II. Какая нужна в школе математика

Математика – наука очень старая. Зачатки ее существовали уже в Древнем Египте и Вавилоне, а корни самого важного из ее понятий – целого положительного числа – теряются в доисторических временах. И уже две с половиной тысячи лет она пользуется методом формального логического доказательства.

Те разделы математики, которые изучаются в школе, также имеют почтенный возраст. Позиционная система записи чисел и основанные на ней способы выполнения арифметических действий изобретены индийскими учеными в первые века нашей эры. Б?льшая часть школьного курса геометрии – наследие Древней Греции. Школьная алгебра восходит в основном к шестнадцатому веку и временам еще более ранним. А основные понятия дифференциального и интегрального исчисления, включение которых в школьную программу до сих пор воспринимается как новшество, появились в трудах Ньютона и Лейбница три столетия назад.

Но математика, как и всякая наука, постоянно развивается. Ее аппарат совершенствуется, многие понятия переосмысливаются, рождаются новые идеи, возникают новые математические дисциплины. Изменяются и требования, предъявляемые к математике другими науками и практической жизнью. И многим приходит в голову, особенно в наш век стремительных изменений: почему школьный курс математики не идет в ногу со временем? Разве не пора изъять из него старый материал и заменить более современным?

Отвечая на этот вопрос, прежде всего хочется сравнить математику с многоэтажным зданием, верхние этажи которого опираются на нижние. Но напрашивается возражение: это раньше надо было карабкаться по лестницам, а теперь есть лифты.

Однако такое возражение было бы некорректно. Если наука – здание, то изучить ее вовсе не значит забраться на верхний этаж и поудобнее там устроиться. Кто хочет овладеть ею хоть в какой-то степени, тот должен выстроить подобное здание у себя в голове. Пусть не такое величественное, пусть даже совсем небольшое, но построить его он должен сам: в чужую голову никто влезть не может, учитель и книга могут только доставить строительный материал и помочь советами. И пока не возведены нижние этажи, нельзя приниматься за верхние.

Конечно, такое сравнение не совсем точно. Здание математики все время перестраивается на всех уровнях, даже в самые элементарные ее разделы проникают новые идеи и методы, и это не может не отражаться на школьном преподавании. С течением времени приходится включать в программу и более новые разделы. Но обновлять школьный курс нужно с большой осторожностью. Содержание начальных глав математики изменяется очень медленно, а его основное ядро поистине вечно. Относительно быстро изменяется только форма. И не будет никакой беды, если дети овладеют этим содержанием в несколько устаревшей форме. Те из них, кто будет изучать математику дальше, легко овладеют потом и более современной формой, и сравнение разных форм расширит их кругозор и доставит им удовольствие. С другой стороны, быстрая модернизация может лишить учителей возможности использовать приспособленные к привычным формам способы изложения, системы упражнений, приемы постановки и решения задач; все это богатство накапливается десятилетиями в процессе повседневной педагогической работы, и потерять его, не успев приобрести нового, значит обеднить уроки, сделать их более однообразными и менее интересными, затруднить понимание и закрепление учебного материала. Введение новых разделов тоже требует неспешной выработки способов изложения, систем упражнений и. т. д., и сверх того возникает вопрос: откуда взять на них время? Если за счет сокращения начальных разделов – это все равно, что экономить на фундаменте ради увеличения высоты строящегося дома: такой дом может рухнуть даже раньше, чем закончится стройка. Одним словом – опасности на каждом шагу.

Чтобы проиллюстрировать сказанное, поучительно будет посмотреть, как изменялась практика преподавания математики в нашей стране в течение последнего столетия. К началу его русская школа достигла в этом отношении довольно высокого уровня. Программа устоялась; существовали учебники, отвечавшие требованиям науки того времени и притом написанные доступно, ясным и выразительным языком; существовали задачники, предоставлявшие учителю и ученику богатый выбор задач самой различной трудности. А самое главное – в средней школе были квалифицированные учителя, как правило, с университетским образованием, свободно ориентировавшиеся в своем предмете. Учебники были для них не директивными документами, а всего лишь подспорьем в работе. Авторы учебников и задачников чаще всего тоже были учителями, и возникали эти учебники и задачники не в порядке претворения в жизнь чьих-то планов и предначертаний, а естественным путем – как обобщение опыта работы авторов и их коллег. Например, Андрей Петрович Киселев, автор учебников арифметики, алгебры и геометрии, использовавшихся до 70-х гг. XX столетия, был преподавателем реального училища в Воронеже.

