На главную / Биографии и мемуары / Адольф Френкель. Жизнь Георга Кантора

Адольф Френкель. Жизнь Георга Кантора

| Печать |


5. Кантор как преподаватель и как личность

Более сорока лет Кантор занимался преподавательской деятельностью в университете Галле; выдающемся преимуществом его лекций была строгость и четкость в определении понятий. Изложение, по рассказам его учеников, было ясным и упорядоченным, но в то же время оживленным и возбуждающим интерес. (Так обстояло дело, во всяком случае, в периоды хорошего самочувствия; в последние годы в лекциях приходилось делать более или менее продолжительные перерывы, когда он был нездоров). На подготовку лекций он затрачивал немного времени. Поэтому изложение интересовавших его предметов, доставлявшее, по словам многих его слушателей, высокое эстетическое наслаждение, весьма заметно отличалось от чтения им других курсов; к этим последним принадлежала также теория функций, находившаяся тогда в Галле в большом пренебрежении. Но, например, к теории групп Кантор проявлял несомненный интерес. Время от времени он докладывал на семинаре свои открытия в теории множеств. Число его слушателей часто оказывалось очень небольшим, нередко сокращаясь до 1−3; это объяснялось низкой посещаемостью математических предметов в Галле, существенно поднявшейся лишь в начале этого столетия. Можно понять поэтому стремление Кантора перейти в другой университет. В совокупности он подготовил все же немало кандидатов на учительские должности, но число диссертаций, выполненных под его руководством, очень невелико * Докторанты по математике (немногочисленные в то время) большею частью приезжали в Галле на короткое время с уже готовыми диссертациями, главным образом из Берлина , и лишь немногие талантливые исследователи были им непосредственно воспитаны. Это связано отчасти с тем, что Кантор, как правило, сразу же сам реализовал свои идеи и не располагал поэтому избытком привлекательных задач; по той же причине он не оставил ценного неопубликованного наследия. Сверх того, его исключительная погруженность в занимавшие его проблемы мало способствовала усилиям по привлечению молодых талантов.

В человеческом отношении он был верным и отзывчивым другом своих слушателей; дом его всегда был открыт для них, как и для многих студентов других специальностей, привлекая их интимной атмосферой, музыкой и возбуждающей, юношески свежей общительностью; значительную роль в этом играла его любезная супруга. Даже в пожилом возрасте он не щадил усилий, чтобы оказать помощь своим ученикам или просто доставить им радость; в частности, к молодым приват-доцентам он относился с исключительной благожелательностью, и в их круге было известно, что каждый, обратившийся к Кантору с просьбой, важной или не столь важной, всегда найдет в нем дружески расположенного слушателя и советчика.

Что касается личности Контора вообще, то все знавшие его рассказывают о его искрящейся, остроумной, оригинальной натуре, склонной к внезапным вспышкам и всегда чистосердечно радовавшейся собственным шуткам; о его неутомимом темпераменте, придававшем − наряду с его внушительной, крупной фигурой − особую привлекательность математическим собраниям, в которых он участвовал, вызывавшем неистощимый поток его мыслей − и поздним вечером, и ранним утром, и в области математики, и во многих областях его внематематических интересов; о его честном характере, верном друзьям, готовом прийти на помощь, дружелюбном в обращении; и, наряду с этим, о характерной рассеянности ученого. В устном обмене мыслями он был, как правило, дающим, и не был расположен сразу же схватывать чужие идеи. Всем своим мыслям он отдавался с равной любовью и настойчивостью; возможно, возникновением труда его жизни мы обязаны не столько вложенной в него силе мысли, и даже не столько гениальной интуиции, в соединении с мощной способностью к формированию понятий, сколько невероятной энергии, с которой он преследовал свои цели, вопреки всем препятствиям. Эта непоколебимая стойкость вытекала из его глубокого убеждения в истинности, даже в реальности своих идей; в письме от 26 января 1884 г. он писал Миттаг-Лефлеру, по поводу желания Кронеккера видеть свои работы принятыми в Acta Mathematica c тем же беспристрастием, что и работы Кантора: «Может быть, его стряпня и нуждается в беспристрастии, в большой снисходительности и бережности; для моих же работ я требую пристрастия, но не пристрастия к моей бренной личности, а пристрастия к истине, которая вечна и взирает с суверенным презрением на подстрекателей, воображающих, будто могут долго мешать ей своей жалкой писаниной». И несколькими месяцами позже: «... здесь заведомо ставится вопрос о силе, и он никогда не может быть решен уговорами; спрашивается, чьи идеи сильнее, шире и плодотворнее Кронеккера или мои; лишь конечный успех со временем решит исход нашей борьбы!!» * Ср. также в “Über die verschiedenen Standpunkte in Besug auf das aktuelle Unendliede”: «Вероятно, я первый по времени защищая эту точку зрения [Принятие актуально-бесконечного in concreto (в конкретном) и in abstracto (в абстракции)] с полной определенностью и со всеми ее следствиями; но я наверное знаю, что не буду последним ее защитником!» Без сомнения, та же стойкая и энергичная преданность своим идеям десятилетиями привязывала его к проблеме Бекона, вопреки всем стараниям друзей-математиков отвлечь его от этого занятия.

