах познания не совпадает с частным вопросом о познаваемости мира методами математики. И в самом деле, есть много прекрасных научных исследований, не использующих математики. Если оставить пока в стороне гуманитарные науки, то прежде всего приходят на ум две новые науки, родившиеся в двадцатом веке – этология и психология, о которых еще буде речь дальше. Эти науки свидетельствуют о том, что вновь возникающие области знания на первых порах не пользуются математикой, хотя в их распоряжении имеется весь арсенал ее средств, оправдавших себя в других областях. Нет сомнения в том, что человеческое познание – понимаемое в строго научном смысле этого слова – не тождественно математическому познанию. Но на достаточно высоком уровне – на уровне теоретического познания – то и другое имеют общие границы. У нас есть основания полагать, что всякая наука, в ее развитом состоянии, превращается в математическую науку, то есть пользуется для описания явлений природы математическим языком. Об этом говорил Гильберт еще в начале двадцатого века, может быть, вкладывая в это убеждение чрезмерный оптимизм: по-видимому, он считал этот идеал во всех случаях достижимым. Во избежание недоразумений, здесь необходимы некоторые пояснения.

Прежде всего, мы имеем здесь в виду науку в собственном смысле слова, то есть объективное исследование природы. Многие области человеческой деятельности именуются "науками", но в действительности лишь в небольшой мере относятся к исследованию природы. Так называемые "гуманитарные" науки в этом смысле вовсе не науки, хотя в каждой из них содержится некоторая доля науки. Поэтому я вовсе не хочу сказать, что история, филология и философия в их развитом виде должны превратиться в математические науки. Если только они не откажутся от наиболее интересной части своего предмета, такое развитие для них заведомо исключено.

Далее, может случиться, что некоторые вполне научные области деятельности не могут достигнуть математической стадии развития, или же способны к этому лишь в ограниченной части своего предмета. Это можно предположить, например, о биологии и психологии – по причинам, обсуждаемым дальше. В таких случаях может быть достижимо лишь количественное приращение знаний, но не более высокий уровень познания. Если считать наиболее высоким уровнем теоретическое познание, то невозможность подняться до него означает, что мы достигли уже границы познания вообще, хотя долго еще можем познавать частности. Конечно, серьезный подход к вопросу о границах познания вовсе не подразумевает ситуацию, когда нельзя больше ничего познать, а относится к качественному характеру познания, то есть к возможности поднять его на более высокий уровень. Во всех случаях, когда это в самом деле произошло, таким более высоким уровнем была математическая теория.

Я думаю поэтому, что вопрос о границах математического познания по существу совпадает с вопросом о границах познания вообще. Дело сводится к тому, в каких случаях можно применять математику, и в каких нельзя. Мы уже обладаем опытом, позволяющим предполагать, что возможности применения математики не безграничны. С точки зрения, описанной выше, это означает, что мы столкнулись уже с границами нашего познания вообще.

В действительности, эти границы были всегда возле нас, и крайний гносеологический оптимизм, выраженный, например, Декартом, не следует понимать слишком буквально. Декарт и все серьезные мыслители, верившие в безграничные возможности человеческого познания, всегда имели в виду, что природа отвечает на поставленные ей разумные вопросы, то есть на вопросы, имеющие объективный смысл. Вопросы, относящиеся лишь к предметам нашего мышления, могут быть в этом смысле неразумными. Как говорит Эдгар По, вряд ли мы когда-нибудь узн`aем, какую песню пели сирены, или в каком наряде был Ахиллес, когда прятался среди девушек. Многие недоразумения, связанные с современной физикой, имеют прямое отношение к этой фундаментальной разнице между предметами внешнего мира и предметами человеческого мышления. Конечно, реальность электронов, кварков и т.п. иного рода, чем реальность персонажей Гомера, но все же это продукты нашего мышления, не имеющие смысла вне рамок некоторой теории. Поскольку они непосредственно на опыте не наблюдаемы, им можно приписывать лишь те свойства, которые выразимы в терминах этой теории. Например, по поводу электрона нельзя спрашивать, какого он цвета, потому что теория, говорящая об электронах, не приписывает им электромагнитного излучения постоянной частоты. Впрочем, вряд ли кто-нибудь задавал такой вопрос, хотя физики и проводили в своем кругу шуточные анкеты о цвете элементарных частиц. Сложнее понять, почему электрон не может иметь одновременно вполне определенные значения координат и импульсов. Трудность происходит от того, что в некоторых специальных условиях, гораздо более специальных, чем условия применимости теории, электрон можно представить себе как маленькое твердое тело, вроде шарика, а такие тела имеют одновременно и координаты, и импульсы. Но и в этих случаях есть предельная точность совместного их определения, указываемая теорией. Это значит, что о точной "траектории" электрона говорить вообще нельзя. Смысл "соотношения неопределенностей" состоит вовсе не в том, что "траектория электрона непознаваема", а в том, что такого понятия в теории, описывающей электрон, попросту нет.

Можно, например, осуществить эксперимент, в котором (если описывать его в терминах теории!) пучок электронов, вырабатываемых некоторым источником в тождественных условиях, направляется на экран, где возникают видимые (в микроскоп) световые вспышки. Эти вспышки рассматриваются как следствия попадания электронов в те или иные места экрана. Но теория не позволяет точно предсказать эти места. Есть ли здесь "непознаваемость"?

