Статья опубликована в журнале «Математическое образование», 2009 г.  № 3

Уже около шестидесяти лет я не перестаю думать о преподавании математики в школе. Когда я учился в Московском педагогическом институте им. Ленина, мои амбиции ограничивались тем, чтобы стать хорошим учителем. А когда Петр Сергеевич Новиков взял меня в аспирантуру, амбиции возросли: теперь я хотел стать хорошим преподавателем провинциального пединститута. Потом много лет работал в вузах, готовивших учителей, и регулярно бывал в школах. Самому преподавать в школе долго не удавалось: директора школ не решались доверить даже один предмет в одном классе университетскому профессору, хотя официального запрета не было, из соображений «как бы чего не вышло». (Исключением были математические классы, но они меня мало интересовали.) В «перестроечное» время положение изменилось, и я начал преподавать в школе, как и многие мои коллеги. А в 2000 г. ушел из Российского государственного гуманитарного университета, где работал с 1991 года, и преподаю с тех пор только в школе. Сейчас у меня уже довольно большой опыт преподавания в старших, средних и даже начальных классах, и вместе с многолетним опытом преподавания в высшей школе получается неплохой материал для размышлений, которыми я хотел бы поделиться с читателями, в основном ограничиваясь соображениями, относящимися к наиболее близким мне курсам «Алгебра» и «Алгебра и начала анализа». (Конечно, иногда придется нарушать это ограничение.)

I

Когда я был школьником, арифметика, алгебра и геометрия изучались по слегка переработанным учебникам А.П. Киселева. Для конца XIX столетия, когда они были написаны, их научный уровень был очень высоким, а в методическом отношении это подлинные шедевры. Учебник геометрии Киселева переиздается до сих пор, и я тоже им пользовался, когда преподавал этот предмет. Но алгебру сейчас невозможно изучать по Киселеву, потому что содержание этого курса очень сильно изменилось – настолько, что возникает сомнение, правомерно ли сохранять его прежнее название.

Алгебра у Киселева остается тем, чем была в течение многих веков – наукой о решении уравнений. За сравнительно небольшими исключениями содержание его учебника подчинено одной центральной теме: какие бывают уравнения и системы уравнений и как их решать. После основательной предварительной подготовки, включающей изучение многочленов и алгебраических дробей, рассматриваются линейные уравнения, затем квадратные; потом появляются некоторые уравнения высших степеней и даже неалгебраические: иррациональные, показательные, логарифмические. А вокруг этого обширный материал, необходимый для обстоятельного изучения всех этих типов уравнений: извлечение квадратного корня, иррациональные числа, функции и их графики, обобщение понятия степени, логарифмы, комплексные числа. Фактическим завершением курса служит глава об общих свойствах многочленов и алгебраических уравнений. Почти все это еще в 40-х и 50-х гг. входило в обязательную программу средней школы (а также элементы комбинаторики, бином Ньютона и прогрессии – у Киселева это тоже есть). [Школ и классов «с физико-математическим уклоном» тогда не было. Профильные школы и классы возникли в начале 60-х гг. как реакция на реформу, сделавшую среднее образование обязательным, что привело к резкому снижению его качества. Небезынтересно заметить, что в 1971 г. против создания школ для особо одаренных детей выступил в печати П.Л. Капица [1]; очень интересна также переписка А.Н. Колмогорова и П.Л. Капицы по этому вопросу [2].} Сравнив те разделы учебника Киселева, которые изучались в 6-8 классах, с современными учебниками алгебры для соответствующих им теперь 7-9 классов, мы увидим, что там излагается, по существу, другая наука. Уравнения и системы уравнений, конечно, остались, но перестали быть главным стержнем курса, а на первый план вышли функции. Мы найдем там не только много разнообразных примеров функций и понятия области определения и множества значений, но и такие свойства функций, как монотонность, ограниченность, четность и нечетность, выпуклость и даже непрерывность. Фактически это не алгебра, а пропедевтика математического анализа. С таким изменением направления связано и значительное усиление внимания к неравенствам. В этом же курсе изучаются теперь тригонометрические функции. (Зато нет, например, умножения многочленов «столбиком» и деления «уголком» – самого интересного, что было в мои школьные времена в алгебре в 6-м классе.)

