Первая из этих статей была опубликована в журнале "Знание – сила" за 1995. Вторая, написанная в 1995 г., ранее не публиковалась ни в бумажном, ни в электронном виде.

I. Зачем нужна в школе математика?

С давних пор в странах европейской культуры элементарная математика составляет необходимую часть общего образования. В начальной школе изучают арифметику, в средней – алгебру, геометрию и тригонометрию; в двадцатом столетии к этому нередко добавляются начала дифференциального и интегрального исчисления, теории вероятностей. Но в последнее время все чаще слышны голоса: "А зачем это нужно? Алгебра и геометрия пригодятся в жизни лишь немногим, остальным хватит арифметики – да и без нее, пожалуй, можно обойтись теперь, когда хозяйки ходят на рынок с калькуляторами. Пусть математику изучают дети со специальными склонностями, которые сами станут потом математиками или физиками, ну да еще будущие инженеры. А всех прочих незачем мучить уравнениями и теоремами." И к этим голосам начинают прислушиваться те, кто определяет содержание обучения. В старших классах гуманитарных школ математика урезана до трех часов в неделю, и многие влиятельные администраторы добиваются ее полного устранения. (Автору довелось однажды побывать на парламентских слушаниях, где с таким предложением выступил министр образования одной из республик в составе России.) А некоторые школы и в средних классах, начиная с пятого, сокращают математику до трех-четырех уроков в неделю, хотя государственным стандартом это не допускается. Налицо первые значительные успехи "антиматематического движения".

Подобное движение в свое время уже было – за отмену изучения древних языков. В России оно особенно широко развернулось в предреволюционное время. Мотивы приводились такие же, как теперь: в жизни эти языки никому не понадобятся. Это движение, как известно, добилось полной победы, и не только благодаря революции: греческий язык был отменен раньше. В странах, где не было революций, оно в конце концов тоже победило. И его победа сыграла существенную роль в повсеместном снижении культурных стандартов и общего культурного уровня интеллигенции.

К того же рода последствиям, но гораздо более серьезным, привела бы победа нынешнего движения, пусть даже не столь полная. Потому что практическая полезность математики – не главное, ради чего ее необходимо изучать. Главное ее значение в том, что она представляет собой одну из важнейших составляющих духовной культуры.

Культура, как материальная, так и духовная, основывается на познании мира. Познание – не просто одна из составных частей культуры: это ее главная опора, ее фундамент. И состоит оно не в простом накоплении сведений, а прежде всего в выявлении существующих в мире закономерностей, упорядоченностей, в том числе весьма сложных. Делается это с помощью "познающего аппарата", который сам в высокой степени упорядочен и очень сложен – и именно поэтому способен постигать сложные упорядоченности внешнего мира. "Познающий аппарат" есть и у животных: органы чувств и многообразные механизмы ориентировки в пространстве, реагирования на внешние раздражители, выработки новых способов поведения. У человека к этому добавляются понятийное мышление и тесно связанный с ним словесный язык, возникновение которых означает переход на новый уровень бытия, сравнимый с переходом от неживой материи к живым организмам. Конрад Лоренц, величайший биолог и мыслитель ХХ века, назвал такие резкие переходы на качественно иной уровень фульгурациями (fulguratio по-латыни – вспышка молнии).

Язык представляет собой своего рода "координатную сетку", которую человек накладывает на мир, чтобы лучше в нем ориентироваться. И он же позволяет передавать накопленные знания от поколения к поколению уже не генетическим путем, а с помощью традиции, благодаря которой возникает культура – явление, свойственное исключительно человеку. Культура, подобно живой природе (но несравненно быстрее), постоянно развивается, и развитие ее идет, как и в живой природе, от простого к сложному и от менее упорядоченного к более упорядоченному. В процессе ее развития человек научился строить более сложные и лучше упорядоченные "координатные сетки" – научные теории, позволяющие ориентироваться в мире существенно лучше. Мало того – с их помощью он создал множество новых вещей и этим внес в мир вокруг себя дополнительную сложность и дополнительную упорядоченность. Возник, в сущности, новый, более сложный мир, в котором трудно ориентироваться тому, кто ничего не знает об устройстве новых, более сложных "координатных сеток". Верно, что новые вещи принесли человечеству не одно лишь благо; но так же верно, что нет возврата в тот мир, где свободно ориентировался первобытный охотник или пастух, не умевший даже считать без помощи пальцев.

Но усложнился не только мир вещей. Что еще более важно, благодаря познанию внешнего мира и тесно связанному с ним развитию абстрактного мышления сложнее и упорядоченнее стал духовный мир человека. По меньшей мере со времен Пифагора абстрактные теории образуют одну из важнейших сторон духовной жизни человечества и очень сильно влияют на другие ее стороны, а также на способы организации общественной жизни. И самую существенную роль среди них играют математические теории, потому что математика занимает в системе наук совершенно особое положение, образуя своего рода соединительное звено между естественными и гуманитарными науками. Она изучает пространственные и количественные отношения между материальными предметами, то есть в конечном счете природу; это дает основание отнести ее к естественным наукам. Но в отличие от всех остальных наук о природе математика не прибегает к экспериментам; ее единственный метод – дедуктивное рассуждение – носит чисто умозрительный характер. (Часто используемые в математике вычисления – это тоже рассуждения, но формализованные до такой степени, что их можно выполнять механически.)