После революции уровень преподавания математики, как и всех остальных предметов, существенно понизился. Причины общеизвестны: быстрый рост числа учеников средних школ и резкое изменение их социального состава; репрессии, жертвами которых стали многие учителя; дезорганизация школьной жизни; бесчисленные новшества, насаждавшиеся наробразовским начальством. Но тогдашняя власть, каковы бы ни были ее цели, понимала, что их невозможно осуществить без достаточно высокого уровня народного образования. Поэтому в начале 30-х гг. она провела реформу школы, суть которой состояла в отказе от педагогических новшеств, частичном возврате к старым школьным порядкам и введении жесткой регламентации содержания и методов обучения. Тогда и возникла знаменитая советская система так называемых стабильных учебников, от которых учителям не разрешалось отклоняться. В преподавании математики вред от этой системы был на первых порах сравнительно невелик, т. к. в качестве стабильных были выбраны доброкачественные дореволюционные учебники и задачники А.П. Киселева, Н.А. Рыбкина, Н.А. Шапошникова и Н.К. Вальцова (подвергнутые некоторой переработке). Таким образом, содержание школьного курса математики и методы ее преподавания оказались на несколько десятилетий как бы законсервированными. И нельзя не признать, что это позволило некоторое время поддерживать более или менее приличный уровень математической подготовки школьников.

Но такое неподвижное состояние не могло продолжаться до бесконечности. Учебники, написанные в конце прошедшего века, уже не удовлетворяли в ряде отношений изменившимся научным требованиям. Ученые настаивали на модернизации математического образования, и в 60-е годы для него наступил период реформ.

Вдохновителем и организатором наиболее радикальной реформы, проведенной в начале 70-х гг., был один из крупнейших математиков ХХ столетия Андрей Николаевич Колмогоров. Под его руководством и при его непосредственном участии были написаны учебники "Геометрия" и "Алгебра и начала анализа". Но они оказались слишком трудными не только для учеников, но и для учителей, и через несколько лет начались контрреформы. Колмогоровский учебник геометрии был изъят из употребления; учебник алгебры и начал анализа был переработан в сторону облегчения. "Реформированные" учебники алгебры для средних классов под редакцией А.И. Маркушевича, написанные еще до колмогоровских, также были заменены другими, в более традиционном духе. Однако это не было возвратом к старым временам. Сейчас математика преподается в школе не так, как в 50-е годы. В чем же состоят основные различия?

Самый нижний этаж здания математики – или, скорее, ее фундамент – образует арифметика, и всякий, кто изучает математику, должен начинать с нее. Против этого как будто никто не возражает; но если сравнить нынешние программы и практику преподавания с тем, что было сорок лет назад, сразу видно, что школьная математика стала "менее арифметической". Прежде всего, сейчас гораздо меньше внимания уделяется вычислительным навыкам. В младших классах, правда, все еще учат считать на бумаге и в уме, но навыки не закрепляются: ведь у школьника всегда под рукой калькулятор. К чему это приводит? Послушаем опытную учительницу: "Теперь мы имеем целые поколения молодых людей, которые без калькулятора затрудняются разделить 10 на 2 (...), а ведь это уже элементарная неграмотность. Но беда не только в этом. Ученик, имеющий хорошие вычислительные навыки, осуществляет переход от арифметики к алгебре легко и естественно, ведь закономерности и преобразования алгебраические он мог наблюдать и прочувствовать при работе с числами и числовыми выражениями; но ученик, который с огромным трудом и подсказками учителя сложит 1/2 и 1/3, вряд ли поймет запись:

a/b+c/d=ad+bc/ad,

для него она навсегда останется "китайской грамотой", и в лучшем случае он попытается ее зазубрить".[Е. В. Усатова. Вперед – к арифметике. – Математика в школе, 1995, №3]

