Подход, основанный на изучении фазовых портретов.

Международный научный центр исследований экстремальных состояний организма при Президиуме КНЦ СО РАН,
Сибирский федеральный университет, Красноярск, Россия Этот e-mail адрес защищен от спам-ботов, для его просмотра у Вас должен быть включен Javascript

Задачи, связанные с анализом и прогнозом поведения сложных систем достаточно часто встречаются в современной науке, задачи, возникающие в инженерной экологии входят в их число. В свое время проникновение математики в разные науки, особенно в естествознание, сводилось к тому, что появлялись модельные системы, которые затем подвергали анализу, например, маятник, взаимодействие двух тел и др. Конечно, эти модельные системы хорошо отражали и явления, но в настоящее время мы имеем дело со сложными системами, и каждый раз нам бы хотелось поступать так, чтобы количество переменных, которые описывают эту систему, резко уменьшалось и в идеале сводилось к одной. Таким образом, поиск теперь сводится к рассмотрению сложной системы и построению для нее аналога – модельной системы, которая бы обладала нужными нам свойствами с точки зрения прогноза ее динамики. Это возможно, если рассматривать сложную систему как систему с большим количеством переменных. Но не каждая система с большим количеством переменных является сложной системой. Сложная система – это система, которая реально существует. Это означает, что для любой из ее координат существует область, в которой доминирует отрицательная обратная связь. Если не существует областей, где по всем координатам имеет место отрицательная обратная связь, то такие системы не «живут», не существуют. Это касается всех систем – живых, не живых, экономических, социальных, экологических.

Рассмотрим проблему, можно ли уменьшить при анализе систем число переменных, учитывать которые обязательно, для того, чтобы оставаться в рамках правильных ответов. Представим себе сложную систему и расположим уравнения по характерным временам релаксации (τ). В начале расположим уравнения с самыми большими значениями τ, а потом со все более короткими характерными временами. Например, если речь идет о такой системе, как лес, то самые длинные характерные времена – это времена образования лесных территорий – как правило, тысячи лет. Затем можно рассмотреть характерное время существования древостоев; разные виды, произрастающие в лесу, имеют разные характерные времена, но это уже десятки или сотни лет. Затем млекопитающих, которые живут в лесу порядка десятков лет, затем насекомых – они живут 1-2 года, потом рассмотрим уравнения для микроорганизмов, время жизни которых недели, дни, часы и т.д.

Если расположить таким образом всю «сотню» существующих компонентов, то можно задать, например, вопрос, какие изменения произойдут в этом лесу в случае возникновения вспышки численности насекомых, которые «съедят» зрелый лес. За время жизни одного поколения насекомых для древостоев на самом деле ничего не изменится, а вот если речь идет о микроорганизмах, то они будут выступать как «быстрый» компонент. Есть очень медленные компоненты, которые для решения уравнения с насекомыми будут выступать в роли постоянно действующих факторов, медленно эволюционирующих. Для того, чтобы насекомые жили в разных древостоях в одном и том же месте, надо, чтобы прошли десятки или сотни лет, чтобы состав древостоев изменился по размерам дерева и породам. Если речь идет о микроорганизмах, то они за этот период многократно размножатся, исчезнут, снова размножатся, так что этот компонент за характерные времена, равные нескольким десяткам лет, усреднится. Тогда возникает возможность рассматривать только те компоненты, которые имеют точно такое же характерное время. Например, речь идет о насекомых, которые поедают других насекомых, которые в свою очередь поедают деревья в лесу. Уравнения для них и нужно сохранить, а остальные компоненты будут либо присутствовать в виде постоянно действующих параметров, либо за это время усредняться.

Таким образом, число рассматриваемых компонентов резко уменьшается. Но это возможно, если не ставить задачу, будут ли вспышки численности насекомых уничтожать лесную территорию. Может оказаться, что лесная территория будет сменяться, например, болотом, тогда характерные времена, которые потребуются, – это характерные времена образования болот и образования лесных территорий. В этом случае речь пойдет не о насекомых и отдельных деревьях: нужно будет рассмотреть изменения почвы под влиянием лесных территорий или болота. А эти процессы длятся тысячи лет, и действие всех величин с характерными временами, много меньшими этих, на больших временах будет усредняться. Поэтому нет необходимости вводить эти уравнения в модель.

Этот способ использования иерархии времен очень подходит для анализа сложных систем как математический метод (подход) в том смысле, что благодаря ему резко сокращается число уравнений, компонентов, переменных, которые нужно учитывать при решении той или другой задачи.

Итак, если исследуется сложная система, то первое, что необходимо, – установить иерархию времен для составляющих ее компонентов, второе – определить, на каких характерных временах будет проведено исследование системы и ее динамики. Эволюция в системе имеет место всегда, но на очень коротких, на коротких и на длинных временах эволюционные процессы разнятся. Исследуя поведение системы на этих характерных временах, получим ответы об устойчивом и неустойчивом развитии, эволюции тех или иных сложных систем или, наоборот, о риске возникновения катастроф.