Разумеется, содержание любого школьного курса должно время от времени обновляться вслед за развитием науки. Однако более естественным было бы такое обновление школьной алгебры, при котором она осталась бы алгеброй, но обогатилась бы идеями, появившимися в этой науке в XIX веке. Можно было бы обратить внимание на свойства операций над многочленами и алгебраическими дробями и сравнить их со свойствами операций над целыми, рациональными и действительными числами. Потом к ним добавились бы свойства операций над множествами; можно было бы подобрать для упражнений много наглядных примеров систем математических объектов, в которых естественным образом определяются операции, и объяснить, для чего эти операции нужны. И постепенно вырисовались бы главные идеи более новой алгебры – той, которая была новой во второй половине XIX столетия. А во второй части курса, в старших классах, появилось бы много возможностей развить эти идеи дальше.

II

Но при реформировании школьного курса алгебры, предпринятом в 60-х-70х гг. теперь уже прошлого столетия, был избран другой путь. Еще в начале этого столетия многие ученые и педагоги в европейских странах, включая Россию, выступали за реформу преподавания математики в средней школе, сильно отставшего к тому времени от развития математической науки, и особенно важным считали включение в школьный курс элементов дифференциального и интегрального исчислений. [О движении за реформирование школьного преподавания математики в предреволюционной России см. в статье Н.Я. Виленкина [3].] Можно сослаться, например, на статью Э. Бореля [4], опубликованную в 1914 г. и в том же году вышедшую в русском переводе. Позволю себе привести цитату: «Математика, преподаваемая в нашей средней школе, есть лишь схоластический пережиток, тогда как миром правит другая математика, и лишь малому числу избранных дано восторгаться гордой мощью этой математики. Но всякий образованный человек должен по крайней мере знать, что эта математика существует, а не представлять себе всех математиков вроде маньяков, проводящих дни и ночи за извлечением кубических корней.» Говоря о «другой математике», Борель имеет в виду прежде всего дифференциальное и интегральное исчисления, «одно имя которых вселяет в непосвященных страх», и настаивает на том, что учения, связанные «с четырьмя великими именами: Галилея, Декарта, Ньютона и Лейбница», должны занять в средней школе подобающее им место.

Именно такую цель ставили перед собой А.Н. Колмогоров и его сотрудники, разработавшие курс «Алгебра и начала анализа», введение которого заставило внести существенные изменения и в преподавание алгебры в средних классах. К сожалению, эта цель не была достигнута; более того, результаты реформы оказались во многом противоположными тем, на которые рассчитывали ее организаторы. Неудача была обусловлена прежде всего системой управления образованием и системой подготовки учителей. Важным элементом советской системы управления образованием, к 70-м годам окончательно закосневшей, были «стабильные учебники», по которым обязаны были преподавать учителя во всей огромной стране. Переходу на новый стабильный учебник предшествовало его «экспериментальное опробование», но оно было чисто формальным: в нескольких городах и районах всем учителям данного предмета предписывалось работать по пробному учебнику и писать отчеты, причем отрицательные отзывы во внимание не принимались. И когда новый учебник становился обязательным для всех, учителя часто испытывали значительные трудности, особенно в тех случаях, когда научный уровень учебника повышался. Возникали эти трудности в основном из-за усиленно прививавшегося студентам пединститутов представления, будто учителю достаточно знать свой предмет в пределах школьной программы, так что на изучение научных дисциплин можно не обращать особого внимания. Понятно, что воспитанный в таком духе учитель при каждом изменении программы оказывается беспомощным. [В конце 80-х гг. пишущий эти строки попытался проанализировать советскую систему подготовки учителей в книге «Откуда берутся учителя. Записки преподавателя пединститута» [5]. Эта книга осталась неопубликованной, но она размещена на сайте http://modernproblems.org.ru, в разделе «Образование и воспитание». (Мне представляется, что эта книга не утратила актуальности и сейчас, т. к. система в основных чертах осталась прежней. Подробнее см. в предисловии к книге, написанном в 2003 г.)] Между тем реформа курса алгебры весьма существенно изменила программу, и не менее существенно изменилась программа реформированного тогда же курса геометрии. Геометрия и при традиционном изложении по Киселеву была трудна для школьников, а новый учебник, возникший в результате сотрудничества А.Н. Колмогорова с талантливыми педагогами-математиками А.Ф. Семеновичем и Р.С. Черкасовым, был намного труднее. Но это книга добротная, тщательно продуманная, богатая новыми методическими идеями. В нормальных условиях этот учебник был бы сначала взят на вооружение небольшим числом учителей, а со временем на его основе теми же или другими авторами были бы созданы учебные пособия, которые получили бы более широкое распространение. Массового же «внедрения» он не выдержал и вскоре был заменен учебником А.В. Погорелова, обладающим внешними признаками «традиционности», а на самом деле тоже отошедшим от традиции очень далеко – с тем различием, что нетрадиционность колмогоровского учебника была обусловлена стремлением приблизить школьный курс к современным научным требованиям, а погореловского – личными вкусами автора. [Об учебнике А.В. Погорелова см. в статьях [6] и [7].] Для школьников он тоже труден, но трудности здесь искусственные, не вызванные необходимостью. Потом появились и другие учебники геометрии, среди которых нельзя не выделить прекрасные книги И.Ф. Шарыгина. Но самым распространенным до сих пор остается учебник Погорелова (ко всему прочему написанный крайне небрежно и плохим языком). Искусству доказательства этот учебник учит гораздо хуже, чем учебник Киселева, потому что многие классические рассуждения, опирающиеся наглядные представления, заменены в нем либо вычислениями, либо изысканными конструкциями, которые может оценить лишь искушенный в математике человек; школьник то и другое воспринимает как своего рода цирковые фокусы, непонятно для чего нужные. Кроме того, разрушена складывавшаяся десятилетиями культура решения геометрических задач. Решается гораздо меньше задач на доказательство, а задачи на построение исчезли вовсе. Таким образом, реальный уровень преподавания геометрии стал существенно ниже. Доходит до того, что методисты вполне официально рекомендуют учителям требовать знания только тех геометрических фактов, которые нужны для решения задач – разумеется, вычислительных, потому что при такой установке ни о каких других речи быть не может. Геометрия стала второстепенным предметом, и понижение ее статуса было подтверждено отменой обязательных экзаменов по геометрии, как переводных, так и выпускных.

