На главную / Биографии и мемуары / Адольф Френкель. Жизнь Георга Кантора

Адольф Френкель. Жизнь Георга Кантора

| Печать |


4. Старость и признание

В 1897 году завершается публикация работ 52-летнего в то время исследователя. Тогда же начинается все возрастающее признание его труда математическим миром.

Прекращение научной продукции вовсе не означает, что он перестал интенсивно заниматься теорией множеств. Применениям в теории функций действительного переменного он уделял мало внимания, более ожидая вторжения методов теории множеств в классический анализ и в теорию чисел. В центре же его интересов по-прежнему находилась проблема континуума. Об его усилиях в этом направлении, кроме волнующего эпизода в 1904 г., говорит также переписка с Дедекиндон летом 1899 г. Эти последние дошедшие до нас обрывки переписки, отделенные от предыдущих почти двадцатилетним промежутком, начинаются с утверждения Кантора, что с 1897 г. он располагает доказательством теоремы, в силу которой все мощности суть алефы. Дело заключалось в следующем.

Не позже 1895 г., т. е. за два года до публикации Бурали-Форти, Кантор сам столкнулся с так называемым парадоксом Бурали-Форти, касающимся множества всех порядковых чисел, и в 1896 г. сообщил о нем Гильберту * В письме Юнгу от 9 марта 1907 г. Кантор резко нападает на известные статьи Бурали-Форти в Rendiconti Palermo, заявляя, что тот даже не усвоил понятия вполне упорядоченного множества (см. Mathem. Gazette, №14, 101, 1929) . Далее, в 1899 г. он пишет Дедекинду также о других противоречивых системах, например, о совокупности всех мощностей или всего мыслимого, и называет их «неконсистентными» (или «абсолютно бесконечными») системами. В противоположность этому, система может рассматриваться как множество, «если совокупность элементов некоторого разнообразия непротиворечивым образом мыслима как совместно существующая» * Вскоре затем Кантор уточняет употребление слова «разнообразие» в этой связи, разъясняя, что он имеет в виду «разнообразия не связанных вещей, т. е. такие разнообразия, что удаление из них произвольного элемента или многих элементов никак не влияет на существование остальных». (Отметим, как близко Кантор подошел здесь к запрещению так называемых непредикативных определений, тем самым неосознанно подвергая критике также понятие степени множества, основное для его построения теории множеств) . Парадокс, возникающий из множества всех порядковых чисел, по мнению Кантора как раз и означает, что существуют «некоторые разнообразия, не мыслимые также в виде однообразия». Опираясь на эти не особенно ясные понятия, он утверждает далее, что эквивалентные разнообразия одновременно являются множествами или неконсистентны, и что подразнообразие множества есть снова множество. Дальше он рассуждает следующим образом. Пусть W − система всех порядковых чисел, V − разнообразие, не имеющее в качестве мощности никакого алефа; тогда легко видеть, что «вся система W проектируется в разнообразие V» т. е. V должно содержать подразнообразие, эквивалентное W; и если, таким образом, V вообще имеет определенную мощность, то она должна быть алефом. Как мало это «доказательство» удовлетворяло его самого, видно из того, что он вскоре обратился с просьбой к Дедекинду дать с помощью его теории цепей «прямое» доказательство сравнимости. Таким образом, с 1884 года до смерти Кантора нерешенная проблема континуума упорно его беспокоила, временами вызывая у него даже сомнение, состоятельна ли теория множеств как научное построение в ее нынешнем виде.

В перегоняющих друг друга письмах, относящихся к периоду успешной деятельности Кантора (1899 г.), содержатся и другие вещи, заслуживающие упоминания.

Так, 29 августа Дедекинд сообщает другу доказательство эквивалентности с помощью своей теории цепей, на возможность которого он уже весной 1897 г. указывал Ф. Берштейну * Доказательство Шредера (содержавшее пробел) было доложено осенью 1896 г. на Франкфуртском собрании естествоиспытателей; доказательство Бернштейна, найденное им зимой 1896/97 г., было доложено в 1897 г. на семинаре Кантора. Доказательство Дедекинда (не опубликованное) по существу совпадает с более поздним доказательством Цермело (Math. Ann., 65, 271, 1908) . Далее, Кантор формулирует известную альтернативу относительно возможных отношений эквивалентности между двумя множествами M и N: каждое из них либо эквивалентно некоторому подмножеству другого, либо не эквивалентно никакому из них; таким образом, имеется четыре мыслимых комбинации (одна из которых, соответствующая «несравнимости», была позже исключена в силу теоремы о полной упорядоченности). Этот метод, сейчас для нас почти самоочевидный, до тех пор не встречался в работах Кантора; по рассказу Шенфлиса * Jahresber. d. D. Mathematikervereinigung, 101 и далее, 1922 , письмо, в котором Кантор сообщил его в Геттинген, было там воспринято как откровение и переходило из рук в руки. Наконец, в тех же письмах Кантора утверждения о существовании множеств (т. е. консистентных разнообразий) с кардинальными числами объявляются аксиомами элементарной, соответственно, расширенной арифметики; это вполне соответствует духу впоследствии построенной Расселом теории “individuals” («индивидуумов»).