Объясняется эта особенность тем, что математика изучает природу все-таки лишь в конечном счете, непосредственный же объект ее изучения – абстрактные понятия, созданные разумом человека. А это позволяет отнести ее к наукам о человеческом духе и его творениях – иными словами, к гуманитарным наукам. Один из крупнейших наших ученых в области математической логики Андрей Андреевич Марков любил повторять в своей обычной полусерьезной, полушутливой манере: "Математика, в сущности, наука гуманитарная, потому что она изучает то, что человек напридумывал". Конечно, человек не просто так "напридумывал" арифметические действия, геометрические теоремы и т. п., в них отразились отношения между материальными предметами; но эти отношения настолько универсальны – они присутствуют буквально на всех уровнях организации материи, – что изучать их можно, только отвлекаясь от всех частных свойств предметов и даже от самой их материальности. И в результате этого отвлечения возник математический язык – столь же прекрасное творение человеческого духа, как естественный язык, с которым он имеет много общего и продолжением которого по сути дела является.

И естественный, и математический языки подобны космосу, благодаря чему они и способны служить инструментом для его познания. В связи с этим нельзя не вспомнить строки Гёте, которые Конрад Лоренц выбрал эпиграфом к вводной главе своей последней книги "Оборотная сторона зеркала", посвященной естественной истории человеческого познания. [Русский перевод этой книги вместе с переводами двух других важнейших трудов Лоренца – "Так называемое зло" и "Восемь смертных грехов цивилизованного человечества" – опубликован в однотомнике: К. Лоренц, Оборотная сторона зеркала. М.: Республика, 1998. Второе издание этого однотомника вышло в 2008 году в издательстве Культурная революция под общим названием «Так называемое зло».]

War' nicht das Auge sonnenhaft,
die Sonne konnt' es nie erblicken.

(Если бы глаз не был подобен солнцу,
он никогда не смог бы его увидеть.)

Но глаз подчинен не законам неживой природы, как солнце, а законам органической жизни. Точно так же естественный и математический языки живут и развиваются не по законам большого, внечеловеческого космоса, а по законам "малого космоса" – духовного мира человека. И этот малый космос человек познает также с их помощью. При этом обойтись средствами естественного языка удается далеко не всегда, а в тех случаях, когда математические методы непосредственно не используются, нередко можно обнаружить их косвенное влияние. Так же обстоит дело и при изучении социальных явлений. Науки о человеческом духе и человеческом обществе связаны с математикой множеством прочных нитей; и не только науки, но и другие "гуманитарные" области деятельности.

Можно выделить три главных направления прямых и косвенных связей между математикой и гуманитарной сферой.

Первое направление. Во всех гуманитарных науках и гуманитарных областях практической деятельности – таких, как юриспруденция, финансы и т. п., – приходится иметь дело с абстрактными понятиями. (Ведь, например, кража – уже абстрактное понятие. Конкретны украденные вещи, конкретны физические действия, в результате которых они оказались в сумке вора, но квалифицировать эти действия как кражу можно только с помощью понятия собственности, абстрактный характер которого очевиден.) Но ничто так не развивает умение работать с абстрактными понятиями, ничто так не воспитывает культуру абстрактного мышления, как изучение математики. И ничто другое не учит столь эффективно искусству логического рассуждения, без которого невозможно представить себе никакую деятельность гуманитарного профиля.

Один из самых ярких примеров деятельности этого профиля, в которой логические рассуждения стоят на первом плане, дает юриспруденция. Сходство между юридическими и математическими доказательствами прямо-таки бросается в глаза. И вряд ли это сходство случайно: именно искусство судебного доказательства, которое было высоко развито в Древней Греции, послужило, по мнению многих историков, образцом для греческих ученых, открывших искусство математического доказательства. Как писал известный историк С.Я. Лурье, начиная с IV в. до н. э. "авторы математических книг черпают свою аргументацию из практики уголовного судопроизводства" (откуда был заимствован, в частности, способ доказательства "от противного"), в результате чего "аргументация стала более строгой, основанной на правильных и точных, научно безукоризненных определениях". (С.Я. Лурье, Архимед. Изд-во АН СССР, М.-Л., 1945, с. 23 – 24.)

И в течение многих веков юристами становились люди с тем же складом ума, который благоприятствует занятиям математикой. Людмила Всеволодовна Келдыш, замечательный математик из поколения моих учителей, вспоминала, что когда она в 20-х годах преподавала на заочном отделении физмата МГУ, среди студентов было много старых юристов: после революции они не могли работать по специальности, и многие из них стали учителями математики и получали математическое образование заочно. И все они учились очень хорошо – для чего, разумеется, требовались не только способности, но и хорошая школьная подготовка. В дореволюционной русской гимназии математика преподавалась основательно; это приучало к точности и ясности мышления и уже поэтому шло на пользу всем, не исключая и тех, кто потом с математикой не сталкивался.