Учебник алгебры и начал анализа под редакцией А.Н. Колмогорова также оказался трудным, но в меньшей степени, чем учебник геометрии. Он был переработан в сторону облегчения и используется до сих пор. Написан он весьма тщательно, выдержан в едином стиле (чего очень нелегко добиться в книге, написанной коллективом авторов) и аккуратностью изложения выгодно отличается от других известных мне пособий по этому курсу. [Уже после смерти Колмогорова в учебник был добавлен обширный исторический раздел, буквально пестрящий ошибками и резко выбивающийся из общего стиля книги. (Появился, между прочим, портрет Лейбница с подписью «Лейбниц Готфрид Фридрих» – это все равно, что поместить в учебнике русской литературы портрет Пушкина с подписью «Пушкин Александр Семенович».) Одновременно было опущено очень полезное приложение «Материал для повторения». И в таком виде учебник переиздается около двадцати лет!] (Должен оговориться, что знаю далеко не все пособия – их вышло потом довольно много.) Но в центральных разделах книги, посвященных элементам дифференциального и интегрального исчислений, уровень строгости определений и доказательств значительно ниже того, который был выдержан в написанных на сто лет раньше учебниках Киселева. (В других известных мне пособиях он еще ниже.)

Что же получилось в конечном счете в результате реформы?

III

Уже очень давно справедливо считается, что математике нужно учить детей, с одной стороны, потому, что она в той или иной степени пригодится им в жизни, с другой – потому, что она, по словам Ломоносова, «ум в порядок приводит», то есть приучает к четкому, ясному и упорядоченному мышлению, помогает выработать навыки логического рассуждения. Ясно, что чем старше дети, тем больше внимания нужно уделять второй задаче.

По старой традиции в европейской школе, в том числе российской, в средних и старших классах функцию «приведения ума в порядок» выполнял главным образом курс геометрии, но и в алгебре были разделы, хорошо служившие этой цели. Так было в течение многих десятилетий, но после введения в школьную программу элементов дифференциального и интегрального исчислений традиция была нарушена.