Если попытаться описать эксперимент независимо от квантовой теории, то имеется прибор, нагреваемый током, и экран, на котором появляются вспышки. Можно было бы рассчитывать, что какая-нибудь более совершенная теория позволит предсказать положения вспышек, возможно, с использованием более подробной информации о приборе и экране. Разумно предположить, что вспышки производятся частицами, испускаемыми прибором. Судя по всему, что мы знаем об устройстве твердых тел (даже независимо от квантовой теории), они должны состоять из чрезвычайно большого числа частиц примерно такой же величины, как испускаемые прибором, или большей. Всякая теория, описывающая движение частиц к экрану достаточно точно, чтобы предсказать места вспышек, должна учитывать взаимодействие этих частиц с огромным числом частиц, составляющих прибор и экран, поскольку тот и другой – макроскопические тела. Но тогда (с точки зрения классической теории) надо знать движения всех этих частиц, а для этого, конечно, необходимо произвести измерение их начальных состояний, то есть положений и скоростей в заданный момент, как это делается в классической механике. Тем самым, исходная задача невероятно усложняется, так как теперь требуется решить динамическую задачу для системы из огромного числа взаимодействующих частиц. Точнее решение такой задачи, в какой бы то ни было теории, очевидным образом невозможно. Для таких систем применимы лишь методы; но квантовая механика как раз и носит статистический характер, поскольку предсказывает вероятности появления вспышек в разных местах экрана.

Причина, не допускающая никакой "точной" теории этого явления состоит в том, что интересующую нас частицу нельзя отделить от чрезвычайно сложной системы – прибора с экраном. Если бы наша частица была "достаточно большой", мы могли бы просто не принимать во внимание взаимодействующие с ней макроскопические тела, например, применить прибор, намного меньший частицы и, тем самым, практически не влияющий на ее движение. Для микроскопических частиц взаимодействие их с прибором нельзя сделать малым по сравнению с силами, движущими частицу.

Таким образом, непредсказуемость таких элементарных актов, как появление вспышек при столкновении электрона с экраном, по-видимому, не связана с несовершенством некоторой конкретной теории рассматриваемого явления, например, квантовой механики. В этих случаях непредсказуемость происходит оттого, что наши приборы – всегда макроскопические тела, непосредственно наблюдаемые человеком – по отношению к элементарной частице являются чрезвычайно сложными системами, так что взаимодействие отдельной частицы с прибором не сможет точно предсказать никакая теория. Такое предположение поддерживается историей физики в течение последнего полувека. После появления квантовой механики неоднократно делались попытки построить "более детальную" теорию элементарных явлений, которая позволила бы предсказывать эти явления с помощью непосредственно не наблюдаемых "скрытых параметров" (например, гипотетических частиц, намного "меньших" электрона). Все теории этого рода не привели к цели.

Физики обычно отделываются от непредсказуемости элементарных явлений с помощью формальных доводов: они говорят, что наблюдение одной вспышки на экране вообще не является экспериментом, поскольку невозможно точно определить условия, в которых производится наблюдение. Экспериментом, – говорят они, – является лишь наблюдение достаточно большой серии вспышек, при условии, что пучок частиц "приготовлен" в неизменных, точно описываемых макроскопических условиях. Результатом такого эксперимента является статистика серии вспышек; но именно эту статистику и предсказывает квантовая механика.

По-видимому, это рассуждение логически неопровержимо, но оно означает попросту невозможность поставить эксперимент, нужный для предсказания одной вспышки. Между тем, речь идет о явлении, непосредственно наблюдаемом (через микроскоп, но это не составляет разницы, поскольку наблюдается вполне реальное, объективно доказуемое явление). В таком случае наше непосредственное, наивное понимание познания требует выяснения "причин" наблюдаемого явления, то есть точных условий, в которых оно происходит, и вывода наблюдаемого факта из этих причин. Невозможность указать такие точные условия "опровергает" наивное представление о познании. Но явление остается, и мы не можем избежать заключения, что оно непознаваемо, не пересматривая самое понятие познания. Как мы видим, познание в том смысле, как его всегда понимали, не всегда возможно.

Шредингер популярно изложил эту идею в воображаемом опыте с котом. Кот помещается в ящик, снабженный устройством для его умерщвления. Это устройство срабатывает от электрического импульса, вызванного случайным попаданием электрона в некоторое место мишени. Вопрос состоит в том, жив или мертв этот кот в заданный момент времени. По указанным выше причинам, принципиально невозможно предсказать, чт? мы обнаружим, открыв ящик, хотя речь идет о вполне повседневном событии – смерти кота. В действительности этот пример вряд ли имеет отношение к квантовой механике, поскольку здесь не выполнены условия "квантового эксперимента", но вопрос о познаваемости остается. Поскольку в естественных биологических явлениях могут играть роль элементарные акты, происходящие в отдельных клетках, например, в нейронах мозга, "опыт Шредингера" заставляет усомниться, можно ли до конца понять, от чего умирает человек.