Многие выдающиеся представители гуманитарной мысли и целые ее направления испытали и испытывают сильнейшее влияние математики и опирающихся на нее естественных наук. Иногда это влияние проявляется в прямом подражании математическим рассуждениям – как в "Этике" Спинозы, построенной по образцу "Начал" Евклида, с определениями, аксиомами и теоремами. Но гораздо более значительным было и остается косвенное влияние. Оно не всегда благотворно и подчас ведет к серьезным ошибкам; но эти ошибки чаще всего обусловлены именно тем, что философы, историки, социологи, экономисты имеют лишь поверхностное представление о методах математики и естественных наук, а нередко даже не подозревают, что находятся под их влиянием.

Примером может служить характерное для самых влиятельных общественных учений XIX и ХХ веков представление, что эволюция общества подчинена столь же непреложным законам, как движение небесных тел, и обществовед может, открыв эти законы, предсказывать ход истории с такой же точностью, с какой астроном предсказывает положение планет. Философы и социологи пришли к такому представлению под впечатлением успехов математической физики и тесно связанной с ней астрономии – настолько сильным, что вместе со столь же сильным соблазном освятить пророчества непререкаемым авторитетом науки оно заслонило принципиальные различия между общественными процессами и теми явлениями, которые изучает математическая физика. Но вряд ли они поддались бы этому впечатлению, если бы глубже понимали сущность ее методов. В ХХ веке одно из таких учений – марксизм (правда, в сильно искаженном виде) – усиленно претворялось в жизнь, и хорошо известно, что из этого вышло.

Не лучшие результаты получаются, впрочем, и тогда, когда за исследование общественных явлений берется математик, не чувствующий их специфики (что случается сейчас не так уж редко). Многим математикам в наше время свойственно высокомерное убеждение, что имеющиеся у них навыки точного мышления сами по себе уже позволяют им справиться с любой социологической, исторической или, скажем, лингвистической проблемой лучше, чем это сделает профессиональный социолог, историк или лингвист. Такой математик, как правило, бессознательно переносит привычные ему способы рассуждения на области, где они неприменимы. Противостоять же заблуждениям, возникающим из-за неправомерного переноса на гуманитарную сферу стереотипов мышления, характерных для математики и близких к ней наук, может только тот, кто понимает и чувствует специфику этой сферы и в то же время обладает хотя бы некоторой математической культурой.

Второе направление. Человек живет среди природы и сам является ее частью; поэтому он не может "познать самого себя" – в чем и состоит назначение гуманитарных наук, – не познавая одновременно природу, для чего служат естественные науки, в значительной своей части опирающиеся на математику, а также и сама математика в той мере, в какой она является естественной наукой.

Это хорошо понимали древние греки. У них философия была тесно связана с математикой; а математика была для них не "игрой ума" и тем более не прикладным искусством, а главным средством объяснения устройства мира. По преданию, Платон запретил вход в свою Академию тем, кто не изучал геометрию; и даже если это всего лишь легенда, она верно отражает дух греческой мысли. А в Новое Время мы видим такие колоссальные фигуры, как Декарт и Лейбниц – великие философы и великие математики. И в более близкую к нам эпоху мы находим среди значительных философов физика Э. Маха и математика Б. Рассела.

Каждая научная революция ставит перед философией новые проблемы, от которых она не может отмахнуться, не рискуя выродиться в пустословие. И вряд ли какая-либо гуманитарная наука в состоянии полностью отвлечься от окружающей человека природной среды и от его собственной физической природы, а во многих случаях приходится принимать в расчет и воздействие естественных наук на человеческий дух.

К этому следует еще добавить, что естественные науки оказывают на гуманитарные столь же сильное косвенное влияние, как математика, и все, что было сказано о влиянии математики, справедливо и в отношении влияния естественных наук.

Третье направление. В наше время некоторые гуманитарные науки непосредственно используют математические идеи и методы, и область их применения постоянно расширяется.

Полтора века назад в работах Дж. Буля и А. Де Моргана появились зачатки математического аппарата логики, который за несколько последующих десятилетий совершенно изменил облик этой науки, более двух тысяч лет не выходившей сколько-нибудь значительно за пределы круга идей и понятий, очерченного Аристотелем. Современная логика – наука по преимуществу математическая, и в то же время она остается гуманитарной, ибо ее предмет – законы рассуждения.

Столетие спустя, в 50-е годы XX века, возникла математическая лингвистика. В определенной степени ее появление было стимулировано прикладными исследованиями, начавшимися как раз тогда в связи с изобретением электронных вычислительных машин (автоматизация перевода, построение информационно-поисковых систем и т. п.). Но главная причина была в другом: ход развития теоретической лингвистики естественно привел ее к использованию математического языка и математического аппарата. Если в девятнадцатом веке она изучала язык исключительно в историческом аспекте, то в первой половине двадцатого в центре внимания лингвистов оказалась структура его "синхронного среза", и было замечено, что закономерности, которым она подчиняется, во многом аналогичны математическим. (Это, разумеется, не случайно: ведь математический язык произошел от естественного и сохранил некоторое структурное сходство с ним.) Еще в начале века такие крупнейшие лингвисты, как Ф. де Соссюр и И.А. Бодуэн де Куртенэ, говорили о желательности создания математических методов лингвистики, и несколько десятилетий спустя такие методы действительно появились. Особенно важно подчеркнуть, что для современной лингвистики математические понятия являются не вспомогательным средством, а неотъемлемой и очень важной частью ее понятийного аппарата.