Из курса алгебры многое было изъято, причем как раз то, что в наибольшей степени способствовало «приведению ума в порядок» и расширению кругозора (комбинаторика, бином Ньютона, комплексные числа, теорема Безу). Освободившееся место заняли производные и интегралы, о которых рассказывают в стиле тех времен, когда начала анализа были, по выражению Г.М. Фихтенгольца, «покрыты мистическим туманом». Получился курс, который не только не способствует развитию навыков четкого и упорядоченного мышления, но, напротив, разрушает их, отучает от строгих рассуждений, от доказательств. А донести до школьников идеи, лежащие в основе понятий производной и интеграла, при этом не удается. Наивно было бы думать, что изложить эти понятия без обоснования так, чтобы было в самом деле понятно, легче, чем с обоснованием. В старые времена были, видимо, преподаватели, умевшие их так излагать, но это искусство давно забыто. И фактически все, что получает нынешний школьник в результате изучения «начал анализа» – это навыки выполнения некоторых формальных операций, смысл которых ему непонятен. Причиняемый таким преподаванием вред очевиден, а польза равна нулю: всем, кому могут потом понадобиться для работы хотя бы только элементы математического анализа, придется изучать его заново, и то, что они учили в школе, им в этом не поможет. А так как геометрия низведена до положения второстепенного предмета, приходится констатировать, что школьный курс математики в весьма значительной степени утратил свою развивающую, общеобразовательную функцию (и утилитарную тоже выполняет хуже, но это другая тема), и можно говорить о кризисе в школьном преподавании математики.

Сейчас учителя математики чаще всего считают, что их главная и едва ли не единственная задача – научить производить некоторые действия согласно определенным предписаниям («алгоритмам», как теперь обычно говорят), а обоснования и доказательства – это необязательные украшения, «бантики», как выразилась одна учительница при обсуждении моей программы по алгебре для 8-го класса. Понимать смысл этих действий тоже не обязательно, важно только одно – чтобы ответ получился правильный. Человек, которого так учили математике, не сможет, конечно, восторгаться ее гордой мощью, чего хотели Э. Борель и А.Н. Колмогоров. Больше того – он будет испытывать к ней отвращение. Как же бороться с такой профанацией?

IV

Подозреваю, что многие сочтут ответ очевидным. Детей с математическими способностями, скажут они, нужно отдавать в математические классы, там они и геометрию изучат как следует, и начала анализа. Всем прочим математику надо преподавать в максимально облегченном виде, без строгих определений и доказательств; а детям с гуманитарными склонностями математика вообще ни к чему, в гуманитарных классах ее давно пора отменить.

При серьезном подходе это расхожее мнение не выдерживает критики (даже если отвлечься от того немаловажного обстоятельства, что далеко не везде есть возможность организовать математические классы), потому что основано на заблуждениях. Одно из них состоит в том, что между математикой и естественными науками с одной стороны и гуманитарной сферой деятельности с другой будто бы лежит непреодолимая пропасть, и вся культура находится по одну ее сторону, а то, что по другую, имеет только прикладное значение. Отсюда проистекает скрытое, а иногда и открытое взаимное презрение «гуманитариев» и «естественников». В действительности математика и естественные науки составляют столь же неотъемлемую часть общечеловеческой культуры, как искусство и гуманитарные науки. [Это утверждение представляется мне очевидным, но для тех, кто сомневается в необходимости изучения математики для приобщения к культуре, я написал в свое время статью [8].] Филолог, невежественный в математике и физике, имеет не больше прав называться культурным и образованным человеком, чем математик, невежественный в истории и литературе. Другое заблуждение – будто бывают дети с блестящими гуманитарными способностями, совершенно неспособные к изучению математики, и наоборот – с блестящими математическими способностями и нулевыми гуманитарными. Есть, конечно, дети, больше интересующиеся историей и литературой, чем математикой и физикой, или наоборот, но чтобы ученик, очень сильный, скажем, в истории и литературе, был слаб в математике – так не бывает никогда. Это знают все учителя, думающие о развитии своих учеников, а не об успехе на олимпиадах и при поступлении в вузы. Когда я преподавал математику в гуманитарных классах, ученики, самые сильные в гуманитарных предметах, были и у меня самыми сильными, а самые слабые в них – самыми слабыми; ни одного исключения мне не встретилось. Третье заблуждение, более новое, но в последние десятилетия широко распространившееся,– убеждение, что чем раньше человек выберет или ему выберут специальность, тем лучший из него выйдет специалист. Для музыкантов-инструменталистов и, кажется, для профессиональных спортсменов это действительно верно, но для тех, кто выберет технические профессии, и в не меньшей степени для тех, кто будет работать с людьми, сделавшись педагогами, психологами, юристами (не говоря уже о тех, кто пойдет в науку) ранняя специализация очень вредна: она приводит к сужению кругозора и появлению специалистов, «подобных флюсу», по известному выражению Козьмы Пруткова,– ничего не видящих за пределами своей узкой специальности. Между тем при нынешних темпах технического прогресса специалист, допустим, по холодной обработке металлов окажется беспомощным, если технология холодной обработки металлов существенно изменится – что с большой вероятностью может произойти не один раз, прежде чем он выйдет на пенсию,– а он не обладает достаточно широким кругозором. (Положение такого специалиста вполне аналогично положению учителя, знающего свой предмет лишь в пределах школьной программы, о чем говорилось выше; в сущности, это одно и то же явление.)