Без сомнения, в опытах с элементарными частицами мы сталкиваемся с непознаваемым. Никакая теория не даст ответа на некоторые вопросы, относящиеся к реальным наблюдаемым фактам. В описанных выше случаях это происходит потому, что невозможно указать разумные исходные данные для такой теории. Характерной чертой систем, с которыми не может справиться никакая теория, оказывается их сложность.

Некоторые системы, прежде считавшиеся элементарными частицами, оказались сложными, и теперь известен их состав. Протон и нейтрон состоят, например, из трех кварков, мезоны – из двух. Но даже частицы, по-прежнему рассматриваемые как "простые", то есть не имеющие "составных частей", не могут существовать в одиночестве. Электрон всегда окружен облаком "виртуальных" мезонов, короткоживущих частиц, которым теория приписывает довольно призрачное существование, но которые вовсе не отделены теоретически от "реальных" частиц. Даже "вакуум", пространство без всяких частиц, оказался очень сложной физической системой, способной к "спонтанной" активности, например, к рождению пар из частицы и античастицы. В современной теории частиц и полей – квантовой теории поля – возникает иная сложность, чем описанная выше: все физические системы обладают, в некотором смысле, неисчерпаемой глубиной. Это не следует понимать в примитивном смысле, как думали некоторые философы в начале двадцатого века: возможно, что электрон и в самом деле "точечная" частица, не имеющая "составных частей", но его взаимодействие с вакуумом и с другими частицами чрезвычайно сложно и вряд ли исчерпывается существующей теорией. Что касается тяжелых частиц (адронов), то они, как предполагается, "состоят" из кварков, взаимодействующих между собой с помощью обмена другими частицами – глюонами; есть уже и дальнейшие построения, приписывающие сложное строение самим кваркам, но эти работы еще не имеют экспериментального подтверждения.

Во всяком случае, в квантовой теории поля "не видно дна", и глубины ее, возможно, скрывают непреодолимую для математического исследования сложность. Можно надеяться, что эту сложность, по крайней мере, удастся расчленить на последовательные "этажи" достаточно обозримого строения; но ни один теоретик за это не поручится. Возможно, мы столкнемся в квантовой теории поля с "непознаваемым" в виде бесконечной глубины слишком тесно переплетенных друг с другом структур. Здесь можно строить только догадки; но вера в то, что природу можно исчерпать "до дна", уже не раз оказывалась обманутой.

"Иерархически" устроенные системы встречаются не только в физике. Таковы биологические системы. Их иерархическое устройство не позволяет применить к ним даже статистические методы, описывающие "усредненные" характеристики. Для применения статистики существенна однородность составных элементов системы, например, тождественность ее атомов или молекул. Если систему нельзя разложить на такие однородные, просто взаимодействующие друг с другом элементы, к ней неприменим статистический подход. Бор рассмотрел вопрос о предсказуемости поведения животного, исходя из квантовомеханического описания сложных систем. Для предсказания надо знать начальное состояние всех частиц (атомов, молекул), составляющих тело животного, а для этого надо было бы подвергнуть их бомбардировке достаточно энергичными "пробными" частицами; в самом деле, не существует другого метода измерения атомных состояний, кроме столкновения атомов с такими пробными частицами, причем, согласно квантовой механике, чем точнее должны быть требуемые данные, тем больше должна быть энергия используемых "снарядов". Бор оценил, насколько точно надо знать начальное состояние атомов животного, чтобы предсказать его движение (с обычной точностью описания движений макроскопических тел). Далее, он оценил, сколько энергии потребуется применить для измерения начальных данных с этой точностью. Оказалось, что такое измерение убьет животное! Конечно, этот подсчет был выполнен методами квантовой механики, но, как уже говорилось выше, у нас нет надежды на принципиально "лучшее" описание, например, с помощью каких-нибудь пробных частиц, не следующих квантовым законам. Если не вдаваться в фантазии о "скрытых параметрах" и принять "соотношение неопределенностей" как надежно подтвержденное свойство всех известных частиц, то мы вынуждены признать поведение животного непредсказуемым – с той точностью, с какой мы хотели бы его знать. Опять-таки, мы имеем здесь дело с очень сложной системой. Мысленный эксперимент Бора говорит нам, что мы никогда не сможем предсказывать поведение живых существ с той точностью, с какой вычисляется движение небесных светил или описывается работа машины.

Своеобразная черта рассматриваемых выше ситуаций состоит в том, что основные законы, управляющие частицами системы, нам известны, и нет сомнений, что они во всех случаях соблюдаются: это законы квантовой механики. Очень вероятно, что мы знаем даже все законы, существенные для описания этих движений. Но при попытке объяснить движение всей системы, исходя из "первых принципов", мы наталкиваемся на непреодолимое препятствие – сложность системы.

Мы знаем еще более сложные системы, иерархически составленные из большого числа живых существ. Самой сложной системой, какая нам известна во Вселенной, является человеческое общество.[Это утверждение принадлежит Конраду Лоренцу.] Ясно, что в социологии мы еще меньше, чем в биологии, можем рассчитывать на подробные и точные предсказания, какие возможны в небесной механике и других областях классической физики.