Однако, убеждение в величии и значительности своего труда не сделало Кантора надменным, как это случалось со многими выдающимися исследователями. Наряду с дружескими отношениями, связывавшими его с Дедекиндом и Миттаг-Лефлером, об этом свидетельствуют и многие отдельные черты. Так, даже в 1905 г., посылая, по желанию Миттаг-Лефлера, свой портрет для Acta, он пишет при этом: «Я предпочел бы, чтобы Вы не печатали моего портрета, так как считаю это для себя чрезмерной честью». Характерно в этом отношении также предисловие к отдельному изданию его важнейшей работы (часть 5 работы [13]).

Если Кантор высоко ценит и стремится защитить дух свободы и независимости среди математиков, то он ни в коем случае не делает это pro domo suo (для собственного употребления); требования, вытекающие из его убеждений, он предъявляет и к самому себе. Это видно, например, из его содействия Бендиксону, письмо которого Кантору, (написанное в мае 1883 г.) по его настоянию было обработано для печати и опубликовано во 2-ом томе Acta; за благодарное и истинно научное отношение к г-ну Бендиксону * Ср. также подстрочное примечание Миттаг-Лефлера в начале работы Кантора [I5], а также оценку заслуги Бендиксона в части 6 работы [13] . Миттаг-Лефлер выражает ему свою признательность. Не менее характерна позиция Кантора по отношению к его величайшему предшественнику в понимании актуальной бесконечности, Бернарду Больцано: он признает заслуги этого «в высшей степени остроумного философа и математика», в котором видит «самого решительного защитника» собственно-бесконечного, несмотря на критику его недостатков. При той уверенности в ce6e, которая отличала его уже в 80-ые годы, обычный сдержанно-вежливый тон его полемики, уважающий права оппонента * Особенно характерна в этом смысле рецензия Кантора на книгу Германа Когена “Prinzip der Infinitesimalmethode und seine Geschichte” («Принцип метода бесконечно малых и его история») в Deutche Literaturzeitung, 5, ст. 266–268 (1884) , должен рассматриваться не как признак робости, а как выражение искренней внутренней скромности. Гнев его прорывался лишь в тех случаях, когда, по его мнению, односторонность или вера в авторитет преграждали путь истине; и тогда бывало, что раздражение выходило за пределы спорного предмета.

Замечательно, что этот исследователь, как будто гонимый вперед непреодолимой силой своих идей, заботливо относится к требованиям изложения и терминологии. Так, 31 января 1884 г. он пишет Миттаг-Лефлеру: «...Особенно радует меня, когда Вы хвалите стилистическое искусство и сжатость изложения, потому что эти вещи требуют от меня некоторых усилий, и уж если удаются, то это моя собственная заслуга...». ... А в письме от 20 октября 1884 года, содержащем уже, по существу, работу [16] , Кантор упоминает, что перед этим советовался с Шеффером по поводу вновь вводимых обозначений, «в выборе которых, − как он пишет, − я чрезвычайно предусмотрителен, исходя из убеждения, что для развития и распространения теории немаловажна удачная, возможно более подходящая к предмету терминология». Благодаря удачному, как правило, выбору терминов и живому, недогматическому, избегающему ненужных осложнений способу рассуждений, оригинальные работы Кантора и сейчас можно рекомендовать даже начинающему в качестве введения в предмет – что в математике случается не часто.