Есть и другие, не столь важные заблуждения, но сказанного о трех главных вполне достаточно для категорического вывода: модная сейчас «дифференциация обучения» – тупиковpый путь, и во всяком случае преодолеть кризис в школьном преподавании математики она не поможет.

V

Так что же – значит, справиться с этим кризисом невозможно, и преподавание математики в нашей школе обречено на окончательную деградацию? Осмелюсь ответить на этот вопрос отрицательно. Как ни плохо обстоит дело «в целом», в России и сейчас не так уж мало хороших учителей и хороших школ (и не только в крупных городах), не перевелись талантливые педагоги, и живы еще старые российские традиции в образовании: связь между высшей и средней школой, готовность учителя беседовать с любознательным школьником и профессора с любознательным студентом. [Как стары эти традиции, можно видеть из письма Н.Н. Лузина к М.Я. Выгодскому [9], в котором он рассказал о своих беседах с профессором Б.К. Млодзеевским в бытность студентом Московского университета по поводу трудностей, возникших у него при изучении математического анализа.] Это создает предпосылки для преодоления кризиса. Разумеется, быстро преодолеть его невозможно. Сначала должны появиться учебники, написанные с учетом накопленного опыта, как положительного, так и отрицательного; эти учебники возьмут на вооружение сначала немногие учителя, потом таких учителей станет больше, с учетом их опыта учебники будут совершенствоваться, появятся новые учебники… – словом, будет идти нормальный процесс эволюции, как во времена Киселева. Мы видели выше, что реформа 60-х-70-х гг. провалилась главным образом из-за системы стабильных учебников, сделавшей нормальную эволюцию невозможной. Сейчас министерские чиновники разрабатывают законопроекты, предусматривающие фактический возврат к стабильным учебникам (и даже распространение системы стабильных учебников на высшую школу, до чего советские чиновники не додумались), но я думаю, что из этой затеи ничего не выйдет: наша бюрократическая машина крайне неповоротлива, образованные и думающие учителя, отвыкшие уже от мелочной опеки, будут отчаянно сопротивляться, и среди чиновников разных уровней тоже есть разумные люди. Геометрию во многих школах преподают теперь по учебникам И.Ф. Шарыгина, написанным на современном научном уровне и в то же время живо и доступно. На очереди алгебра и начала математического анализа.

Мне представляются возможными два пути выхода из того странного положения, в котором находятся теперь в школе эти предметы. Один из них состоит в том, чтобы переработать курс алгебры в направлении приближения его к современному состоянию этой науки (см. выше) и включить в него небольшой раздел, посвященный идеям предела, производной и интеграла. В этом разделе изложение должно быть основано исключительно на примерах, доказательства должны проводиться только для простейших частных случаев элементарными способами, и нигде не должно выдаваться за доказательство то, что таковым не является. Итогом изучения этого раздела должно быть осознание поистине удивительного факта, что операции проведения касательной и вычисления площади – взаимно обратные. (Его можно проиллюстрировать на тех же простейших примерах.) Техники дифференцирования и интегрирования здесь касаться незачем.

Другой возможный путь – научиться преподавать начала анализа без мистического тумана, так, чтобы этот курс служил «приведению ума в порядок» не хуже, чем традиционный курс геометрии. Это трудно, но, по моему глубокому убеждению, вполне возможно. Если бы удалось наладить такое преподавание сначала хотя бы в нескольких школах, то появилась бы надежда постепенно исправить положение. И прежде всего нужно написать учебник нового типа, в котором рассуждениям и объяснениям отдавалось бы решительное предпочтение перед вычислениями и формальными преобразованиями и полная строгость сочеталась бы с максимальной наглядностью.