В действительности, "сложность" системы не обязательно означает, что она состоит из огромного числа частиц. Очень характерно в этом отношении положение в химии. Благодаря квантовой механике мы имеем теперь точные уравнения, описывающие молекулы, и нет ни одного случая, когда бы эти уравнения нарушались;[Здесь не принимаются во внимание релятивистские поправки, так что, строго говоря, речь идет об описании в рамках нерелятивистской квантовой механики, неточность которого в некоторых случаях известна.] это значит, что во всех случаях, когда можно вывести из них сопоставимые с экспериментом следствия, эти следствия подтверждаются опытом. Но число таких случаев невелико. Интегрирование уравнений Шредингера для сколько-нибудь сложных квантовых систем представляется безнадежной задачей. Приходится довольствоваться приближениями, не вытекающими из одних только уравнений, а использующими каждый раз специальные гипотезы, применяемые лишь в данном частном случае и нуждающиеся в особой проверке. Так называемая "квантовая химия" оказывается, вследствие этого, не очень серьезной наукой, и химики обычно применяют на практике различные эмпирические подходы.

Более того, в некоторых вопросах оказываются слишком сложными даже системы классической небесной механики, старейшей из математических наук. Еще на заре ее развития в ней возникла "задача трех тел". Движение двух тел, связанных силой тяготения, было до конца исследовано Ньютоном. Но для трех тел точное решение задачи о движении отсутствует, а приближенные методы применимы лишь к не очень большим промежуткам времени. За время существования солнечной системы в ней возникли некоторые странные соотношения, по-видимому, вытекающие из закона тяготения. Но так как мы не в силах решить эту "задачу многих тел", то знание основного закона не дает нам возможности вывести эти удивительные закономерности.

В таких случаях система не выглядит очень сложной и может быть точно описана в определенной, не вызывающей сомнений теории. Есть уравнения, но мы не умеем их решить, и даже не в состоянии качественно предсказать поведение системы за большое время. Конечно, можно было бы подумать, что в этом виновато несовершенство нынешней математики, и ожидать лучших результатов от ее будущего развития. Но тот, кто сталкивается с подобными задачами, вряд ли в это поверит. Складывается впечатление, что системы, не слишком сложные по составу, могут оказаться в некоторых аспектах своей динамики слишком сложными для математического исследования. Возможно, мы никогда не сможем предсказать, что будет с планетами, и с Землею в том числе, через миллиард лет. Я намеренно оставляю здесь в стороне осложнения, связанные с другими силовыми полями, с незамкнутостью системы, то есть с влиянием не входящих в нее небесных тел, и с неточностью идеализации системы при составлении математической модели – идеализации планет в виде "материальных точек". Если даже отвлечься от всех этих трудностей, "сложность", не поддающаяся математическому анализу, все равно остается.

Я отдаю себе отчет в том, что "непознаваемость" в этом смысле далеко не столь убедительна, как в случае систем, сложных по своему составу. Во всяком случае, мне кажется, что есть разные виды сложности. В ряде задач мы сталкиваемся, по-видимому, с довольно простой постановкой вопроса, скрывающей в себе непреодолимые сложности для анализа. Понятие "анализа" носит здесь не очень определенный характер, поскольку средства математического исследования в таком высказывании никак не ограничиваются; но, возможно, эта ситуация не так уж далека от так называемой "алгоритмической неразрешимости", о которой будет речь ниже.

Мне остается еще сказать несколько слов о границах познания внутри самой математики. Поскольку чистая математика не допускает экспериментальной проверки, самое понятие "познания" имеет в ней другой смысл. Здесь нет экспериментального факта, который нужно объяснить или предсказать; вопросы задаются лишь в терминах некоторой "формальной системы", с заданными аксиомами и правилами вывода. В этих терминах высказываются суждения, именуемые теоремами, и требуется определить, верна такая теорема или нет, то есть выводима ли она из аксиом, или же выводимо ее отрицание. Важно иметь при этом в виду, что никакое математическое высказывание не имеет "истинного" или "ложного" характера вне формальной системы, и даже не может быть формулировано независимо от нее. Мы уже встретились с такой ситуацией, говоря о свойствах элементарных частиц, хотя квантовая механика и не достигла еще статуса формальной системы.

Тем самым, в чистой математике "познаваемость" совпадает с "доказуемостью" средствами той или иной формальной системы. По мере формализации точных наук, вопрос о познаваемости в этих науках будет, точно так же, приобретать этот формально определенный смысл, хотя и "наивная" точка зрения, связанная с объяснением эксперимента, несомненно сохранит свое значение.

По поводу доказуемости теорем мы теперь знаем очень интересные вещи. Предположим, что мы имеем "достаточно богатую" формальную систему (например, такую, на языке которой можно записать все утверждения арифметики). Пусть, далее, эта формальная система непротиворечива, то есть в ней не существует предложения, одновременно доказуемого и опровержимого (что можно предположить о любой разумной системе, в частности, о формализованной арифметике). Тогда, как доказал Гёдель, в этой системе можно указать предложение, не доказуемое и не опровержимое средствами системы. Утверждение, упоминаемое в этой теореме, оказывается "непознаваемым" в указанном выше, единственно возможном в чистой математике смысле. Мы берем здесь это слово в кавычки, чтобы подчеркнуть разницу между познаваемостью эмпирической действительности и познаваемостью в формальном смысле, то есть доказуемостью или опровержимостью в некоторой формальной системе.