Несколько раньше математической лингвистики возникла математическая экономика. Сейчас о важности математических методов для экономической науки знают все, хотя бы понаслышке.

Есть и другие точки соприкосновения гуманитарных наук с математикой: нередко им приходится, например, пользоваться методами математической статистики.

Всего сказанного достаточно, чтобы сделать вывод, что тот, кто не обладает хотя бы элементарной математической культурой, не может быть по-настоящему культурным человеком и в том смысле, в котором это выражение понимают обычно – в смысле гуманитарной культуры. В лучшем случае он может быть либо специалистом в какой-либо узкой области, не видящим ничего за ее пределами, либо "эрудитом", знающим много фактов, но не умеющим выстроить из них единую картину. Конечно, бывают исключения: некоторым особо одаренным людям удается компенсировать пробелы в систематическом образовании за счет интуиции. Но никому из них эти пробелы не помогают; напротив, они очень сильно мешают, хоть это и не всегда легко заметить.

Мы остановились так подробно на "гуманитарном аспекте" математики прежде всего потому, что наступление на нее часто ведется под лозунгом защиты гуманитарного образования и гуманитарной культуры – лозунгом, как мы постарались показать, фальшивым. Однако культурное значение математики далеко не исчерпывается ее влиянием на гуманитарную сферу и важностью для естественных наук. Математическая культура сама по себе является неотъемлемой частью общей культуры. С одной стороны, математика дисциплинирует ум, приучает к систематическому, упорядоченному мышлению, с другой – развивает воображение, интуицию, сообразительность. (Известны слова Д. Гильберта о человеке, который был сначала математиком, а потом стал поэтом: "Чтобы заниматься математикой, у него было слишком мало воображения".) Наконец, она развивает эстетическое чувство: все, что человек воспринимает как прекрасное, в высокой степени упорядочено, а занятия математикой приучают ценить это качество и наслаждаться им.

Нельзя не сказать и о роли изучения математики в нравственном воспитании. Здесь уместно привести слова, сказанные в XIX веке русским педагогом Ю. Ф. Виппером: "Отсутствие исключений в математике заставляет строго придерживаться правила, однажды принятого, и сообщает твердость и определенность поступкам. Видя, как от малейшего значка, от одной черты зависит неверность результата, учащийся привыкает к аккуратности, к порядку, и приучается делать все с наибольшей добросовестностью и с напряжением наибольшей силы. (...) Справедливо называют математику трудной наукой, но в этой-то трудности и заключается залог успеха, ибо только то усваивается надолго и надежно, что далось с некоторым усилием. Жизнь есть труд. В серьезности труда учащийся предчувствует серьезность жизни, в борьбе с трудностями крепнет дух его. Но зато с чем может сравниться удовольствие ученика, когда после усиленных трудов и напряжения всех умственных сил ему наконец удалось понять то, что казалось ему прежде темным и непонятным. (...) Кто не увидит в этом школу нравственной энергии и образования характера?" [Воспитательные начала физико-математических наук. Речь Ю. Виппера. (Издано отдельной брошюрой; выходные данные в экземпляре РГБ отсутствуют.)]

Итак: лишь того можно назвать культурным человеком, кто ориентируется не только в гуманитарной области, но и в математике и естественных науках. (При этом важна не эрудиция, не объем знаний; важно, чтобы они не лежали мертвым грузом, а составляли часть духовного мира.) И есть профессии, для которых такая всесторонняя культура необходима, как воздух. В первую очередь к ним относится профессия школьного учителя. Низкий уровень общей культуры учителей – главная причина того, что школьная премудрость предстает перед детьми и подростками в виде склада, где хранятся разрозненные и неизвестно для чего нужные факты и правила, и не только математика и грамматика лежат на разных полочках, но и грамматика русская и грамматика английская, сложение векторов в математике и сложение сил в физике. И вот нам предлагают не бороться больше с этим злом, а приветствовать и узаконить его; это называется "дифференциацией", "гуманитаризацией" и как-то там еще.

Стремление к снижению уровня математической подготовки школьников, какими бы красивыми словами оно ни сопровождалось, есть не что иное, как воинствующий обскурантизм. Дяди и тети, защищающие детей от математики, защищают в действительности собственное невежество: они хотят сделать его предметом гордости и увековечить в потомстве.

И снова мы возвращаемся к тому, с чего начали: к пресловутым трем часам в неделю на математику в гуманитарной школе. В нашей школе издавна принято измерять важность учебного предмета числом отводимых на него уроков, так что сокращение времени на тот или иной предмет приобретает символическое значение: это признак второстепенности, признак того, что на этот предмет не нужно обращать внимания и заниматься им следует только для вида. Результат нетрудно себе представить. Вот что пишет педагог-математик, работающий в экзаменационной комиссии, созданной для проверки знаний выпускников петербургских школ: "Ощущение бессмыслицы происходящего, увы, почти всегда преследует проверяющего работы учеников таких (гуманитарных – А.Г.) школ. Есть основания опасаться, что подобные чувства возникают в большинстве случаев и у гуманитариев при столкновении с этими школами. Противопоставление предметов здесь явно неуместно – возникает новый тип школы – школа, в которой совсем не важно учение." [А.П. Карп. О работе санкт-петербургской экзаменационной комиссии по математике в 1993 г. – Математика в школе, 1994, №1] Школа без математики, как бы она ни называлась и как бы ни украшала свой учебный план экзотическими предметами, всегда будет выпускать круглых невежд. Никакое серьезное образование без математики невозможно.