Но ослабление арифметической части школьного курса математики проявляется не только в исчезновении вычислительных навыков. Статус арифметики вообще понизился – понизился настолько, что она перестала быть отдельным учебным предметом, и самое ее имя исчезло из школьных расписаний. То, что сейчас изучается в начальных классах на уроках математики – это некий гибрид арифметики и алгебры. Задачи, решавшиеся раньше с помощью рассуждений, теперь решаются алгебраически – с помощью формальных выкладок, содержательный смысл которых с трудом доходит до младших школьников. Предоставим слово той же учительнице: "Эти задачи решались методом логических рассуждений, когда каждое действие с данными задачи имело для ребенка конкретный смысл, а как это для него важно, с его конкретно-образным мышлением! И навык решения таких задач обусловливал безболезненный переход в шестом классе к решению задач с помощью уравнений, когда рассуждения, приводящие к уравнению, понятны и доступны ученику, но объем записи сокращается, и он воспринимает это как естественное улучшение метода решения, а не стремление его окончательно одурачить." Дальше она вспоминает, как легко прежние школьники, у которых решением арифметических задач было сформировано логическое мышление, осваивали логарифмы, числовые последовательности и т. д., и делает вывод: нужно вернуть в школу добрую старую арифметику. И нельзя с ней не согласиться: действительно, сокращение и модернизация арифметической части курса математики принесли много вреда и никакой пользы.

Следующий этаж – элементарная алгебра и элементарная геометрия. Элементарная алгебра начинается с тождественных преобразований. Все мы помним, что это занятие скучное и утомительное (хотя хорошие учителя умеют и его оживлять удачным подбором примеров). Теперь ему уделяется гораздо меньше внимания, чем прежде: сейчас вообще принято оберегать детей от всего скучного и утомительного, и хочется высвободить время для чего-нибудь более интересного. Когда я в пятидесятых годах начал работать в педагогическом институте, твердые навыки простейших тождественных преобразований были практически у всех первокурсников, даже самых слабых. А когда мне после долгого перерыва уже в восьмидесятых снова пришлось читать в пединституте математический анализ, оказалось, что студентам трудно следить за выкладками на доске, если я произвожу без пояснений простые преобразования и опускаю промежуточные этапы, которые по опыту прежних лет привык считать совершенно очевидными. Но если студент, изучающий математический анализ, вынужден вникать в смысл каждого раскрытия скобок или приведения к общему знаменателю алгебраических дробей, то на это уйдет все его внимание, и настоящее содержание курса останется ему недоступным. Заставлять изучать математический анализ или любой другой серьезный математический курс человека, у которого навыки тождественных преобразований не доведены до автоматизма – это примерно то же, что дать для чтения "Войну и мир" тому, кто едва умеет читать по складам. Вот чем оборачивается модернизация, когда она проводится за счет выработки навыков. И это относится не только к тождественным преобразованиям, но и к другим разделам алгебры, требующим многочисленных упражнений.

Геометрия – самая трудная, но и самая интересная часть школьного курса математики. Особую привлекательность ей придает соединение наглядных зрительных образов и тонких логических конструкций. Не случайно именно на геометрическом материале оттачивали древние ученые изобретенное ими искусство математического доказательства: наглядные представления служат для абстрактных рассуждений опорой, без которой нельзя было обойтись на начальном этапе их развития. И по той же причине геометрия дает самый подходящий материал для обучения этому искусству школьников.

Но если сравнить старый учебник геометрии А.П. Киселева с наиболее распространенным сейчас учебником А.В. Погорелова, мы увидим, что новый учебник хуже учит искусству доказательства, потому что многие классические рассуждения, опирающиеся на наглядные представления, заменены в нем либо вычислениями, либо изысканными конструкциями, которые может оценить лишь искушенный в математике человек; школьник то и другое воспринимает как своего рода цирковые фокусы, непонятно для чего нужные. Кроме того, разрушена складывавшаяся десятилетиями культура решения геометрических задач. Теперь решается гораздо меньше задач на доказательство, а задачи на построение исчезли вовсе. Таким образом, реальный уровень преподавания геометрии стал существенно ниже. (Сейчас доходит уже до того, что методисты вполне официально рекомендуют учителям требовать знания только тех геометрических фактов, которые нужны для решения задач – разумеется, вычислительных, потому что при такой установке ни о каких других речи быть не может.)