Условия теоремы Гёделя (точная формулировка которых здесь, конечно, невозможна) можно в некоторой степени объяснить и без привлечения технических средств математической логики. Прежде всего, в теореме требуется, чтобы язык формальной системы был "достаточно богат". Существуют некоторые "бедные" языки, для которых можно построить однозначную процедуру, распознающую "истинность" или "ложность" каждой записанной на этом языке теоремы, то есть выдающую для каждого предложения, выразимого в этом языке, один и только один из двух символов (+ или – , И или Л, и т.п.). Такая процедура может быть записана, и тем самым получается формальная система, в которой "все познаваемо". Но такие "бедные" языки не представляют для математики большого интереса. Языки, способные охватить с достаточной полнотой интересные утверждения, такие, как язык арифметики или язык теории множеств, устроены в этом отношении совсем иначе. Между тем, самые важные разделы математики, например, арифметика и математический анализ, построены именно на основе этих "богатых" языков. Тем самым условие теоремы Гёделя, требующее "достаточной содержательности" языка, вполне согласуется с принятой в математике оценкой важности формальных теорий, оставляя в стороне лишь некоторые менее важные вопросы.

Сложнее обстоит дело с требованием "непротиворечивости" формальной теории. Оно означает, что процедура доказательства, принятая в этой теории, никогда не может привести к противоречию, то есть на языке этой теории нельзя формулировать предложение, которое можно было бы средствами этой теории и доказать, и опровергнуть. Конечно, противоречивые теории не представляют для математики интереса. В теориях, действительно разрабатываемых математиками, противоречия никогда не возникали. Примерами таких теорий являются арифметика и строгая (аксиоматическая) теория множеств. Правда, начальный этап развития теории множеств приводил в некоторых случаях к противоречиям ("парадоксам"), но так же обстояло дело и с другими математическими теориями, например, с математическим анализом и теорией вероятностей, пока они не были поставлены на формальные аксиоматические основания. Итак, в современной математике противоречий нет, и существует "практическая уверенность", что и в будущем они не возникнут. Такая уверенность выражена, например, во введении к "Теории множеств", открывающей собой "Элементы математики" Бурбаки.

Вначале математики надеялись на большее. Когда Гильберт завершил построение языка формальной (математической) логики, он надеялся, что удастся доказать непротиворечивость важнейших математических теорий, и прежде всего арифметики. Такого доказательства математики до сих пор не нашли, и никто уже не надеется, что оно возможно. Но если бы оно и было, то, по теореме Гёделя, формальная арифметика, хотя и свободная от противоречий, содержала бы недоказуемые, и в то же время неопровержимые утверждения, то есть в ней осталось бы "непознаваемое" в том смысле, как это было выше объяснено. Смысл теоремы Гёделя состоит в том, что наша "практическая уверенность" в непротиворечивости арифметики и других (достаточно "содержательных") теорий вовсе не гарантирует формальную разрешимость вопросов, которые могут быть поставлены в таких теориях, даже если присоединить какие угодно добавочные аксиомы и правила вывода, "обогащая" тем самым средства доказательства (причем, разумеется, сохраняется требование, чтобы теория оставалась непротиворечивой).

Теорема Гёделя опровергает некоторый вид гносеологического оптимизма, сложившийся у математиков в течение двух столетий процветания их науки. Конечно, во всех отделах математики были нерешенные проблемы; иные из них, по мере возникновения новых методов и точек зрения, в конце концов решались, другие так и оставались нерешенными. Но математики всегда твердо верили, что каждый вопрос, поставленный на "правильном" математическом языке, имеет положительный или отрицательный ответ. Они наделяли, таким образом, воображаемый мир математических понятий неким платоновским "реализмом": все возможные теоремы, как им казалось, "существуют" в этом мире наподобие платоновых идей, и если какой-то теоремы там "нет", то несомненно "есть" противоположное утверждение. Связь математического мышления с философией Платона, как мы видели, объяснялась вовсе не математической проницательностью Платона, а самим происхождением его философии, представляющей собой паразитический нарост на стволе греческой геометрии. Платоновы "идеи" были попросту имитацией математических понятий. Таким образом, "реализм" математического мышления потерпел от Гёделя жестокое поражение.

Математикам пришлось вспомнить о здравом смысле науки, который в средние века назывался "номинализмом". В ожесточенном философском споре двенадцатого века Абеляр настаивал на том, что научные понятия вовсе не существуют "реально", то есть независимо от нас в виде неких сверхъестественных сущностей, а представляет собой построения человеческой психики, изображающие некоторые аспекты реального мира и существующие, тем самым, лишь у нас в голове. Абеляр был предшественник современного мышления, в некотором смысле представлявший будущую эмпирическую науку; противники же его, приписывавшие абстрактным понятиям "реальное" существование и парадоксальным образом называемые "реалистами", представляли, по существу, бывшую науку – греческую геометрию, хотя и в фантастических нарядах философии Платона. Великий спор между "реализмом" и "номинализмом" продолжался, таким образом, до наших дней: чистая математика, последняя крепость "реализма", должна была открыть свои ворота эмпирическому мышлению. Как и во всех подобных спорах, обе стороны были по-своему правы; если бы позиция классической математики была совсем уж лишена смысла, трудно было бы объяснить прочность ее конструкции. Не следует забывать, впрочем, что "реализм" математики никак не тождествен с реальностью платоновских идей!