Есть еще одна возможность сокращать число координат, которые необходимо учитывать – это в тех случаях, когда рассматриваемая система переходит из одного состояния в другое, например, из состояния, в котором она существует, в новое или из одного устойчивого состояния в другое устойчивое состояние, или из состояния равновесия в состояние, когда система эволюционирует по циклу или другой сложной траектории. Все переходы обладают следующим свойством: вблизи границы перехода (при бифуркации) число компонентов, которое мы оставили, еще раз резко уменьшается. Поскольку в этом n`-мерном пространстве (n`< Для того, чтобы проанализировать эволюцию сложной системы, которая существует и, следовательно, по любой из координат имеет область с отрицательной обратной связью, необходимо построить фазовый портрет. Самое правильное – построить его для той координаты, которая имеет характерное время (время релаксации) такое, на котором исследуется эволюция системы и строятся прогнозы. Например, если речь идет о вспышках численности насекомых, которые едят древесные растения, то нужно учесть характерные времена нескольких поколений этих насекомых.

Прежде, чем начинать строить фазовый портрет по экспериментально наблюдаемым точкам, можно сделать следующее: по оси абсцисс отложить численность насекомых на квадратный метр (на одно дерево), по оси ординат – скорость изменения этой численности (для насекомых это означает, что нужно рассмотреть два соседних по времени измерения плотности насекомых и поделить на характерное время между этими двумя измерениями). Таким образом, имеем саму координату и скорость ее изменения. Возможных вариантов фазового портрета на самом деле два. Один из них – это узкий фазовый портрет (рис. 1).

Рис. 1. Узкий фазовый портрет.

Узкий фазовый портрет означает, что практически можно воспользоваться одним уравнением, т.е. скорость зависит от координаты: x`_i(x_i) , при этом все другие координаты либо усреднятся (если они быстро меняются), либо будут выступать в виде параметров (если меняются медленно). Поэтому из всего множества координат, которые описывают лесную экосистему, можно воспользоваться для описания эволюции (поведения) лесной территории этой координатой (этой численностью и скоростью изменения численности насекомых). Остается одно-единственное уравнение. Точка пересечения этого узкого портрета с осью x_i и есть равновесное состояние, вокруг которого будет меняться численность насекомых. Естественно, она может эволюционировать во времени, испытывать медленные тренды, но эти тренды будут уже связаны с другими характерными временами, например, связанными с ростом деревьев и изменением древостоя. Если скорость изменения численности насекомых в зависимости от их численности является функцией немонотонной, то может быть несколько пересечений (рис. 2); в простом случае будет три пересечения, тогда два из них x₁ и x₂ – точки устойчивого равновесия, а x_r – точка, которая будет являться «водоразделом».

Рис. 2. Узкий фазовый портрет с двумя точками устойчивого равновесия.

Таким образом, система может существовать в двух устойчивых состояниях. То обстоятельство, что в качестве примера выбраны насекомые, не означает, что такой подход верен только для динамики численности насекомых. Так можно описать любую систему, по любому параметру. Если по этому компоненту получен узкий фазовый портрет, а эволюция всей системы в целом интересует на характерных временах, на которых релаксирует этот компонент, то все вышеупомянутое хорошо описывает эту систему.

Если число переменных больше (если речь идет о тех же насекомых, но у них есть конкуренты и враги с близкими характерными временами), то фазовый портрет будет широким. Это означает, что при одних и тех же значениях x_i (для насекомых – при одних и тех же плотностях) в зависимости от того, какое количество конкурирующих или враждующих с данным видом насекомых или других животных, скорость будет получаться разная. При этом когда запаздывания в системе нет (все враги и конкуренты «смирились» с тем, что x_i поддерживается как константа), эта кривая может пересечь ось абсцисс один раз (рис. 3) – и тогда имеется одна равновесная точка, либо же три раза – и тогда имеются три точки устойчивого равновесия. Несмотря на то, что фазовый портрет широкий, поведение всей системы в целом иногда мало чем отличается от поведения системы с узким фазовым портретом (рис. 4). Единственное отличие заключается в том, что при узком фазовом портрете все движения осуществляется вдоль «кривых размножения», а в описываемом случае движения происходят не вдоль «кривых размножения», а выше или ниже.

Но когда есть область с отрицательной обратной связью (рис. 5), внутри нее могут находиться области с положительной. И в этом случае, если кривая может пересекать ось абсцисс, то в зависимости от расположения точек x₁ и x₂ можно получить разные варианты динамики системы (рис. 6).

Рис. 3.Широкий фазовый портрет с одной точкой устойчивого равновесия.

Рис. 4. Широкий фазовый портрет с двумя точками устойчивого равновесия.

Рис. 5. Широкий фазовый портрет с одной точкой устойчивого и одной точкой неустойчивого равновесия.

Рис. 6. Широкий фазовый портрет с двумя точками устойчивого равновесия – «фиксированная вспышка» (а), с одной точкой устойчивого и одной неустойчивого равновесия – «антивспышка» (б), с двумя точками неустойчивого равновесия – «перманентная вспышка» (в).