Кроме алгебры и геометрии, в старших классах изучаются теперь элементы математического анализа (вместе с заключительными главами алгебры они образуют в 10-11 классах учебный предмет "Алгебра и начала анализа"). Наряду с началами дифференциального и интегрального исчисления сюда относятся элементарные функции, в том числе тригонометрические, которым раньше посвящался особый предмет. Техникой тригонометрических преобразований школьники владеют теперь хуже, но то, что элементарные функции изучаются систематически, что больше внимания уделяется их общим свойствам и в особенности построению и "чтению" графиков, – это, безусловно, сдвиг в лучшую сторону. Что же касается производных и интегралов, которые до начала 70-х гг. в школе не изучались, то удовлетворительных способов их "школьного" изучения до сих пор нет, и ученики в лучшем случае научаются механически применять правила дифференцирования (в не слишком сложных случаях). [Исключение составляют ученики математических школ (о них см. ниже)] Пользы от этого никакой, а вреда очень много: во-первых, напрасно тратится время (ради этого материала пришлось пожертвовать другим, который не в пример лучше усваивался и был полезен для выработки математической культуры); во-вторых – это хуже всего, – школьники отучаются от строгих рассуждений, заглушается потребность в обосновании производимых действий. Препятствовать этому мог бы курс геометрии, но он, как мы видели, деградировал. И вот математика превращается даже для старшеклассников в набор скучных вычислительных процедур, которые положено выполнять просто потому, что "так надо". Такое "продвижение к современности" оборачивается на деле отступлением с позиций, завоеванных еще древними греками, и возвратом к древнеегипетским и вавилонским представлениям о методе математики.

Все это не значит, конечно, что модернизация вообще невозможна или не нужна. В конце ХХ столетия нельзя все-таки преподавать математику точно так же, как в конце ХIХ-го. Представления о математической строгости и о сравнительной значимости различных математических методов с течением времени изменяются, и это требует известной корректировки школьного курса. В нормальных условиях корректировка происходит в результате естественного процесса эволюции, ход которого в Советском Союзе был нарушен. Процесс этот состоит в том, что изменения производят сами учителя. Некоторые из них, не удовлетворенные существующими учебниками и способами изложения, ищут новых путей и начинают преподавать по-своему. Потом они обобщают свой опыт: пишут статьи, учебники, задачники. Некоторые новые учебники получают широкое распространение, другие влияют на эволюцию преподавания косвенно, содействуя развитию каких-либо идей и тенденций. Ученые, преподаватели высшей школы тоже участвуют в этом процессе, но решающая роль принадлежит учителям. А государственные органы только организуют экспертизу учебных пособий.

Приблизительно так происходила эволюция преподавания математики в средней школе в дореволюционной России (и происходит до сих пор эволюция ее преподавания в высшей школе). Но в советское время этот процесс прервался. Произошло это по двум причинам: из-за того, что всякая инициатива глушилась чудовищно разросшейся бюрократической системой "управления образованием", и из-за снижения среднего уровня научной подготовки и общей культуры учительства. Автор учебника перестал быть коллегой учителя и сделался для него своего рода начальством, причем очень высоким. А сам учебник стал чуть ли не священной книгой (и, как подобает священной книге, оброс толкованиями и комментариями: появились книги-инструкции, как преподавать по такому-то учебнику в таком-то классе). Новые учебники вводились в употребление только по указанию "свыше" и притом сразу во всей необъятной стране. При такой системе легко могли возникнуть "ножницы" между научным уровнем учебника и возможностями учеников и учителей; это, естественно, вызывало недовольство последних, но направлялось оно не против порочной системы, а против данного конкретного учебника. Так случилось с оригинальным, богатым новыми методическими идеями учебником геометрии, возникшим в результате сотрудничества А.Н. Колмогорова с талантливыми педагогами А.Ф. Семеновичем и Р.С. Черкасовым. В нормальных условиях этот учебник был бы сначала взят на вооружение небольшим числом учителей, а со временем на его основе или с использованием содержащихся в нем идей были бы созданы и другие учебные пособия, которые получили бы более широкое распространение. Но массового "внедрения" он не выдержал, и этим воспользовались разные морально нечистоплотные личности, организовавшие в лучших советских традициях травлю его авторов. Затем был точно так же "внедрен" уже упоминавшийся учебник А.В. Погорелова, обладающий внешними признаками "традиционности", но на самом деле тоже отошедший от традиции очень сильно – с той разницей, что нетрадиционность колмогоровского учебника обусловлена стремлением приблизить школьный курс к современным научным требованиям, а погореловского – просто личными вкусами автора. И этот учебник (ко всему прочему написанный крайне небрежно) "держится" до сих пор...