Поскольку вопрос о природе математических понятий остается трудным и спорным, мы посмотрим на проблему "познаваемости" в математике с более "практической" точки зрения, то есть, как и в случае физики и биологии, присмотримся к проблемам, действительно бросающим вызов математической науке. Дело в том, что непознаваемые теоремы арифметики, придуманные Гёделем, вовсе не представляют интереса для математики; они не возникли в ней естественным образом, в ходе ее органического развития, а были сконструированы нарочито, для опровержения некоторого научного предрассудка. Можно было бы подумать, что с более "естественными задачами" математики таких неприятностей не может быть, то есть что "интересные" или "содержательные" вопросы, возникающие в математической теории, уже непременно допускают либо положительный, либо отрицательный ответ. Чтобы вложить смысл в эти слова, надо было бы научиться отличать такие "естественные" вопросы от "искусственных".

Оказывается, однако, что естественное происхождение проблемы из истории некоторой математической дисциплины отнюдь не делает ее в гносеологическом смысле "лучше", чем "искусственные" вопросы, придуманные Гёделем в его "теореме о неполноте". Примером является знаменитая "проблема континуума".

Создатель теории множеств Кантор построил в конце прошлого века иерархию "мощностей" бесконечных множеств. Из конкретных, известных нам множеств наименьшие мощности имеют множество целых чисел и множество действительных чисел, и Кантор доказал, что эти мощности не равны. Первая мощность называется "счетной", а вторая – "мощностью континуума". Естественно, возник вопрос, существует ли между ними промежуточная мощность, или же множество действительных чисел ("числовой континуум") является наименьший несчетной мощностью. Сам Кантор, по-видимому, был уверен в последнем, но все его попытки доказать такую теорему не привели к цели. Точно так же, не удалось это сделать и его последователям. В 1938 году Гёдель доказал, что опровергнуть это утверждение невозможно, то есть нельзя вывести из аксиом теории множеств существование множества промежуточной мощности, если только в теории множеств нет противоречий. Как и в случае "теоремы о неполноте" (1930 г.), это последнее допущение основано лишь на некоторой "практической уверенности", вытекающей из всего опыта математиков. Может быть, следует в этом месте напомнить, что первый принцип термодинамики (невозможность вечного двигателя) имеет точно то же основание, и что более прочно установленных научных истин мы не знаем. Во всяком случае, стало ясно, что "гипотеза континуума" неопровержима. Однако, это вовсе не означало, что она доказуема: вывод ее из аксиом теории множеств по-прежнему отсутствовал. Наконец, в 1963 году Коэн доказал, что, опять-таки, при условии непротиворечивости теории множеств, гипотеза континуума также недоказуема. Это означает, что из аксиом теории множеств нельзя вывести ни существование множества промежуточной мощности, ни его несуществование.

Таким образом, "гипотеза континуума", возникшая в ходе естественного развития важной математической дисциплины, оказалась "непознаваемой": ее нельзя ни доказать, ни опровергнуть в формальной (аксиоматической) теории множеств. Вслед за теоремой Коэна появился ряд исследований, показавших, что это отнюдь не единственная проблема теории множеств, занимающая такое особое положение. Как обнаружилось, целый ряд гипотез, возникших в так называемой "дескриптивной теории множеств" еще в первые два десятилетия этого века, точно так же не зависит от аксиом теории множеств. Любую такую гипотезу, или ей обратную, можно присоединить к аксиомам теории множеств, и полученная формальная система будет непротиворечива, если только обычная теория множеств сама непротиворечива. Это значит, что в выборе аксиоматического базиса теории множеств, а тем самым и всей математики, построенной на ее аксиомах, имеется большой произвол. Математика как будто "расщепляется" на логически равноправные варианты, между которыми мы можем свободно выбрать какой угодно и считать его "истинным" с таким же основанием, как и любой другой.

Такое положение вещей имеет прямое отношение к тому, что мы выше назвали "границами математического познания". Для наших предков математика была сводом непререкаемых истин, подтвержденных строгими доказательствами. Гипотезы, то есть нерешенные вопросы, формулированные на математическом языке, могли быть долго без ответа, но они должны были иметь ответ. Кантор твердо верил в это и сошел с ума, пытаясь доказать или опровергнуть гипотезу континуума. Теперь мы знаем, что эта вера наших предков была ошибочной. Гордый девиз Гильберта: "Мы должны знать, и мы будем знать", по-видимому, в некоторых областях математики лишился смысла.[Этот девиз, вероятно, был полемическим ответом на другое изречение, высказанное в конце прошлого века немецким ученым Дю Буа Реймоном: "Ignoramus et ignorabimus"("Не знаем и не узнаем"). Его латинская мудрость означала всего лишь реверанс перед стоящим за природой богом, в духе модной философии fin de siécle (конца века).]