Но остается вопрос: каким должен быть школьный курс математики, что должно в него входить? Об этом – в следующей статье.

II. Какая нужна в школе математика

Математика – наука очень старая. Зачатки ее существовали уже в Древнем Египте и Вавилоне, а корни самого важного из ее понятий – целого положительного числа – теряются в доисторических временах. И уже две с половиной тысячи лет она пользуется методом формального логического доказательства.

Те разделы математики, которые изучаются в школе, также имеют почтенный возраст. Позиционная система записи чисел и основанные на ней способы выполнения арифметических действий изобретены индийскими учеными в первые века нашей эры. Б?льшая часть школьного курса геометрии – наследие Древней Греции. Школьная алгебра восходит в основном к шестнадцатому веку и временам еще более ранним. А основные понятия дифференциального и интегрального исчисления, включение которых в школьную программу до сих пор воспринимается как новшество, появились в трудах Ньютона и Лейбница три столетия назад.

Но математика, как и всякая наука, постоянно развивается. Ее аппарат совершенствуется, многие понятия переосмысливаются, рождаются новые идеи, возникают новые математические дисциплины. Изменяются и требования, предъявляемые к математике другими науками и практической жизнью. И многим приходит в голову, особенно в наш век стремительных изменений: почему школьный курс математики не идет в ногу со временем? Разве не пора изъять из него старый материал и заменить более современным?

Отвечая на этот вопрос, прежде всего хочется сравнить математику с многоэтажным зданием, верхние этажи которого опираются на нижние. Но напрашивается возражение: это раньше надо было карабкаться по лестницам, а теперь есть лифты.

Однако такое возражение было бы некорректно. Если наука – здание, то изучить ее вовсе не значит забраться на верхний этаж и поудобнее там устроиться. Кто хочет овладеть ею хоть в какой-то степени, тот должен выстроить подобное здание у себя в голове. Пусть не такое величественное, пусть даже совсем небольшое, но построить его он должен сам: в чужую голову никто влезть не может, учитель и книга могут только доставить строительный материал и помочь советами. И пока не возведены нижние этажи, нельзя приниматься за верхние.

Конечно, такое сравнение не совсем точно. Здание математики все время перестраивается на всех уровнях, даже в самые элементарные ее разделы проникают новые идеи и методы, и это не может не отражаться на школьном преподавании. С течением времени приходится включать в программу и более новые разделы. Но обновлять школьный курс нужно с большой осторожностью. Содержание начальных глав математики изменяется очень медленно, а его основное ядро поистине вечно. Относительно быстро изменяется только форма. И не будет никакой беды, если дети овладеют этим содержанием в несколько устаревшей форме. Те из них, кто будет изучать математику дальше, легко овладеют потом и более современной формой, и сравнение разных форм расширит их кругозор и доставит им удовольствие. С другой стороны, быстрая модернизация может лишить учителей возможности использовать приспособленные к привычным формам способы изложения, системы упражнений, приемы постановки и решения задач; все это богатство накапливается десятилетиями в процессе повседневной педагогической работы, и потерять его, не успев приобрести нового, значит обеднить уроки, сделать их более однообразными и менее интересными, затруднить понимание и закрепление учебного материала. Введение новых разделов тоже требует неспешной выработки способов изложения, систем упражнений и. т. д., и сверх того возникает вопрос: откуда взять на них время? Если за счет сокращения начальных разделов – это все равно, что экономить на фундаменте ради увеличения высоты строящегося дома: такой дом может рухнуть даже раньше, чем закончится стройка. Одним словом – опасности на каждом шагу.

Чтобы проиллюстрировать сказанное, поучительно будет посмотреть, как изменялась практика преподавания математики в нашей стране в течение последнего столетия. К началу его русская школа достигла в этом отношении довольно высокого уровня. Программа устоялась; существовали учебники, отвечавшие требованиям науки того времени и притом написанные доступно, ясным и выразительным языком; существовали задачники, предоставлявшие учителю и ученику богатый выбор задач самой различной трудности. А самое главное – в средней школе были квалифицированные учителя, как правило, с университетским образованием, свободно ориентировавшиеся в своем предмете. Учебники были для них не директивными документами, а всего лишь подспорьем в работе. Авторы учебников и задачников чаще всего тоже были учителями, и возникали эти учебники и задачники не в порядке претворения в жизнь чьих-то планов и предначертаний, а естественным путем – как обобщение опыта работы авторов и их коллег. Например, Андрей Петрович Киселев, автор учебников арифметики, алгебры и геометрии, использовавшихся до 70-х гг. XX столетия, был преподавателем реального училища в Воронеже.