В том же 1897 г., когда вышла последняя работа Кантора, в Цюрихе состоялся первый «Международный математический конгресс». Он встретил на конгрессе единодушное признание; наряду с секционным сообщением Адамара, использовавшего понятия теории множеств как уже известные и необходимые орудия, доклад Гурвица на первом пленарном заседании «О развитии общей теории аналитических функций в новейшее время» особенно ярко продемонстрировал, насколько плодотворными оказались для теории функций идеи Кантора и среди них столь оспаривавшиеся трансфинитные числа. Надо отметить, что три уже тогда ведущих исследователя, Гильберт, Гурвиц и Минковский, состоявшие между собой в дружбе, первые в странах немецкого языка поняли и пытались разъяснить оригинальность идей Кантора и значение его теории множеств; было это еще «в то время, когда в задававших тогда тон математических кругах самое имя Кантора было под запретом, а в его трансфинитных числах видели всего лишь вредные порождения фантазии» * Ср. речь Гильберта, посвященную памяти Минковского (Göttinger Nachrichten, 1909; Собрание сочинений Минковского, т.1), где цитируется также меткое замечание из доклада Минковского об актуально-бесконечном в природе. В обоих докладах упоминается оппозиция Кронеккера по отношению к идеям Кантора . Не только значение этих ученых, но также их особая связь со строгими методами теории чисел способствовали разрушению многих предубеждений против теоретико-множественных построений.

Кантор, чрезвычайно обрадованный признанием его в Цюрихе, в том же году рассказал узкому кругу немецких математиков о возникновении и основных результатах своей теории; этот неофициальный доклад, состоявшийся во время брауншвейгского собрания немецкого математического объединения, известен лишь по неопубликованным заметкам И. Штеккеля. Первые систематические изложения теории множеств, не принадлежащие ее автору, появились во Франции; прежде всего следует упомянуть книгу Бореля “Leçons sur la théorie des fonctions”(«Лекции по теории функций») * Ср. также его статьи в Revue philosophique за 1899 и 1900 годы, перепечатанные во 2-ом (и 3-ем) издании названной книги, в 1914 (1928) г. Если в учебнике Бореля имя Кантора лишь бегло упоминается, а результаты его доказываются совсем другим путём, то во введении к этим статьям Борель отвергает всякое подозрение в возможной недооценке Кантора, могущее возникнуть по этому поводу , в значительной степени уже представлявшую собой учебник теории множеств; там было, между прочим, впервые опубликовано найденное учеником Кантopa Феликсом Бвршптейном (первое безупречное) доказательство теоремы эквивалентности. Этой широко распространенной книгой и вышедшим в Jahresbbericht der Deutschen Maths.-Ver. за 1899−1890 гг. первым обзором Шенфлиса Entwicklung der Lehre von rer Punktmannigfaltigkeiten («Развитие теории точечных многообразий») и завершилось, в известном смысле, победоносное шествие теории множеств; она превратилась в дисциплину, равноправную другим отраслям математики, а вскоре даже получившую над ними преимущество. Первый учебник, специально посвященный теории множеств (супругов Юнг), появился в Англии в 1906 г., в Германии же такая книга вышла лишь в 1914 г. («Основы» Хаусдорфа); и все же горькие слова Кантора в письме Юнгу от 1908 г., жалующегося, что его в Германии (в отличие от Англии) не знают, представляются позднейшему наблюдателю несправедливыми или, может быть оправданными лишь в отношении внешних почестей * Все же нас удивляет теперь, что в Jahrbuch fur die Fortschritte der Mathematik, уже с 1892 г. нашедшем в лице Виванти сведущего референта по теории множеств, до 1904 года теоретико-множественные работы (за исключением отнесенных к геометрии) обсуждались в разделе «Философия», а затем переместились в подраздел между философией и педагогикой (и лишь под редакцией Лихтенштейна эта дисциплина обрела самостоятельное положение) . В действительности, например, уже задолго до начала века план «Энциклопедии математических наук» предусматривал статью по теории множеств (вышедшую в 1898 г.), и притом не среди отдельных геометрических дисциплин в томе III, но в числе первых статей I-го тома, наряду с основными разделами арифметики.