Однако, гносеологический оптимизм математиков этим отнюдь не был подавлен, как это видно из введения в теорию множеств Бурбаки, написанного уже после работы Гёделя 1938 года. В сущности, беспокойство по поводу "расщепления" математики больше коснулось логиков и философов, чем математиков более обычных направлений. Дело в том, что утверждения, независимые от аксиом теории множеств, не играют все же в "живой" математике сколько-нибудь насущной роли. Например, из гипотезы континуума было выведено множество следствий, и равным образом из противоположного утверждения; но эти следствия не связаны с другими разделами математики, в которых все происходит независимо от того, принимаем мы эту гипотезу или нет. Те утверждения теории множеств, которые и в самом деле нужны в математическом анализе, алгебре и т.д., вовсе не находятся в таком сомнительном положении, и относительно них никакой "свободы выбора" у нас нет.

Конечно, мы не умеем отчетливо отделить "нужные" вопросы от" ненужных", и ощущение, что мы можем и в других случаях натолкнуться на "границы познания", несколько умеряет самодовольство математиков, для которых двадцатый век, вслед за девятнадцатым, был также веком величайших успехов. Может быть, следует упомянуть в этой связи, как была решена "проблема четырех красок". Содержание проблемы крайне просто: требовалось доказать (или опровергнуть), что любую карту на плоскости можно раскрасить с помощью не более чем четырех красок таким образом, чтобы никакие две области, имеющие общую границу, не были окрашены в один цвет. Во всех известных частных случаях эта гипотеза была справедлива, но доказательство не удавалось в течение почти ста лет. Наконец, недавно два американских математика доказали гипотезу четырех красок, но очень необычным путем. Еще в начале века был предложен план доказательства, приводивший к большому числу вариантов: дело свелось к проверке конечного набора графов, то есть комбинаторных схем, задающих карты, но их было так много, что это превосходило человеческие силы, и план был оставлен. Два американца поручили эту проверку современной вычислительной машине. Большая машина, проработав 1200 часов, проверила все, что требовалось, и теорема была "доказана"; для надежности машинная программа была затем "прогнана" несколько раз, с тем же результатом.

Это доказательство необычно. Прежде всего, бросается в глаза, что несмотря на проверки машина могла ошибиться. Конечно, ошибиться может и человек; среди опубликованных теорий было много ошибочных, причем нередко ошибка оставалась не обнаруженной в течение ряда лет. Некоторые работы вовсе не имеют читателей, но если даже их читают, то нередко ошибки автора остаются незамеченными. В конце концов, математическая логика стремится сделать наши рассуждения надежными, заменив их механическим манипулированием символами, то есть, по существу, работой машины.

И все же доказательство теоремы о четырех красках оставляет чувство глубокого беспокойства. Дело в том, что мы доказываем теоремы не только, и не столько для того, чтобы проверить их справедливость. Познание не ограничивается констатациями: "Это верно, а то – неверно". Мы хотим понять, почему верна такая-то теорема, и каждое доказательство, если его правильно понять, отвечает на этот вопрос. Простая проверка доказательств как раз является признаком полного непонимания предмета, что и наблюдается на экзаменах. Но в данном случае никто не в силах "понять" доказательство; ни один человек даже не может прочесть полную "распечатку" программы, и вопрос, в чем состоит "идея" такого доказательства, повисает в воздухе. Пусть верно, что во всех рассмотренных машиной случаях (около 1500 графов) теорема справедлива; имеем ли мы здесь невероятное совпадение случайностей, или за этим стоит некоторая общая причина? Доказательство двух американцев не раскрывает эту причину. Трудно отделаться от впечатления, что перед нами – не доказательство теоремы в обычном смысле, а что-то другое. Подчеркнем, что в этом случае речь идет о комбинаторной задаче, которую легко переформулировать в виде задачи о конечных графах. В этом случае нет никаких логических ловушек, никакой абстрактной изысканности, как в случае проблемы континуума: проблема четырех красок ничем не хуже обычных задач, какими занимаются в самых традиционных областях математики. Предположим теперь, что безуспешность всех попыток найти обычное доказательство теоремы о четырех красках не случайна, что такого "понятного" доказательства вообще не может быть. Это всего лишь фантазия, но если в нее можно вложить какой-то смысл, то самое понятие доказательства, выработанное математиками и закрепленное определениями математической логики, оказалось бы неадекватным тому, что можно назвать процессом познания. "Формальное познание" разошлось бы в таком случае с "человеческим познанием".

Доказательство теорем, формализованное одним из принятых теперь способов, есть частный случай процесса, выполняемого по точно указанным предписаниям. Такой процесс называется алгоритмом. Собственно говоря, только что указанный взгляд на доказательство, как на применение некоторого алгоритма, стал возможен лишь после возникновения математической логики. Но алгоритмы и до того широко применялись в математике – для практического решения разных вычислительных задач. В виде примера можно привести алгоритм Евклида для нахождения общего наибольшего делителя двух целых чисел. Отыскание удобных и эффективных алгоритмов является важной частью прикладной математики. Как правило, ищут алгоритм, позволяющий решить целый класс в некотором смысле однотипных задач. Невозможность построить требуемый алгоритм можно установить, обнаружив отдельную задачу из заданного класса для которой такого алгоритма не существует., [Это утверждение неверно.]