Один из возможных вариантов заключается в том, что x₁ и x₂ попадают в область с отрицательной обратной связью, т.е. являются устойчивыми точками, и, следовательно, опять возникает ситуация, которую уже исследовали: с узким фазовым портретом, т.е. с широким фазовым портретом, фазовое пространство которого целиком было с отрицательной обратной связью. Но если одна из точек x₁ либо x₂ не попадает в «устойчивую» область, а попадает в область с положительной обратной связью, то имеет место либо вспышка численности, либо «антивспышка», т.е. имеется одна устойчивая точка, из которой система время от времени «вбрасывается» либо в сторону резкого увеличения, либо в сторону резкого уменьшения численности вида. Интересный случай представляет собой ситуация, когда и попадают в область с положительной обратной связью. Тогда возникает очень редкое явление, которое можно назвать перманентной вспышкой, если речь идет о вспышках, или образованием аттрактора, если речь идет о любой другой сложной системе. Аттрактор означает, что система все время «вертится» вокруг точек x₁ и x₂, ни разу не повторяя в точности своей траектории.

Таким образом, при проведении подробного анализа в системе насекомые-фитофаги – лесная территория обнаружены очень интересные закономерности, которые можно наблюдать в любых сложных системах. Все многообразие поведения насекомых в лесу сводится всего к шести вариантам:

* одна точка устойчивого равновесия;

* одна точка неустойчивого равновесия, когда система вообще не находится вблизи равновесия, а все время двигается вокруг по некоторой сложной и неповторяющейся траектории фазового пространства;

* фиксированная вспышка, когда есть два устойчивых состояния: одно с большой численностью, другое с маленькой;

* вспышка;

* антивспышка;

* перманентная вспышка.

При этом продемонстрирован следующий интересный результат: на самом деле далеко не всегда надо сложную систему сохранять по-настоящему сложной, т.е. можно позволить себе выбрать характерное время, на котором нас интересует эволюция системы. Дальше можно выбрать те координаты, те переменные, характерные времена для которых действительно совпадают или близки к тому характерному времени, которое интересует исследователя. Дальше нужно построить фазовый портрет для одной из таких координат. Этот портрет может оказаться узким или широким. Если он оказывается узким, то все зависит от того, сколько раз характерная кривая пересекает ось абсцисс: если пересекает один раз, то устойчивая точка одна; если пересекает несколько раз, то имеется: две, три, четыре … устойчивые точки. Если получается широкий фазовый портрет, то это означает, что невозможно воспользоваться одной координатой, их на самом деле больше, но все же их существенно меньше, чем в исходной системе. И тогда, нанося экспериментальные точки на фазовый портрет, можно:

Первое: установить, что он широкий;

Второе: установить, что он односвязный, что на нем совершенно нет областей с положительной обратной связью. Если это так, то фактически результаты те же, что на узком фазовом портрете;

Если на фазовом портрете внутри области с отрицательной обратной связью есть область с положительной, тогда есть шесть возможных вариантов поведения системы.

Фазовый портрет для исследования систем предложен Исааком Ньютоном почти одновременно с интегральным и дифференциальным исчислением. Его изначальным преимуществом является возможность исследовать линейные и нелинейные дифференциальные уравнения с одной неизвестной, а также подойти к решению класса задач, которые могут быть описаны только разностными уравнениями. И хотя теория дифференциальных уравнений развивалась сравнительно быстро, дополнительные шаги в качественном анализе разностных уравнений появились только во второй половине XX в. Наиболее существенное продвижение в анализе систем, описываемых двумя уравнениями (с двумя неизвестными), имело место на рубеже XIX и XX вв. и связано с именами Анри Пуанкаре и А.М. Ляпунова.

Обсуждаемое в этой статье развитие подхода к исследованию сложных (многомерных) систем направлено на качественный анализ систем, число уравнений в которых существенно больше трех. Этот подход, разумеется, не является альтернативой созданию крупных компьютерных моделей (тем более, не отменяет их), а скорее всего, должен такому моделированию предшествовать.

Ниже приведен список авторских работ, в которых предлагаемый подход реализован при исследовании сложных систем различной природы.

Список литературы

1. А.С. Исаев, Р.Г. Хлебопрос, Л.В. Недорезов и др. Популяционная динамика лесных насекомых. – М.: Наука, 2001. – 374 с.

2. A.D. Bazykin, F.S. Berezovskaya, A.S. Isaev. Dynamics of forest insect density: bifurcation approach // J.Theor. Biol. – 1997. – Vol. 186. – P. 267 – 278.

3. R. Khlebopros, V. Okhonin, A. Fet. Catastrophes in Nature and Society: Mathematical Modeling of Complex Systems. – Singapore, World Scientific Publishing, 2006 - 400 pp.

4. Е.В. Инжеваткин, В.А. Неговорова, А.А. Савченко и др. Пороговые эффекты в управлении популяционной динамикой раковых клеток в организме // Проблемы управления. – 2008. – № 5. – С.73 – 79.