Простейшие модели отбора в системах с дискретным временем

Приведем здесь теорию биологической конкуренции для простейшей модельной ситуации.

Пусть имеются два подвида, размножающихся делением, и условия их существования зависят от их суммарной плотности заселения территории. Простейшие уравнения, связывающие плотности заселения в данном году, , и на следующий год, , имеют вид

(1)

Как правило, если подвиды достаточно близки по своим свойствам, то есть , из этих двух подвидов со временем останется лишь один. Чтобы показать это, введем в рассмотрение суммарную плотность , и отношение плотности первого вида к плотности второго . Для этих новых переменных имеют место уравнения, выводимые из исходных посредством тождественных алгебраических преобразований:

(2)

Уравнение для суммарной плотности можно преобразовать к виду:

(3)

Если разность К₁- К₂ мала, то для суммарной плотности можно использовать упрощенное уравнение

, (4)

не зависящее от отношения плотностей. В действительности, при изменении отношения плотностей суммарная плотность будет меняться, но незначительно - поэтому можно будет рассчитывать суммарную плотность, входящую в уравнение для соотношения плотностей, с помощью упрощенного уравнения. По истечении большого числа шагов во времени, если только суммарная плотность стремится к равновесному стационарному значению, отношение станет некоторой постоянной величиной. Если это отношение будет больше единицы, то через большое число шагов выживет только первый подвид, если меньше - только второй подвид. Случай равенства этого отношения единице возможен, но совершенно невероятен (примерно в том же смысле, в каком невероятно, например, что шарик с нулевым трением качения, случайно поставленный на реальную поверхность, никуда не покатится – точка, на которую его поставят, непременно будет иметь некоторый уклон).

Если бы мы рассматривали не два близких подвида, а множество близких подвидов, результат был бы аналогичен – также выжил бы лишь один из подвидов, а именно, тот, который имеет максимальный коэффициент размножения в «установившейся экологической ситуации». Даже если бы вместо стационарной суммарной численности имелись бы ее циклические, или даже апериодические, изменения, выжил бы тот единственный вид, для которого произведение коэффициентов сезонного воспроизводства, за много циклов, было бы «в среднем» максимально. По сути, мы рассмотрели выше частный случай общего утверждения- утверждения о неизбежности отбора, согласно которому если исходно имеется достаточно большое разнообразие видов, образующее почти непрерывный спектр, то со временем останутся лишь немногие, причем достаточно сильно различающиеся друг от друга. Каждый выживший вид будет соответствовать некоему максимуму коэффициента сезонного воспроизводства. Данный вывод допускает весьма широкие обобщения.

Страница 2 из 11 Все страницы