Мы с моим коллегой Ю.Н. Козиоровым, имеющим большой опыт преподавания анализа и математической логики в педагогических институтах, а также руководства математическими кружками для школьников, решились попытаться написать такой учебник. Работа над ним продолжается уже около десяти лет и сейчас, как нам кажется, близка к завершению. В процессе работы нам пришлось подвергнуть критическому анализу наши методические привычки – привычки, свойственные, по-видимому, подавляющему большинству тех, кто читает математические курсы в университетах и педвузах и пишет по этим курсам учебники (а также многим авторам школьных учебников). Мы привыкли главное внимание обращать на безупречность формальной правильности и не слишком заботимся о том, как помочь учащемуся разобраться в хитросплетениях наших безупречных конструкций. Многие преподаватели и авторы учебников считают всякие объяснения излишними: «Умный и так поймет, а дураку все равно не объяснишь». Между тем больше всех нуждаются в объяснениях как раз самые умные, самые вдумчивые студенты и школьники. Н.Н. Лузин рассказал в упомянутом выше письме, как трудно было ему изучать анализ и как помог ему терпеливыми объяснениями «властный», но доброжелательный Б.К. Млодзеевский. Не исключено, что если бы на месте Млодзеевского оказался важный барин, к которому страшно обратиться за объяснениями, то судьба Лузина была бы иной, и не было бы Московской математической школы.

За барственной позицией преподавателя, пренебрегающего объяснениями, прячется обыкновенная лень. Обдумывать разные подходы к объяснению, искать образы и сравнения, помогающие понять содержательный смысл формальных операций, оттачивать детали, излагать рассуждения на русском или другом естественном языке, борясь с его неподатливостью, заботясь о ясности и выразительности, обдумывая каждую фразу и каждое слово, устраняя чересчур тяжелые обороты и слишком частые повторения одних и тех же слов и словосочетаний – очень трудная работа, требующая много времени и внимания. Выписывать цепочки формальных преобразований несравнимо легче. Вот и идут преподаватели и авторы учебников по пути наименьшего сопротивления, и это освящается традицией.

Все, кому приходилось читать анализ первокурсникам, знают, что главный барьер для них – теория пределов, излагаемая обычно на «ε-δ-языке» с помощью неравенств. Начав пользоваться вместо этого наглядными геометрическими рассуждениями, я сразу увидел, что они доходят существенно лучше, а поработав в школе, убедился, что школьник склонен воспринимать длинную цепочку выкладок как некое магическое средство – цепочку заклинаний. Даже если каждый отдельный шаг ему понятен, остается непонятным главное: почему надо делать именно такие шаги, а не какие-нибудь другие, какая идея стоит за этой цепочкой? (Конечно, есть сильные школьники, хорошо понимающие «выкладочные» доказательства, но я далеко не уверен, что и для них более наглядные не были бы проще.) И я не первый пришел к таким выводам. Вадим Арсеньевич Ефремович, крупный ученый и замечательный педагог, принадлежавший к поколению моих учителей и сохранивший до последних дней жизни удивительную ясность и живость мысли [О В.А. Ефремовиче см. [10].] (мне посчастливилось в 1986-89 гг. работать с ним на одной кафедре) не уставал повторять, что изложение теории пределов на языке неравенств – «безобразие». При нашей последней встрече в апреле 89-го он говорил, что сохраняется это безобразие только благодаря косной традиции, идущей от времен Вейерштрасса, когда никакого другого языка для изложения теории пределов не было. А Ж. Дьедонне в вышедшей еще в 1960 г. и 4 года спустя изданной в русском переводе книге [11] охарактеризовал «ε-δ-технику» как устаревшую.

Конечно, трудно отрешиться от стереотипа, выработавшегося еще в студенческие годы и закрепленного многолетним опытом преподавания и чтением книг, авторы которых придерживались той же традиции. Но возможно. И тогда открывается широкое поле для размышлений на методические темы.

VI

Прежде всего мне хотелось бы остановиться на использовании в преподавании математики в средней и высшей школе символического языка математической логики.