В 1899 г. когда супруги Кантор отпраздновали в Гарце серебряную свадьбу, мы видим 54-летнего исследователя вновь отдавшимся со всей энергией математическому творчеству.  Это не привело, впрочем, к существенным достижениям или к публикации. Но и впоследствии он, во всяком случае сознательно, не отказывается от математической продукции. Так, в 1903 г. он докладывает на кассельском Собрании естествоиспытателей свои (неопубликованные) «Замечания к теории множеств», направленные, главным образом, против некоторых возражений французских философов. Около 1905 г. он состоит в весьма оживленной научной переписке с Филиппом Э. Б. Джорденом, а в 1908 г. даже обещает Юнгу представить свою следующую статью London Mathematical Society (Лондонскому математическому обществу). В особенности занимала его, как и прежде, проблема континуума, названная Гильбертом в его докладе на торжественном заседании Парижского международного математического конгресса (1900) в качестве первой из «математических проблем». Как рассказывает Шенфлисс * Jahresbbericht der Deutschen Maths.-Verein, 31, стр. 100 и далее (1922) , переживанием был для Кантopa доклад Юлиуса Кенига на Гейдельбергском международном математическом конгрессе (1904); опираясь на принадлежащее Ф. Бернштейну соотношение между алефами, Кениг пытался доказать, что мощность континуума не может быть алефом. Доклад этот произвел глубокое впечатление не только на Кантора, убежденного в возможности полного упорядочения любого множества и даже в соотношении , но и на весь математический мир, в центре интересов которого стояла тогда теория множеств. Кантор предпринял затем лихорадочные усилия опровергнуть этот результат, и вскоре, к его удовлетворению, оказалось, что лемма Бернштейна верна лишь в некоторых предположениях, делающих вывод Кенига несостоятельным.

В эти годы запоздалого, но тем более желанного для него л научного признания пришли также и внешние почести * Уже в 1896 г. он избирается членом правления Секции математики и астрономии Леопольдо-Каролинской Немецкой академии естествоиспытателей в Галле, членом которой он был с 1889 г. , которым он от души радовался: избрание в почетные члены Лондонского математического общества (1901) и Харьковского математического общества, а также в члены-корреспонденты Королевского венецианского института наук, литературы и искусств (1904), присуждение степени доктора математики honoris causa университетом Христиании (1902), медали Сильвестра британским Королевским обществом (1904), степени почетного доктора университетом Сент-Эндрью (I911). Однако, состояние нервной системы неоднократно вынуждало его в эти годы прерывать чтение лекций; в 1905 г. он был освобожден от служебных обязанностей, а в 1913 году окончательно отказался от университетской должности. Международное празднование его семидесятилетия было намечено на 1915 год, но не могло состояться из-за войны; все же многие немецкие математики явились в Галле воздать ему честь * Ср. отчет Лорея в Ztschr. f. Math. u. Naturw. 46, 269−274 (1915) ; тогда же был заложен мраморный бюст его, с 1928 года стоящий в вестибюле университета Галле. Его золотой докторский юбилей не мог быть публично отмечен, вследствие состояния его здоровья; 6 января 1918 г. Кантор скончался в психиатрической клинике г. Галле.

 


Страница 4 из 5 Все страницы

< Предыдущая Следующая >
 

Комментарии 

# Матёркин Дмитрий Пав   10.10.2011 20:24
Прекрасная статья. Вопрос; почему Кантор не рассматривал в теории множеств "порядки малости" множеств? Ответ на этот вопрос,как ни когда, актуален в настоящее время. Век нано, пико,гиго технологий.Насколько глубоко и обширно мы продвинулись в этом направлении?
Ответить | Ответить с цитатой | Цитировать
# Anvil4   08.04.2012 21:57
Фету удалось психологическое описание с раскрытием отношений Кантора с математиками, хороши и цитаты без ретуши. Самому продираться к такому пониманию Кантора требует больших усилий. Не важно, что я не принимаю в теории множеств, важнее другое – Фет даёт ёмкий портрет Кантора.
Жаль, опущен перечень литературы по сноскам, а так приходится догадываться о работе [17].
Всё таки тезис: "В математике искусство постановки вопросов важнее искусства их решения", - был трудным и для Кантора.
Ответить | Ответить с цитатой | Цитировать
# Marty   21.02.2017 10:38
Hi there outstanding blog! Does running a blog such as this
take a great deal of work? I've absolutely no understanding
of programming however I had been hoping to start my own blog soon. Anyways, should you have any ideas or techniques for new blog owners please share.
I understand this is off topic however I just wanted to
ask. Thanks!