Более внимательного рассмотрения заслуживают также философские интересы Кантора, его математическое мировоззрение, отчасти связанное с ними, и его отношение к религии.

Из написанных им в 80-ые годы работ [3] (часть 5) и “Über die verschiedenen Standpunkte in Besug auf das aktuelle Unendliede”, “Mitteilungen zur Lehre vom Transfiniten” видно поразительное знакомство Кантора с философской литературой, и притом не только с обширными частями современных и несколько более старых сочинений, но и с классиками философии предыдущих столетий, и в особенности с важнейшими философско-тео-логическими авторами схоластики и с Аристотелем. Мы находим у него глубокое изучение философии, почти всегда восходящее к источникам, но привлекающее также обширную историко-философскую литературу; круг его интересов распространяется на представителей древнегреческой атомистики и их противников, Платона и Аристотеля, Августина и других отцов церкви, Боэция, Фому Аквинского и многих других схоластов, Николая Кузанского и Джордано Бруно, Декарта, Спинозу, Локка, Лейбница, Канта и Фриса; даже за полстолетия до нас это было редким исключением для исследователя, специальностью которого не является философия. Сверх того, Кантор находился в тесных научных, а также в личных дружеских отношениях с его младшими коллегами Эдмундом Гуссерлем и Герма-ном Шварцем, защищавших в Галле диссертации по философий. Напротив, к устремлениям «математической логики» (Шредер, Фреге и т.д.) он относился отрицательно. По проницательному замечанию Феликса Клейна * «Лекции о развитии математики в XIX веке», ч. 1, Берлин, 1926. Приведем оттуда следующее место: «Если освободить схоластические рассуждения от этой мистико-метафизически окрашенной оболочки, в которой они представляются поверхностному взгляду чисто теологическими тонкостями, то они часто оказываются вполне правильными подходами к тому, что мы теперь называем теорией множеств». Что касается Больцано, то схоластика очевидным образом была отправным пунктом его исследований о бесконечности , нельзя считать случайностью, что Кантор прошел также схоластическую школу; более, чем в других математических дисциплинах, где на передний план выступают систематически-конструктивное, а часто специфически-вычислительное, способы рассуждений в теории множеств (по крайней мере, в абстрактной) своей общностью, но в то же время своей тонкостью и аналитической расчлененностью напоминают рассуждения схоластической логики и теологии; математическое учение об актуальной бесконечности во многом родственно им также своей смелостью, с другой же стороны, схоластика, подобно математике, ставит перед собой идеал строгости умозаключений. Вообще же для Кантора философия была отнюдь не посторонней областью, в которую приходилось входить ради математических целей; для него обе области были глубоко связаны. У своих читателей он предполагал не только математические, но и философские познания; насколько он считал это существенным, видно из предисловия к отдельному изданию части 5 работы [13], где он объясняет, что писал одновременно для двух кругов читателей: и «для философов, проследивших развитие математики до новейшего времени, и для математиков, знакомых с важнейшими явлениями старой и новой философии».

Из отдельных мест, имеющих философское значение, упомянем замечание в работе [13], ч. 5, о формировании понятий; в противоположность «субстанциальному» пониманию Аристотеля, здесь изображается функциональный процесс в том смысле, как он утвердился в современном учении о формировании понятий у Риккерта, Кассирера и др. Далее, следует отметить, что Кантор упорно и неоднократно боролся (против Гамильтона, Когена и др.) с еще и ныне высказываемой точкой зрения, согласно которой число или понятие величины основывается на понятии времени; в работе [13], ч. 5, он в особенности возражает против учения о времени Канта.