Когда я в 1954 г. впервые начал читать анализ на 1-м курсе, я попробовал записывать определения в теории пределов на символическом языке и поначалу был доволен результатами, потому что студентам стало легче выучивать эти определения; но довольно скоро пришел к выводу, что в данном случае символическая запись облегчает только механическое запоминание, не способствуя лучшему пониманию, так что фактически я поддерживаю вредную привычку заучивать формулировки, не понимая их смысла. Потом я почти 30 лет не преподавал анализ и читал только алгебру, математическую логику, теорию алгоритмов и спецкурсы. А когда в 1986 г. вернулся к анализу, не без удивления обнаружил, что в новых учебниках широко используется логическая символика (в 50-х гг. в СССР лишь очень немногие математики знали о ее существовании, хотя русский перевод «Основ теоретической логики» Гильберта и Аккермана вышел еще в 1947 г.), причем логические символы вводятся просто как сокращенные записи некоторых слов. К тому времени у меня был уже большой опыт преподавания математической логики; кроме того, я специально занимался вопросом о соотношении значений пропозициональных связок и «логических слов» естественного языка (см. [12, 13, 14]). И я подумал, что, видимо, пора уже дать символическому языку право гражданства не только в высшей, но и в средней школе и вводить его не мимоходом, скороговоркой, а по-настоящему, с подробными пояснениями и опорой на естественный язык. Главное – познакомить ученика не только с логическими символами, но и с понятиями, которые за ними стоят; тогда ему многое станет яснее. Если, например, он будет знать, что импликация с ложной посылкой истинна, ему легче будет понять, почему пустое множество является подмножеством любого множества. Пониманию старшеклассников, знакомых с первоначальными понятиями теории множеств, это должно быть вполне доступно.

Позже, уже в конце 90-х, я это проверил в одном 10-м гуманитарном классе и двух 9-х «культурологического» профиля. Во всех трех классах ученики легко усваивали этот материал, а задачи на перевод с русского языка на символический и обратно решали не хуже, чем студенты, с которыми я подобные занятия проводил много раз.

При изучении начал анализа символический язык может хорошо работать не только в теории пределов. Очень полезен он при изучении свойств числовых множеств и функций и еще полезнее в разделе о равносильности уравнений и неравенств. В нынешних учебниках трактовка равносильности архаична; особенно сильно это бросается в глаза, когда речь идет о неравенствах. Используя символический язык, можно сделать этот раздел гораздо прозрачнее и понятнее.

Говоря о неравенствах, хотелось бы сделать следующее замечание. Со времени реформы в школе прочно утвердилось решение неравенств вида f(x)>0 и т. п., где f – многочлен, корни которого известны, с помощью «метода интервалов», основанного на не доказываемом свойстве непрерывных функций и требующего вычисления значений многочлена в точках, число которых на единицу больше числа его корней. Учителя, как правило, тратят на отработку этого метода много времени. Между тем такие неравенства очень просто решаются без всяких вычислений, если пользоваться тем очевидным фактом, что произведение нескольких действительных чисел, отличных от нуля, тогда и только тогда положительно, когда число отрицательных сомножителей в нем четно. С небольшими изменениями это соображение работает и при замене многочлена едва ли не всеми функциями, для которых в школе решают неравенства «методом интервалов». Зачем же учить детей стрелять из пушек по воробьям?

Еще одно замечание – по поводу определения непрерывной функции как такой, график которой есть «непрерывная линия». Предлагая его ученикам – явно или неявно,– мы их обманываем: нарисованная или напечатанная на бумаге «непрерывная линия», если посмотреть на нее в микроскоп, окажется состоящей из отдельных точек, как и график любой функции, если только его можно изобразить на чертеже. [Простейший пример функции, график которой невозможно изобразить на чертеже даже грубо приближенно – функция Дирихле.] Поэтому такое определение не соответствует никакому реальному явлению (в отличие, например, от нестрогого определения производной как скорости изменения значений функции).