После революции уровень преподавания математики, как и всех остальных предметов, существенно понизился. Причины общеизвестны: быстрый рост числа учеников средних школ и резкое изменение их социального состава; репрессии, жертвами которых стали многие учителя; дезорганизация школьной жизни; бесчисленные новшества, насаждавшиеся наробразовским начальством. Но тогдашняя власть, каковы бы ни были ее цели, понимала, что их невозможно осуществить без достаточно высокого уровня народного образования. Поэтому в начале 30-х гг. она провела реформу школы, суть которой состояла в отказе от педагогических новшеств, частичном возврате к старым школьным порядкам и введении жесткой регламентации содержания и методов обучения. Тогда и возникла знаменитая советская система так называемых стабильных учебников, от которых учителям не разрешалось отклоняться. В преподавании математики вред от этой системы был на первых порах сравнительно невелик, т. к. в качестве стабильных были выбраны доброкачественные дореволюционные учебники и задачники А.П. Киселева, Н.А. Рыбкина, Н.А. Шапошникова и Н.К. Вальцова (подвергнутые некоторой переработке). Таким образом, содержание школьного курса математики и методы ее преподавания оказались на несколько десятилетий как бы законсервированными. И нельзя не признать, что это позволило некоторое время поддерживать более или менее приличный уровень математической подготовки школьников.

Но такое неподвижное состояние не могло продолжаться до бесконечности. Учебники, написанные в конце прошедшего века, уже не удовлетворяли в ряде отношений изменившимся научным требованиям. Ученые настаивали на модернизации математического образования, и в 60-е годы для него наступил период реформ.

Вдохновителем и организатором наиболее радикальной реформы, проведенной в начале 70-х гг., был один из крупнейших математиков ХХ столетия Андрей Николаевич Колмогоров. Под его руководством и при его непосредственном участии были написаны учебники "Геометрия" и "Алгебра и начала анализа". Но они оказались слишком трудными не только для учеников, но и для учителей, и через несколько лет начались контрреформы. Колмогоровский учебник геометрии был изъят из употребления; учебник алгебры и начал анализа был переработан в сторону облегчения. "Реформированные" учебники алгебры для средних классов под редакцией А.И. Маркушевича, написанные еще до колмогоровских, также были заменены другими, в более традиционном духе. Однако это не было возвратом к старым временам. Сейчас математика преподается в школе не так, как в 50-е годы. В чем же состоят основные различия?

Самый нижний этаж здания математики – или, скорее, ее фундамент – образует арифметика, и всякий, кто изучает математику, должен начинать с нее. Против этого как будто никто не возражает; но если сравнить нынешние программы и практику преподавания с тем, что было сорок лет назад, сразу видно, что школьная математика стала "менее арифметической". Прежде всего, сейчас гораздо меньше внимания уделяется вычислительным навыкам. В младших классах, правда, все еще учат считать на бумаге и в уме, но навыки не закрепляются: ведь у школьника всегда под рукой калькулятор. К чему это приводит? Послушаем опытную учительницу: "Теперь мы имеем целые поколения молодых людей, которые без калькулятора затрудняются разделить 10 на 2 (...), а ведь это уже элементарная неграмотность. Но беда не только в этом. Ученик, имеющий хорошие вычислительные навыки, осуществляет переход от арифметики к алгебре легко и естественно, ведь закономерности и преобразования алгебраические он мог наблюдать и прочувствовать при работе с числами и числовыми выражениями; но ученик, который с огромным трудом и подсказками учителя сложит 1/2 и 1/3, вряд ли поймет запись:

a/b+c/d=ad+bc/ad,

для него она навсегда останется "китайской грамотой", и в лучшем случае он попытается ее зазубрить".[Е. В. Усатова. Вперед – к арифметике. – Математика в школе, 1995, №3]

Но ослабление арифметической части школьного курса математики проявляется не только в исчезновении вычислительных навыков. Статус арифметики вообще понизился – понизился настолько, что она перестала быть отдельным учебным предметом, и самое ее имя исчезло из школьных расписаний. То, что сейчас изучается в начальных классах на уроках математики – это некий гибрид арифметики и алгебры. Задачи, решавшиеся раньше с помощью рассуждений, теперь решаются алгебраически – с помощью формальных выкладок, содержательный смысл которых с трудом доходит до младших школьников. Предоставим слово той же учительнице: "Эти задачи решались методом логических рассуждений, когда каждое действие с данными задачи имело для ребенка конкретный смысл, а как это для него важно, с его конкретно-образным мышлением! И навык решения таких задач обусловливал безболезненный переход в шестом классе к решению задач с помощью уравнений, когда рассуждения, приводящие к уравнению, понятны и доступны ученику, но объем записи сокращается, и он воспринимает это как естественное улучшение метода решения, а не стремление его окончательно одурачить." Дальше она вспоминает, как легко прежние школьники, у которых решением арифметических задач было сформировано логическое мышление, осваивали логарифмы, числовые последовательности и т. д., и делает вывод: нужно вернуть в школу добрую старую арифметику. И нельзя с ней не согласиться: действительно, сокращение и модернизация арифметической части курса математики принесли много вреда и никакой пользы.