Для общего понимания математики Кантором существенно представление о реальности научных идей (например, целых − конечных и бесконечных − чисел); эта реальность имеет для него двоякий смысл: с одной стороны, как интрасубъективная или имманентная реальность, закрепленная определениями, отводящими соответствующему понятию определенное, отдельное от других понятий место в человеческом мышлении, благодаря чему это понятие «некоторым образом модифицирует субстанцию нашего разума»; с другой же стороны, как транссубъективная или трансиентная реальность, когда понятие является «отражением процессов и отношений в противостоящем интеллекту внешнем мире» (См. [13], ч. 5).

Для Кантора оба вида реальности совпадают, вследствие единства содержащего нас самих всеобщего, и он полагает, что каждому понятию, реальному в первом смысле, присуща также и трансиентная реальность, установление которой составляет часто труднейшую задачу метафизики. Характерное же преимущество математики он усматривает в том, что она «при разработке своего идейного материала должна принимать во внимание исключительно одну лишь имманентную реальность ее понятий, вовсе не будучи при том обязана подвергать их испытанию также в отношении их трансиентной реальности» * Возникает вопрос, сознательно или несознательно примыкает здесь Кантор к Г. Ганкелю, уже в 1867 г. в своей “Theorie der komplexen Zalensysteme” («Теории комплексных числовых систем»), указавшему в качестве предмета математики «интеллектуальные объекты», которым действительные объекты или их отношения могут но не обязаны соответствовать» . На этой характеристике, объясняющей, как ему кажется, «относительную легкость и беспрепятственность занятий математикой, он основывает свое предложение присвоить ее почетное наименование «свободной математики».

Кантор описывает здесь своеобразие и значение математики (и тем самым, можно было бы добавить, также теоретической логики) в чисто рациональном плане, определяя ее, коротко говоря, как ту науку, которая не содержит метафизики; это вовсе не значит, однако, что его отношение к математике было односторонним. Уже два первых тезиса его диссертации показывают, как высоко он ценил ее еще в юношеские годы в эстетическом и этическом отношении: “Eodem modo literis atque arte animos delectari posse” и “Jure Spinosza mathesi eam tribuit, ut hominibus norma et regula veri in omnibus rebus indagandi sit”

Вопреки той уверенности, с которой Кантор усматривал сущность математики в ее свободе, следует заметить, что эмоционально он отнюдь не был склонен признать непротиворечивость единственным критерием существования математических объектов. В самом деле, ведь он пришел к трансфинитным порядковым числам не «свободным путем работы [13], ч. 5, а в некотором смысле вынужденный к этому итерацией построения производных множеств, в частности, стремлением к созданию их общей символики. Точно так же, его чрезмерно резкое отрицание «бесконечно малых», без сомнения, объясняется ощущением преимущества трансфинитных чисел − выводимых из «данных» множеств * Ср. следующее место в работе “Über die verschiedenen Standpunkte in Besug auf das aktuelle Unendliede”: «Если бы первое (множество) не противостояло нам как объект, то чтó могло бы последнее (соответствующее кардинальное число) отражать в качестве абстрактного образа в нашем разуме?» − по сравнению с общими неархимедовыми системами величин.

Мы упомянули выше убеждение Кантона, что математическим понятиям, наряду с имманентной реальностью, только и касающейся математика, сама собою присуща также транссубъективная реальность; с этим теснейшим образом связано представление Кантора, которое можно в несколько заостренной форме выразить словами: математик не изобретает предметы своей науки, но открывает их. Это воззрение, выраженное уже в третьем тезисе его диссертации, снова подчеркивается в конце его творчества, когда он предпосылает завершающему изложению [I8] эпиграфы:

“Hypothesis non fingo” («Гипотез я не выдумываю») и “Neque enim leges intellectui aut rebus datum arbitrium nostrum, sed tanquam scribae fideles ab ipsius naturae voce latas et prolatas excipimus et describimus” («Ибо мы не даем законов разуму и вещам по нашему произволу, но, словно верные писцы, схватываем и записываем их с голоса самой природы»). Вообще говоря, для творческой деятельности математика безразлично, рассматривает ли он свои понятия как платоновские идеи, как произвольные создания рассудка или примиряя эти точки зрения (Гессенберг), как создания независимо творящего разума, замечательно, однако, что именно в проблематике теории множеств, касающейся несчетного, эти различия в мировоззрении могут играть иногда существенную роль * Ср. мою книгу и Einleitung in die Mengenlehre («Введение в теорию множеств») (3-е изд., Берлин, 1928), стр. 325-322 . То обстоятельство, что для Кантора (и, очевидным образом, также для Больцано) понятия математики обладали существованием, независимым от их открытия и вообще от нашего мышления, а в некотором смысле ему предшествующим, весьма существенно для понимания подхода Кантора к занимавшим его проблемам (например, к проблеме континуума). Это убеждение поддерживало также упрямство, с которым он в течение двух десятилетий почти в одиночестве отстаивал свои идеи И следующее ниже место из письма Миттаг-Лефлеру в начале 1884 г. не только свидетельствует о скромности, но скорее должно рассматриваться как выражение этой метафизической точки зрения: «..что касается остального (кроме стиля и сжатости изложения), то это не моя заслуга: по отношению к содержанию моих работ я всего лишь секретарь или посредник». Конечно, нельзя не заметить известной неувязки между двумя тезисами Кантора − с одной стороны, о «свободе» математики и, с другой стороны, о заданном характере математических объектов.

Далеко не так отчетливо известны нам взгляды и интересы Кантора в области естествознания и, в особенности, физики. В противоположность «свободной математике», он рассматривает физику как «метафизическую науку» * Впрочем, слово «метафизика» часто применяется у Кантора (как и у Гaycca) не в принятом ныне смысле, а вслед за французским словоупотреблением приблизительно в смысле «философской критики» (некоторой науки); ср. заключение работы , и для нее он признает оправданными и необходимыми те самые оковы, от которых столь решительно освобождает математику; причиной этого является стимулирующая естественную науку трансиентная реальность. Он высказывается, впрочем, не в очень тесной связи с предыдущим ([13], ч. 5), против точки зрения «знаменитого физика» (имеется в виду, конечно, Кирхгоф, «Механика» которого вышла в 1874 г.), согласно которой физика есть «описание природы»; по его мнению, это представление «лишено и свободного веяния математической мысли, и силы объяснения и обоснования явлений природы». О естественно-научных взглядах Кантора свидетельствует еще высказанная им в конце работы [1б], весьма далекая от нынешних представлений атомистическая гипотеза * Ср. также восходящие к «Сообщениям» Кантора ссылки в Ztschr. F. Philos. u. philos. Kritik, N. F., 88, стр. 192 и далее (1886); там же, стр. 229. С этими физическими взглядами следует сравнить, наряду с Коши, на которого Кантор ссылается в “Über die verschiedenen Standpunkte in Besug auf das aktuelle Unendliede” и в “Mitteilungen zur Lehre vom Transfiniten”, также объяснение природы в книге Р. Грассмана “Die Lebenslehre oder Biologie” [«Учение о жизни или биология»]. (Штеттин, 1882/83) , согласно которой атомы материи составляют множество первой мощности, атомы же эфира − второй * Приложения теории точечных множеств к математической физике, намеченные в этом месте и, видимо, очень близкие сердцу Кантона, на нынешней стадии развития физики представляются бесперспективными; однако, физические приложения иного рода действительно имеются. В [13], ч. 5, Кантор особенно подчеркивает свою враждебность обычной атомистике . Известно также о его занятиях «естественным учением об организмах..., к которому неприменимы имеющиеся механические принципы...», и для которого ему нужны были новые, в частности, теоретико-множественные средства (письмо Миттаг-Лефлеру от 22 сентября 1884 г.; ср. также [13], ч. 5); трудно уяснить себе, какие методы и цели при этом имелись в виду, но можно предположить, что главную роль должна была здесь играть (до сих пор едва начатая) теория многократно упорядоченных множеств. Наконец, заслуживает упоминания рассмотрение в [l3], ч. З, отношений между арифметическим пространством и тем пространством, которое мы кладем в основу описания явлений действительности; обычно предполагаемое соответствие между этими понятиями «само по себе произвольно» и обеспечивается лишь требованием отобразимости (а не только, например, условием непрерывной подвижности).

