3. Время пониженной продуктивности (1884−1897)

1884 г. видимым образом завершает второй, важнейший и плодотворнейший период в творчестве Кантора; начинается следующий период, также продолжительностью в тринадцать лет, когда его созидательная воля, хотя и не сломленная, под влиянием упомянутых обстоятельств и вызванного ими смещения интересов рождает лишь немного произведений, сравнимых по оригинальности с результатами второго периода. С другой стороны, именно в это время новые идеи все больше начинают пробивать себе путь к научной общественности.

В начале 1885 г. психический кризис у Кантора по существу преодолевается, и вновь возрождается его вера в значение собственных достижений. Далее, к его идеям примыкают в возрастающем числе другие математики (прежде всего, в 1885 г. Гарнак, Лерх, Фрагмен). Теоретико-множественная точка зрения предлагается даже для целей школьного преподавания: старший учитель городской гимназии в Галле, Фр. Майер, состоявший в близких личных отношениях с Кантором, публикует в 1885 г. второе издание своих “Elemente der Arithmetik und algebra” («Элементов арифметики и алгебры»), на которые оказали решительное влияние идеи Кантора о трансфинитном; в частности, в этой книге понятие числа вводится теоретико-множественным путем. Правда можно усомниться, произвела ли эта высоко стоящая в научном отношении книга надлежащее воздействие на школьное преподавание, на которое была рассчитана. В последующие годы выходит и ряд дальнейших работ самого Кантора, в которых изложение и защита ранее достигнутого, особенно же дискуссии философского характера, превышают новое творчество. В математическом отношении интересы Кантора все больше смещаются, отдаляясь от точечных множеств в сторону расширения понятия числа. На то же время приходится обширная корреспонденция с математиками, философами, теологами и другими учеными, в которой он уточняет свои взгляды на актуальную бесконечность, защищая ее от недоразумений. Он находит досуг также для расширения своих и до того поразительных познаний в старой философской и теологической литературе о проблеме бесконечного. В этом духе написаны работы“Über die verschiedenen Standpunkte in Besug auf das aktuelle Unendliede” («О различных точках зрения на актуальную бесконечность») и “Mitteilungen zur Lehre vom Transfiniten” («К учению о трансфинитном»), в значительной мере направленные в сторону философии и полемически окрашенные. Кроме того, в конце последней из них содержится еще своеобразная теория кратных порядковых типов; в 1888 г. появилась диссертация на эту тему “Ein Beitrag zur Theorie der Ordnungstypen” («К теории порядковых типов») его ученика, впоследствии философа Германа Шварца, возникшая под влиянием прочитанных в 1887 г. лекций Кантора. К тому же времени относится высказывание Кантона (в письме Виванти), что многозначная аналитическая функция способна принимать в заданной точке не более чем счетное множество различных значений (и предложение доказать это).

Наряду с другими соображениями, прежде всего конфликт с Кронеккером привел его к убеждению, что для обеспечения свободы и научной независимости отдельного, в особенности начинающего исследователя в математическом сообществе и для защиты от чрезмерного влияния отдельных ученых целесообразно объединить немецких математиков в одну организацию. По его инициативе было основано Немецкое математическое объединение, которому с самого начала он был предан всей душой, никогда не уставая подчеркивать значение его для свободы научного творчества. Мы находим имя Кантора среди подписавших «гейдельбергское воззвание» 1889 года, первое публичное обращение к коллегам по случаю 62-го Съезда немецких естествоиспытателей и врачей, а также принятые в следующем году «бременские постановления» Математико-аcтрономического отдела Съезда естествоиспытателей, которыми и было учреждено Объединение. Начиная с основания Объединения (18 сентября 1890 г. Кантор был его председателем, а также соиздателем двух первых томов “Jahresbericht”, и когда осень 1893 г. он вынужден был по состоянию здоровья отказаться от председательства, в выраженной ему благодарности подчеркивалось, что именно ему принадлежит «первый почин основания Объединения, а его живое и энергичное участие привело к осуществлению этого плана» * Jaresbericht d. D. Mathematikerveereinigung, 1, 3–7 (1892) и 3б 8 (1894) .

Отложив личную неприязнь, он пригласил Кронеккера сделать вступительный доклад на первом собрании Объединения в Галле (осенью 1891 года) * Ни это приглашение, ни тон упоминаемого ниже ответного письма Кронеккера не должны ввести нас в заблуждение по поводу характера отношений между учеными, оставшегося прежним; ср. письмо Кантора Миттаг-Лефлеру от 5 сентября 1891 г. . Кронеккер, не будучи в состоянии принять это приглашение вследствие смерти жены, в своем ответе высказал аргументы в пользу и против этой организации; письмо его, в существенной части, было опубликовано в первом томе “Jahresbericht”. По случаю первого собрания Объединения Кантор прочел также знаменитый доклад [I7], в котором упростил доказательство одного из своих теоретико-множественных результатов, что позволило теми же средствами (с помощью диагонального процесса) установить существование бесконечного числа различных трансфинитных мощностей. Это рассуждение значительно проще доказательства того же предложения с помощью числовых классов в части 5 работы [13] и избегает, сверх того, обходного пути через порядковые числа.

Более широкий план Кантора − основать международную организацию математиков потерпел неудачу; но он решительно и успешно работал над учреждением Международных математических конгрессов.

Кантор завершил свои математические публикации вышедшей в 1895−97 годах статьей [17] из двух частей. Она представляет систематическое изложение большей части его результатов по общей теории множеств и написана совсем в ином − можно сказать, классически зрелом − духе, чем его прежние работы. Мы находим здесь предназначенную для математической публики, освобожденную от критических и философских прибавлений версии работы «К учению о трансфинитном»; при этом весьма подробно излагается еще не-достававшая там теория вполне упорядоченных множеств и порядковых чисел, но первоначально задуманное применение ее к теории кардинальных чисел опущено, по-видимому, из-за отсутствия теоремы о полном упорядочении. Из «классических» теорем абстрактной теории множеств мы не обнаруживаем в [17] лишь теоремы эквивалентности, первые доказательства которой появились в то же время.

При сравнении работы [17] , одной из двух величайших и бессмертных работ Кантора, со второй из них, [13], прежде всего видно смещение центра тяжести от множеств к числам; далее значительный прогресс в смысле ясности и систематичности делает эту статью еще и сейчас ценной для преподавания.

В таком развитии чувствуется влияние Дедекинда, невольное и, возможно, не осознанное обоими. Но и в этой поздней работе заметно сохраняется дистанция, отделяющая ее от построений Дедекинда и Фреге, как в отношении самого понятия множества, так и в способе последовательного восхождения, отправляющегося от конечных множеств, и в (неоправданном по существу) ограничении вторым числовым классом.

В особенности следует отметить начало статьи [17]. Здесь приводится известное определение множества, заметно отличающееся от предыдущих (ср. также часть 1 работы «К учению о трансфинитном»), а затем вводится понятие мощности в смысле только что указанной работы − как общего понятия, возникающего из множества при двойной абстракции, от природы элементов и от порядка их задания; таким образом, понятие мощности уже не определяется через эквивалентность, как в [13]. За надлежащим образом видоизмененными определениями упорядочения по величине и мощностей следует отчетливое замечание, что «сравнимость» не самоочевидна и не может быть доказана в этом месте построения; автор обещает доказать теорему о сравнимости в дальнейшем и указывает, что «теорема эквивалентности» будет вытекать из нее как следствие. 

Страница 3 из 5 Все страницы