Следующий этаж – элементарная алгебра и элементарная геометрия. Элементарная алгебра начинается с тождественных преобразований. Все мы помним, что это занятие скучное и утомительное (хотя хорошие учителя умеют и его оживлять удачным подбором примеров). Теперь ему уделяется гораздо меньше внимания, чем прежде: сейчас вообще принято оберегать детей от всего скучного и утомительного, и хочется высвободить время для чего-нибудь более интересного. Когда я в пятидесятых годах начал работать в педагогическом институте, твердые навыки простейших тождественных преобразований были практически у всех первокурсников, даже самых слабых. А когда мне после долгого перерыва уже в восьмидесятых снова пришлось читать в пединституте математический анализ, оказалось, что студентам трудно следить за выкладками на доске, если я произвожу без пояснений простые преобразования и опускаю промежуточные этапы, которые по опыту прежних лет привык считать совершенно очевидными. Но если студент, изучающий математический анализ, вынужден вникать в смысл каждого раскрытия скобок или приведения к общему знаменателю алгебраических дробей, то на это уйдет все его внимание, и настоящее содержание курса останется ему недоступным. Заставлять изучать математический анализ или любой другой серьезный математический курс человека, у которого навыки тождественных преобразований не доведены до автоматизма – это примерно то же, что дать для чтения "Войну и мир" тому, кто едва умеет читать по складам. Вот чем оборачивается модернизация, когда она проводится за счет выработки навыков. И это относится не только к тождественным преобразованиям, но и к другим разделам алгебры, требующим многочисленных упражнений.

Геометрия – самая трудная, но и самая интересная часть школьного курса математики. Особую привлекательность ей придает соединение наглядных зрительных образов и тонких логических конструкций. Не случайно именно на геометрическом материале оттачивали древние ученые изобретенное ими искусство математического доказательства: наглядные представления служат для абстрактных рассуждений опорой, без которой нельзя было обойтись на начальном этапе их развития. И по той же причине геометрия дает самый подходящий материал для обучения этому искусству школьников.

Но если сравнить старый учебник геометрии А.П. Киселева с наиболее распространенным сейчас учебником А.В. Погорелова, мы увидим, что новый учебник хуже учит искусству доказательства, потому что многие классические рассуждения, опирающиеся на наглядные представления, заменены в нем либо вычислениями, либо изысканными конструкциями, которые может оценить лишь искушенный в математике человек; школьник то и другое воспринимает как своего рода цирковые фокусы, непонятно для чего нужные. Кроме того, разрушена складывавшаяся десятилетиями культура решения геометрических задач. Теперь решается гораздо меньше задач на доказательство, а задачи на построение исчезли вовсе. Таким образом, реальный уровень преподавания геометрии стал существенно ниже. (Сейчас доходит уже до того, что методисты вполне официально рекомендуют учителям требовать знания только тех геометрических фактов, которые нужны для решения задач – разумеется, вычислительных, потому что при такой установке ни о каких других речи быть не может.)

Кроме алгебры и геометрии, в старших классах изучаются теперь элементы математического анализа (вместе с заключительными главами алгебры они образуют в 10-11 классах учебный предмет "Алгебра и начала анализа"). Наряду с началами дифференциального и интегрального исчисления сюда относятся элементарные функции, в том числе тригонометрические, которым раньше посвящался особый предмет. Техникой тригонометрических преобразований школьники владеют теперь хуже, но то, что элементарные функции изучаются систематически, что больше внимания уделяется их общим свойствам и в особенности построению и "чтению" графиков, – это, безусловно, сдвиг в лучшую сторону. Что же касается производных и интегралов, которые до начала 70-х гг. в школе не изучались, то удовлетворительных способов их "школьного" изучения до сих пор нет, и ученики в лучшем случае научаются механически применять правила дифференцирования (в не слишком сложных случаях). [Исключение составляют ученики математических школ (о них см. ниже)] Пользы от этого никакой, а вреда очень много: во-первых, напрасно тратится время (ради этого материала пришлось пожертвовать другим, который не в пример лучше усваивался и был полезен для выработки математической культуры); во-вторых – это хуже всего, – школьники отучаются от строгих рассуждений, заглушается потребность в обосновании производимых действий. Препятствовать этому мог бы курс геометрии, но он, как мы видели, деградировал. И вот математика превращается даже для старшеклассников в набор скучных вычислительных процедур, которые положено выполнять просто потому, что "так надо". Такое "продвижение к современности" оборачивается на деле отступлением с позиций, завоеванных еще древними греками, и возвратом к древнеегипетским и вавилонским представлениям о методе математики.

Все это не значит, конечно, что модернизация вообще невозможна или не нужна. В конце ХХ столетия нельзя все-таки преподавать математику точно так же, как в конце ХIХ-го. Представления о математической строгости и о сравнительной значимости различных математических методов с течением времени изменяются, и это требует известной корректировки школьного курса. В нормальных условиях корректировка происходит в результате естественного процесса эволюции, ход которого в Советском Союзе был нарушен. Процесс этот состоит в том, что изменения производят сами учителя. Некоторые из них, не удовлетворенные существующими учебниками и способами изложения, ищут новых путей и начинают преподавать по-своему. Потом они обобщают свой опыт: пишут статьи, учебники, задачники. Некоторые новые учебники получают широкое распространение, другие влияют на эволюцию преподавания косвенно, содействуя развитию каких-либо идей и тенденций. Ученые, преподаватели высшей школы тоже участвуют в этом процессе, но решающая роль принадлежит учителям. А государственные органы только организуют экспертизу учебных пособий.