Религиозные интересы Кантора часто проявляются в его статьях философского характера (а также в предисловии к Confessio fidei  [«Исповедание веры»] Бекона); характерно, что работа “Über die verschiedenen Standpunkte in Besug auf das aktuelle Unendliede” была опубликована в журнале “Natur und Offenbarung” («Природа и откровение»). Со стороны отца он был еврейского происхождения, сам был воспитан в евангелическом исповедании, к которому отец его принадлежал уже до рождения сына, наконец, он испытал сильное влияние католической атмосферы материнской семьи; он не разделил, однако, судьбы многих, у кого «подобные столкновения приводят к далеко заходящему равнодушию в религиозных вопросах. Напротив, уже упомянутая вначале религиозная сторона его воспитания очевидно произвела на него продолжительное и прочное воздействие. И если он с особым вниманием изучает позицию отцов церкви и схоластических философов по отношению к актуальной бесконечности * В новейшей литературе по поводу этих отношений между теологией и актуальной бесконечностью см., напр., сочинение А. Демпфа “Das Unendliche in der mittelalterlichen Metaphisik und in der Kantischen Dialektik” «Бесконечное в средневековой метафизике и в диалектике Канта (Мюнстер, 1926) и статью И. Тернуса (Общ-во Иисуса) «К философии математики», (Philos. Jahrb. Der Görresgeselschaft, 39, 217-231, 1926) и вообще отношение ее к понятию бога, вступая по этому поводу в полемику, то, безусловно, наряду со стремлением защитить свои построения от возражений теологического характера он проявляет этом и свои внутренние побуждения. Для его религиозной установки характерны, прежде всего, его опубликованные в статье “Mitteilungen zur Lehre vom Transfiniten” письма (неназванным адресатом которых был кардинал Францелин); в этих письмах он пытается доказать существование “Infinitum creatum” («Сотворенного бесконечного»), прямо опираясь на понятие бога. Далее, в том же смысле примечательно место из письма Кантора Г. Энестрему, опубликованное в работе “Über die verschiedenen Standpunkte in Besug auf das aktuelle Unendliede”. Вследствие своей заинтересованности в теологической трактовке проблемы бесконечного, Кантор переписывался с несколькими иезуитами * Как сообщает Тернус (loc.cit., 221), в библиотеке нижненемецкой провинции иезуитов сохранилось еще много сочинений за 80-е года с надписью Hommages respectueux de l’auteur George Cantor” («С почтением от автора Георга Кантора») , как, например, с изгнанным из Германии о. Тильманом Пешем, автором высоко ценимой Кантором книги “Institutiones phlosophiae naturalis”(«Лекции по натуральной философии»), которого он лично посетил в Блинбеке (Голландия), а также с кардиналом Францелином, который, примыкая к учению Августина, защищал понятие актуально-бесконечного многообразия; пространное письмо его содержится в работе “Mitteilungen zur Lehre vom Transfiniten” («К учению о трансфинитном»). Особенно оживленной была переписка с К. Гутберле, профессором философии и математики духовной семинарии в Фульде, в течение десятилетий бывшего издателем Philosophisches Jahrbuch der Görres – Gesellschaft. В 1878 г. Гутберле опубликовал сочинение “Das Unendliche mathematisch und methafisisch betrachtet («Бесконечное с математической и метафизической точки зрения»), в котором выступил против исходящих из теологии и философии тезисов о невозможности бесконечной величины; впрочем, он утверждает не существование актуально-бесконечного, как Кантор, а лишь возможность его. Кантор видел в Гутберле, навлекшем на себя своей книгой много возражений и даже насмешек, товарища по борьбе; он посетил его в Фульде и объяснил свой интерес к нему не только деловыми причинами, но и собственным отношением к католицизму с материнской стороны * Ср. “Philosophisches Jahrbuch der Görres – Gesellschaft”, 32, 366 (1919) и 41, 262 (1928) . При содействии Гутберле Кантор глубоко проник в идеи средневековых мыслителей о бесконечном, что отразилось в его работах; в свою очередь, Гутберле познакомил с построениями канторовой теории множеств более широкий круг читателей с философскими интересами и защищал их, в частности, от возражений школы Гербарта * «О проблеме бесконечного», Ztschr. F. Philos. u. philos. Kritik, N. F., 88, 179-223 (1886), ч.1. Ср. также Кантор, ibid., стр. 232 и подстрочное примечание к работе «Учение о трансфинитном» , согласно которому Гутберле включил в свою статью места из рукописи Кантора (по его желанию); см. далее, возражения Кантора в той же работе.