Система централизованного внедрения учебников приводит иногда к чудовищным нелепостям. Вот, может быть, самый яркий пример. При переработке учебников алгебры под руководством А.И. Маркушевича, в которых широко использовалось одно из основополагающих понятий современной математики – понятие множества, – было выброшено место, где объяснялся его смысл, но сохранено много мест, где оно существенным образом используется. А учителям было предписано, то есть, простите, рекомендовано, теперь это так называется: "множество" должно пониматься в школе "просто как слово русского языка". Но нетерминологическое значение этого слова ("очень много чего-то") не имеет ничего общего с терминологическим, так что понимать "множество" в математическом контексте "просто как слово русского языка" – примерно то же самое, что объяснять фразу "Индеец выстрелил из лука" как "Индеец сделал из луковицы ружье и выстрелил". И вот что всего удивительнее и всего страшнее: эта нелепая и безграмотная рекомендация пережила и Брежнева, и Советский Союз, и учителя до сих пор послушно ей следуют! [Еще одна примечательная, чисто советская особенность этой переработки состояла в том, что из учебников было изъято имя А.И. Маркушевича, за что-то "впавшего в немилость"]

Почему у нас такие учителя – это отдельный вопрос, заслуживающий подробного разговора. Но пока не будет достаточного числа "не таких", пока не изменится общий "педагогический климат", нельзя рассчитывать на возобновление естественного процесса эволюции.

Знающие и увлеченные учителя математики были у нас всегда и есть сейчас, хотя их немного. Они не были в состоянии бороться с бюрократической системой, но тем не менее сделали очень много: вместе с учеными-математиками они сумели создать и сохранить школы и классы "с углубленным изучением математики" и многочисленные математические кружки, по большей части связанные с начавшимся еще в 30-е годы "олимпиадным движением". Не будет преувеличением сказать, что главным образом благодаря этим двум параллельным системам у нас до сих пор не прекратилось математическое образование. Но в "массовой" школе деградация преподавания математики продолжается, а особенно быстро она идет – как уже говорилось в предыдущей статье – в недавно возникших гуманитарных школах и классах, претендующих на "элитарный" статус. Необходимо вернуть в "нематематические" школы настоящую математику: ее отсутствие ставит все общее образование под угрозу.

Сейчас содержание обучения уже не регламентируется так жестко, как прежде, и появляются новые экспериментальные программы. Но их авторы слишком часто идут все по тому же пути укрепления верхних этажей за счет ослабления нижних. К этому добавляется еще одна очень опасная тенденция, от которой часто не свободны и "математические" классы: пренебрежение доказательствами и вообще "теорией", выдвижение в качестве основной цели решения задач. (Этому сильно способствует нынешний стиль вступительных экзаменов в высших учебных заведениях.) Решение задач не может быть самостоятельной целью, и самое деление математического курса (любого) на "теорию" и "задачи" неправомерно: всякая математическая дисциплина есть теория, но овладеть ею можно только решая задачи, в том числе трудные. Однако это опять-таки тема для отдельного разговора. А сейчас достаточно сказать, что преодоление тенденции пренебрегать "теорией" тоже требует изменения "педагогического климата" и повышения культурного уровня преподавателей (причем не только школьных, но и вузовских).

Будем же надеяться, что у нас найдутся люди, которые поймут необходимость изменения климата и сумеют предпринять нужные для этого целенаправленные действия.

Страница 2 из 2 Все страницы