Приблизительно так происходила эволюция преподавания математики в средней школе в дореволюционной России (и происходит до сих пор эволюция ее преподавания в высшей школе). Но в советское время этот процесс прервался. Произошло это по двум причинам: из-за того, что всякая инициатива глушилась чудовищно разросшейся бюрократической системой "управления образованием", и из-за снижения среднего уровня научной подготовки и общей культуры учительства. Автор учебника перестал быть коллегой учителя и сделался для него своего рода начальством, причем очень высоким. А сам учебник стал чуть ли не священной книгой (и, как подобает священной книге, оброс толкованиями и комментариями: появились книги-инструкции, как преподавать по такому-то учебнику в таком-то классе). Новые учебники вводились в употребление только по указанию "свыше" и притом сразу во всей необъятной стране. При такой системе легко могли возникнуть "ножницы" между научным уровнем учебника и возможностями учеников и учителей; это, естественно, вызывало недовольство последних, но направлялось оно не против порочной системы, а против данного конкретного учебника. Так случилось с оригинальным, богатым новыми методическими идеями учебником геометрии, возникшим в результате сотрудничества А.Н. Колмогорова с талантливыми педагогами А.Ф. Семеновичем и Р.С. Черкасовым. В нормальных условиях этот учебник был бы сначала взят на вооружение небольшим числом учителей, а со временем на его основе или с использованием содержащихся в нем идей были бы созданы и другие учебные пособия, которые получили бы более широкое распространение. Но массового "внедрения" он не выдержал, и этим воспользовались разные морально нечистоплотные личности, организовавшие в лучших советских традициях травлю его авторов. Затем был точно так же "внедрен" уже упоминавшийся учебник А.В. Погорелова, обладающий внешними признаками "традиционности", но на самом деле тоже отошедший от традиции очень сильно – с той разницей, что нетрадиционность колмогоровского учебника обусловлена стремлением приблизить школьный курс к современным научным требованиям, а погореловского – просто личными вкусами автора. И этот учебник (ко всему прочему написанный крайне небрежно) "держится" до сих пор...

Система централизованного внедрения учебников приводит иногда к чудовищным нелепостям. Вот, может быть, самый яркий пример. При переработке учебников алгебры под руководством А.И. Маркушевича, в которых широко использовалось одно из основополагающих понятий современной математики – понятие множества, – было выброшено место, где объяснялся его смысл, но сохранено много мест, где оно существенным образом используется. А учителям было предписано, то есть, простите, рекомендовано, теперь это так называется: "множество" должно пониматься в школе "просто как слово русского языка". Но нетерминологическое значение этого слова ("очень много чего-то") не имеет ничего общего с терминологическим, так что понимать "множество" в математическом контексте "просто как слово русского языка" – примерно то же самое, что объяснять фразу "Индеец выстрелил из лука" как "Индеец сделал из луковицы ружье и выстрелил". И вот что всего удивительнее и всего страшнее: эта нелепая и безграмотная рекомендация пережила и Брежнева, и Советский Союз, и учителя до сих пор послушно ей следуют! [Еще одна примечательная, чисто советская особенность этой переработки состояла в том, что из учебников было изъято имя А.И. Маркушевича, за что-то "впавшего в немилость"]

Почему у нас такие учителя – это отдельный вопрос, заслуживающий подробного разговора. Но пока не будет достаточного числа "не таких", пока не изменится общий "педагогический климат", нельзя рассчитывать на возобновление естественного процесса эволюции.

Знающие и увлеченные учителя математики были у нас всегда и есть сейчас, хотя их немного. Они не были в состоянии бороться с бюрократической системой, но тем не менее сделали очень много: вместе с учеными-математиками они сумели создать и сохранить школы и классы "с углубленным изучением математики" и многочисленные математические кружки, по большей части связанные с начавшимся еще в 30-е годы "олимпиадным движением". Не будет преувеличением сказать, что главным образом благодаря этим двум параллельным системам у нас до сих пор не прекратилось математическое образование. Но в "массовой" школе деградация преподавания математики продолжается, а особенно быстро она идет – как уже говорилось в предыдущей статье – в недавно возникших гуманитарных школах и классах, претендующих на "элитарный" статус. Необходимо вернуть в "нематематические" школы настоящую математику: ее отсутствие ставит все общее образование под угрозу.

Сейчас содержание обучения уже не регламентируется так жестко, как прежде, и появляются новые экспериментальные программы. Но их авторы слишком часто идут все по тому же пути укрепления верхних этажей за счет ослабления нижних. К этому добавляется еще одна очень опасная тенденция, от которой часто не свободны и "математические" классы: пренебрежение доказательствами и вообще "теорией", выдвижение в качестве основной цели решения задач. (Этому сильно способствует нынешний стиль вступительных экзаменов в высших учебных заведениях.) Решение задач не может быть самостоятельной целью, и самое деление математического курса (любого) на "теорию" и "задачи" неправомерно: всякая математическая дисциплина есть теория, но овладеть ею можно только решая задачи, в том числе трудные. Однако это опять-таки тема для отдельного разговора. А сейчас достаточно сказать, что преодоление тенденции пренебрегать "теорией" тоже требует изменения "педагогического климата" и повышения культурного уровня преподавателей (причем не только школьных, но и вузовских).

Будем же надеяться, что у нас найдутся люди, которые поймут необходимость изменения климата и сумеют предпринять нужные для этого целенаправленные действия.