При этом Кантop мог, когда это требовалось, без обиняков и даже иронически высказываться против теологических предрассудков, как  это видно, например, из его замечаний о сущности континуума в [13] , ч. 5, § 10.

Математический мир видит в лице Кантора великого пролагателя новых путей. Труд его указал новые направления развития анализа, открыв совершенно нетрадиционные постановки вопросов; широкое признание этого влияния он и сам уже в значительной мере мог видеть. Но только в наше время, в особенности благодаря работам молодой топологической школы, все более отчетливо осознается и признается роль его идей в столь же революционном прогрессе геометрии, которая может благодаря им продвигаться вперед с безупречной строгостью. Тончайшие идеи теории точечных множеств доказали свою ценность даже в физических приложениях. Что касается абстрактной теории множеств, к которой следует причислить, наряду с общими теориями эквивалентности и подобия, мир трансфинитных порядковых чисел, а также философское истолкование теории множеств, то в нынешнее время здесь снова заметны беспокойство и неуверенность. Но и в этих вопросах в ходе развития рано или поздно исполнятся слова Гильберта о рае, созданном для нас Кантором, из которого никому не удастся нас изгнать. И если для этого может потребоваться ряд новых фундаментальных идей, направленных в чуждые нам теперь стороны, то в целом завоевание актуальной бесконечности для науки является уже историческим фактом, и на этой почве, основываясь на идеях Кантора, будет происходить дальнейшее развитие, как это предвидел Кантор в эпиграфе к своей завершающей работе: “Veniet tempus, quo usta, quae nunc latent, in lucem dies extrahst et longioris aevi di Cigentia” («Придет время, когда ныне скрытое извлечено будет на свет усердием будущего века».

 


Страница 5 из 5 Все страницы

< Предыдущая Следующая >
 

Комментарии 

# Матёркин Дмитрий Пав   10.10.2011 20:24
Прекрасная статья. Вопрос; почему Кантор не рассматривал в теории множеств "порядки малости" множеств? Ответ на этот вопрос,как ни когда, актуален в настоящее время. Век нано, пико,гиго технологий.Насколько глубоко и обширно мы продвинулись в этом направлении?
Ответить | Ответить с цитатой | Цитировать
# Anvil4   08.04.2012 21:57
Фету удалось психологическое описание с раскрытием отношений Кантора с математиками, хороши и цитаты без ретуши. Самому продираться к такому пониманию Кантора требует больших усилий. Не важно, что я не принимаю в теории множеств, важнее другое – Фет даёт ёмкий портрет Кантора.
Жаль, опущен перечень литературы по сноскам, а так приходится догадываться о работе [17].
Всё таки тезис: "В математике искусство постановки вопросов важнее искусства их решения", - был трудным и для Кантора.
Ответить | Ответить с цитатой | Цитировать
# Marty   21.02.2017 10:38
Hi there outstanding blog! Does running a blog such as this
take a great deal of work? I've absolutely no understanding
of programming however I had been hoping to start my own blog soon. Anyways, should you have any ideas or techniques for new blog owners please share.
I understand this is off topic however I just wanted to
ask. Thanks!

Also visit my webpage ... travel (Stephaine: http://storymaker.cc/lessons-learned-while-traveling-abroad/)
Ответить | Ответить с цитатой | Цитировать
# Casey   26.02.2017 13:46
Sweet web site, super layout, very clean and utilise friendly.


my blog :: tour booking: https://connect.powertofly.com/black-friday-is-here-to-make-you-feel-good-2111999055.html
Ответить | Ответить с цитатой | Цитировать
# Charli   14.03.2017 04:16
Please let me know if you're looking for a article writer
for your weblog. You have some really great posts
and I feel I would be a good asset. If you ever want to take some of the load off, I'd really like to write some material for your blog in exchange for a link back to mine.
Please send me an e-mail if interested. Many thanks!