"Доказательства невозможности" появились в математике очень давно. В сущности, еще теорема Пифагора о несоизмеримости стороны и диагонали квадрата может быть истолкована в этом смысле, если потребовать, как это было обычно в греческой геометрии, чтобы общая мера была построена "циркулем и линейкой". [ С построениями циркулем и линейкой несоизмеримость стороны и диагонали квадрата не связана.] Построение оказывается невозможным, потому что искомый объект не существует. Иначе выглядит задача о трисекции угла, тоже древнего происхождения, или задача об удвоении куба. В первой требуется построить треть заданного угла, во второй – сторону куба вдвое большего объема, чем у заданного куба, в обоих случаях с помощью циркуля и линейки. Древние греки уже подозревали, что эти построения невозможны. Наконец, самой важной нерешенной задачей древности была задача о квадратуре круга: построить квадрат, равновеликий заданному кругу, то есть имеющий ту же площадь. Все эти задачи, и многие другие, оказались неразрешимыми, поскольку была доказана неразрешимость алгебраических задач, которым они равносильны. Это произошло уже в девятнадцатом веке. В отличие от задачи Пифагора, в этих случаях "искомый объект" существует, но не может быть получен предлагаемыми ограниченными средствами.

Точно так же, существуют и корни алгебраических уравнений, но они не всегда могут быть выражены "в радикалах", то есть с помощью арифметических действий и извлечения корней, отправляясь от коэффициентов уравнения. Это удается для уравнений не выше четвертой степени, для которых давно известны соответствующие формулы (уравнения первой и второй степени решают в школе). Но попытки найти такие формулы для уравнения пятой степени не удавались, и в начале девятнадцатого века норвежец Абель показал, что это невозможно. Было доказано, что древние задачи на построение сводятся к подобным неразрешимым алгебраическим задачам и, следовательно, тоже неразрешимы.

Когда требуется доказать (или опровергнуть) теорему в некоторой формальной теории, средства для этого задаются в виде аксиом и правил вывода этой теории. В современной математической логике вывод представляет механическую процедуру из однотипных операций, которую может выполнить даже машина. На этой точности описания и основана надежность математических доказательств. Но не следует думать, что деятельность математика, вследствие этого, сводится к механическим действиям. Все дело в порядке этих действий, в котором и проявляется творческая роль математики! Так же обстоит дело и во всех алгоритмах. Если точно указано, в каком порядке производить действия алгоритма, то их может выполнить автомат – и это составляет его определение.

Итак, доказать или опровергнуть теорему можно с помощью алгоритма, использующего заданные средства – аксиомы и правила вывода данной теории. Но оказалось, что могут быть теоремы, истинные в смысле этой теории, но недоказуемые и неопровержимые никакими алгоритмическими средствами – даже с добавлением новых аксиом. Это удивительное открытие сделал около 1930 года австрийский логик Курт Гёдель.

Для этого понадобилась отчетливая формулировка того, что такое алгоритм вообще – формальное описание любых алгоритмов, без ограничения средств, то есть любых однозначных процессов, выполняемых по правилам. Такие (эквивалентные) описания были предложены несколькими математиками в тридцатых и сороковых годах двадцатого века, и благодаря им возникла общая теория алгоритмов. Если понимать алгоритмы в этом самом общем смысле, то "недоказуемость" (и "неопровержимость") теорем может быть выведена из "алгоритмической неразрешимости" соответствующих им задач формальной логики. Можно считать алгоритм "эффективным" методом познания, в противоположность так называемым "теоремам существования", доказывающим лишь логическую необходимость существования какого-нибудь объекта в необозримом бесконечном множестве объектов, не поддающимся последовательному просмотру. Тогда теоремы об алгоритмической неразрешимости указывают границы нашего познания в этом более узком смысле слова. Как мы видим, ответ на вопрос о познаваемости мира зависит от того, в каком смысле мы понимаем это слово. Такое "расщепление" наивного термина "познание" неизбежно и в чистой науке, и в математике. [Содержание этого абзаца нечетко и не поддается расшифровке.]

Все ограничения человеческого познания, по-видимому, мало волнуют "практический разум". Идеология практического деятеля обходит все опасные места науки, руководствуясь житейским здравым смыслом и влечением к успеху.[Украинский философ восемнадцатого века Григорий Сковорода выразил эту точку зрения (прагматизм) в своем изречении: "Благодарю тебя, боже, за то, что ты сделал все трудные вещи ненужными и все ненужные вещи трудными".] Но, как мы увидим, познавательная установка современного ученого сильно изменилась, по сравнению с его предками. Ученый прежних времен ощущал себя победителем, завоевателем необозримого девственного континента науки. Нынешний ученый, все еще продолжая продвигаться вперед, чувствует приближение к "последней границе" познания. В психологическом смысле это вовсе не означает, что он должен чувствовать себя побежденным: сильные человеческие типы не обязательно похожи на первопроходцев американских прерий. Социальные границы, обусловливающие убожество современного ученого, гораздо важнее едва наметившихся на горизонте науки гносеологических границ. Мы увидим, впрочем, что те и другие связаны между собой. Приближение к пределам познания означает, в частности, что каждый существенный шаг вперед требует все б`oльших усилий, а в экспериментальной науке обходится все дороже и в материальном смысле; это значит, что за научные исследования кто-то должен все больше платить.

Страница 6 из 14 Все страницы