Подобных замечаний разной степени важности можно было бы сделать много, но вряд ли стоит приводить их прежде, чем мы сможем предложить на суд коллег свой вариант учебного пособия или хотя бы некоторые главы. А сейчас я хотел бы заметить, что суровая реальность предъявляет к структуре пособия требования, которые необходимо выполнить независимо от того, нравятся ли они авторам. Во-первых: так как мы хотим, чтобы нашим пособием могли пользоваться ученики старшей школы, учившиеся в основной школе по разным учебникам, в которых многие темы излагаются разными способами (и притом, по нашему убеждению, не всегда корректно), мы вынуждены заново излагать эти темы. Разумеется, образованный и думающий учитель (а только на такого учителя рассчитано наше пособие) легко выяснит, что из этого материала его ученикам необходимо изучать заново и что достаточно бегло повторить. Во-вторых: реформа ввела в школьную практику несколько новых тем, без которых, как нам кажется, можно было бы обойтись (например, решение тригонометрических неравенств), но опустить их мы не можем, потому что они входят в обязательные программы для всевозможных экзаменов. В-третьих: некоторые понятия, сохраняющиеся в школьном преподавании с давних времен, представляются нам некорректными. Такие понятия, хотя их немного, представляют для нас наибольшую трудность, т. к. они тоже входят в программы экзаменов.

Теперь о том, как могло бы использоваться наше пособие. Конечно, оно не предназначается для массового использования в качестве единственного или основного учебника, и если вообще найдутся учителя, которые захотят пользоваться им в качестве основного пособия, то их будет немного. Но мы надеемся, что книга будет полезна учителям самых разных школ и классов, от физико-математических до гуманитарных (мы очень старались выдержать ее в «гуманитарном стиле») в качестве вспомогательного пособия, а ученикам – в качестве книги для чтения.

Упражнений в пособии немного; мы сознательно не перегружали его задачами и ограничились «необходимым минимумом». Но в руках учителей и учеников, которые будут пользоваться этим пособием, должен быть также «привязанный» к нему задачник; такой задачник еще предстоит составить.

В заключение хочу подчеркнуть, что мы не считаем выбранный нами путь выхода из кризиса единственно возможным. Было бы очень хорошо, например, если бы кто-нибудь из коллег взялся за разработку нового школьного курса алгебры в том направлении, о котором говорилось выше. Необходимым условием нормального процесса эволюции является плюрализм; в применении к образованию это верно не в меньшей степени, чем в применении к общественной жизни, а в применении к преподаванию каждого отдельного учебного предмета – не в меньшей степени, чем в применении к образованию в целом.

Литература

[1] Капица П.Л. Некоторые принципы творческого воспитания и образования современной молодежи.// Математика в образовании и воспитании. Сост. В.Б. Филиппов. М.: ФАЗИС, 2006.

[2] Абрамов А.М. Переписка П.Л. Капицы и А.Н. Колмогорова по вопросам образования.// Математика в образовании и воспитании. Сост. В.Б. Филиппов. М.: ФАЗИС, 2006.

[3] Виленкин Н.Я. Современные проблемы школьного курса математики и их исторические аспекты.// Математика в школе, 1988, № 4.

[4] Борель Э. Как согласовать преподавание в средней школе с прогрессом науки.// Математика в образовании и воспитании. Сост. В.Б. Филиппов. М.: ФАЗИС, 2006.

[5] Гладкий А.В. Откуда берутся учителя. Записки преподавателя пединститута. http://modernproblems.org.ru.

[6] Александров А.Д. О строгости изложения в учебном пособии А.В. Погорелова.// Математика в школе, 1984, № 1.

[7] Гладкий А.В. О некоторых определениях в учебном пособии А.В. Погорелова.// Математика в школе, 1990, № 6.

[8] Гладкий А.В. Зачем нужна в школе математика?// Знание – сила, 1996, № 2.

[9] Лузин Н.Н. О бесконечно малых величинах в преподавании и в науке.// Математика в высшем образовании, 3. Н. Новгород: Изд-во Нижегородского гос. университета, 2005.

[10] Гладкий А.В., Грек А.С., Фет А.И. Памяти В.А. Ефремовича.// Математика в школе, 1989, № 5.

[11] Дьедонне Ж. Основы современного анализа. М.: Мир, 1964.

[12] Гладкий А.В. О значении союза или.// Семиотика и информатика, выпуск 13.

М.: ВИНИТИ, 1979.

[13] Гладкий А.В. О значении союза если.// Семиотика и информатика, выпуск 18.

М.: ВИНИТИ, 1982. Перепечатка: // Семиотика и информатика, выпуск 35.

М.: ВИНИТИ, 1997.

[14] Гладкий А.В., Дрейзин Ф.А. О семантике русского отрицания.// Wiener slawistischer Almanach, Bd. 11. Wien: Gesellschaft zur Förderung slawistischer Studien, 1983.