Feel free to visit my web site successful wedding party: http://www.arthood.com/blogs/2103/2053/planning-your-wedding-on-a-tight-budget
Ответить | Ответить с цитатой | Цитировать
# Angie   14.03.2017 19:15
I've been browsing online more than 3 hours
today, yet I never found any interesting article like yours.

It is pretty worth enough for me. In my opinion, if
all website owners and bloggers made good content as you did, the internet will be much more useful than ever before.


Feel free to surf to my web page: implementing
wedding limo: http://artjournalist.com/myblog/tips-for-wedding-abroad/
Ответить | Ответить с цитатой | Цитировать
# Keira   17.03.2017 09:31
I'm truly enjoying the design and layout of your site.
It's a very easy on the eyes which makes it
much more pleasant for me to come here and visit more often. Did you hire out a developer to create your theme?

Great work!

Feel free to visit my web blog car finance (carfinancebees .co.uk: http://carfinancebees.co.uk)
Ответить | Ответить с цитатой | Цитировать
# Ralf   18.03.2017 01:28
Fastidious answers in return of this question with solid arguments and telling
everything regarding that.

Also visit my weblog :: wedding cakes: http://artjournalist.com/myblog/tips-for-wedding-abroad/
Ответить | Ответить с цитатой | Цитировать
# Yukiko   18.03.2017 14:22
I have been browsing online more than 3 hours today, yet
I never found any interesting article like yours. It's pretty worth
enough for me. In my view, if all web owners and bloggers made
good content as you did, the net will be a lot
more useful than ever before.

Feel free to surf to my web site :: certain design: http://artjournalist.com/myblog/tips-for-wedding-abroad/
Ответить | Ответить с цитатой | Цитировать
# Isabell   22.03.2017 12:10
Attractive section of content. I just stumbled upon your website and in accession capital
to assert that I acquire in fact enjoyed account your blog posts.
Any way I'll be subscribing to your feeds
and even I achievement you access consistently rapidly.


Review my blog post; perfect wedding invitation: http://brooklynne.net/profiles/blogs/important-things-you-should-prepare-for-before-your-wedding
Ответить | Ответить с цитатой | Цитировать
# Candace   22.03.2017 18:11
You actually make it appear so easy with your presentation however I in finding this matter
to be actually one thing which I feel I'd never understand.
It seems too complex and very large for me. I am looking ahead for your next
publish, I will try to get the grasp of it!

Stop by my webpage; car on finance: http://carfinancebees.co.uk
Ответить | Ответить с цитатой | Цитировать
# Marilynn   17.07.2017 23:48
Hi guys! Who wants to see me live? I have profile at HotBabesCams.com,
we can chat, you can watch me live for free,
my nickname is Anemonalove: https://3.bp.blogspot.com/-u5pGYuGNsSo/WVixiO8RBUI/AAAAAAAAAFA/JWa2LHHFI2AkHParQa3fwwHhVijolmq8QCLcBGAs/s1600/hottest%2Bwebcam%2Bgirl%2B-%2BAnemonalove.jpg , here is my
pic:

https://3.bp.blogspot.com/-u5pGYuGNsSo/WVixiO8RBUI/AAAAAAAAAFA/JWa2LHHFI2AkHParQa3fwwHhVijolmq8QCLcBGAs/s1600/hottest%2Bwebcam%2Bgirl%2B-%2BAnemonalove.jpg
Ответить | Ответить с цитатой | Цитировать
# Drew   16.10.2017 00:19
I see you don't monetize your site, don't waste your traffic, you can earn extra bucks every month because you've got hi
quality content. If you want to know how to
make extra money, search for: Mrdalekjd methods for
$$$

Feel free to visit my webpage :: FirstSharyn: https://10Sara.blogspot.se
Ответить | Ответить с цитатой | Цитировать

Вы можете прокомментировать эту статью.


Защитный код
Обновить

наверх^