Also visit my webpage ... travel (Stephaine: http://storymaker.cc/lessons-learned-while-traveling-abroad/)
Ответить | Ответить с цитатой | Цитировать
# Casey   26.02.2017 13:46
Sweet web site, super layout, very clean and utilise friendly.


my blog :: tour booking: https://connect.powertofly.com/black-friday-is-here-to-make-you-feel-good-2111999055.html
Ответить | Ответить с цитатой | Цитировать
# Charli   14.03.2017 04:16
Please let me know if you're looking for a article writer
for your weblog. You have some really great posts
and I feel I would be a good asset. If you ever want to take some of the load off, I'd really like to write some material for your blog in exchange for a link back to mine.
Please send me an e-mail if interested. Many thanks!

Feel free to visit my web site successful wedding party: http://www.arthood.com/blogs/2103/2053/planning-your-wedding-on-a-tight-budget
Ответить | Ответить с цитатой | Цитировать
# Angie   14.03.2017 19:15
I've been browsing online more than 3 hours
today, yet I never found any interesting article like yours.

It is pretty worth enough for me. In my opinion, if
all website owners and bloggers made good content as you did, the internet will be much more useful than ever before.


Feel free to surf to my web page: implementing
wedding limo: http://artjournalist.com/myblog/tips-for-wedding-abroad/
Ответить | Ответить с цитатой | Цитировать
# Keira   17.03.2017 09:31
I'm truly enjoying the design and layout of your site.
It's a very easy on the eyes which makes it
much more pleasant for me to come here and visit more often. Did you hire out a developer to create your theme?

Great work!

Feel free to visit my web blog car finance (carfinancebees .co.uk: http://carfinancebees.co.uk)
Ответить | Ответить с цитатой | Цитировать
# Ralf   18.03.2017 01:28
Fastidious answers in return of this question with solid arguments and telling
everything regarding that.

Also visit my weblog :: wedding cakes: http://artjournalist.com/myblog/tips-for-wedding-abroad/
Ответить | Ответить с цитатой | Цитировать
# Yukiko   18.03.2017 14:22
I have been browsing online more than 3 hours today, yet
I never found any interesting article like yours. It's pretty worth
enough for me. In my view, if all web owners and bloggers made
good content as you did, the net will be a lot
more useful than ever before.

Feel free to surf to my web site :: certain design: http://artjournalist.com/myblog/tips-for-wedding-abroad/
Ответить | Ответить с цитатой | Цитировать
# Isabell   22.03.2017 12:10
Attractive section of content. I just stumbled upon your website and in accession capital
to assert that I acquire in fact enjoyed account your blog posts.
Any way I'll be subscribing to your feeds
and even I achievement you access consistently rapidly.


Review my blog post; perfect wedding invitation: http://brooklynne.net/profiles/blogs/important-things-you-should-prepare-for-before-your-wedding
Ответить | Ответить с цитатой | Цитировать
# Candace   22.03.2017 18:11
You actually make it appear so easy with your presentation however I in finding this matter
to be actually one thing which I feel I'd never understand.
It seems too complex and very large for me. I am looking ahead for your next
publish, I will try to get the grasp of it!

Stop by my webpage; car on finance: http://carfinancebees.co.uk
Ответить | Ответить с цитатой | Цитировать
# Marilynn   17.07.2017 23:48
Hi guys! Who wants to see me live? I have profile at HotBabesCams.com,
we can chat, you can watch me live for free,
my nickname is Anemonalove: https://3.bp.blogspot.com/-u5pGYuGNsSo/WVixiO8RBUI/AAAAAAAAAFA/JWa2LHHFI2AkHParQa3fwwHhVijolmq8QCLcBGAs/s1600/hottest%2Bwebcam%2Bgirl%2B-%2BAnemonalove.jpg , here is my
pic:

https://3.bp.blogspot.com/-u5pGYuGNsSo/WVixiO8RBUI/AAAAAAAAAFA/JWa2LHHFI2AkHParQa3fwwHhVijolmq8QCLcBGAs/s1600/hottest%2Bwebcam%2Bgirl%2B-%2BAnemonalove.jpg
Ответить | Ответить с цитатой | Цитировать
# Drew   16.10.2017 00:19
I see you don't monetize your site, don't waste your traffic, you can earn extra bucks every month because you've got hi
quality content. If you want to know how to
make extra money, search for: Mrdalekjd methods for
$$$

Feel free to visit my webpage :: FirstSharyn: https://10Sara.blogspot.se
Ответить | Ответить с цитатой | Цитировать

Вы можете прокомментировать эту статью.


Защитный код
Обновить

наверх^