Первая из этих статей была опубликована в журнале "Знание – сила" за 1995. Вторая, написанная в 1995 г., ранее не публиковалась ни в бумажном, ни в электронном виде.

I. Зачем нужна в школе математика?

С давних пор в странах европейской культуры элементарная математика составляет необходимую часть общего образования. В начальной школе изучают арифметику, в средней – алгебру, геометрию и тригонометрию; в двадцатом столетии к этому нередко добавляются начала дифференциального и интегрального исчисления, теории вероятностей. Но в последнее время все чаще слышны голоса: "А зачем это нужно? Алгебра и геометрия пригодятся в жизни лишь немногим, остальным хватит арифметики – да и без нее, пожалуй, можно обойтись теперь, когда хозяйки ходят на рынок с калькуляторами. Пусть математику изучают дети со специальными склонностями, которые сами станут потом математиками или физиками, ну да еще будущие инженеры. А всех прочих незачем мучить уравнениями и теоремами." И к этим голосам начинают прислушиваться те, кто определяет содержание обучения. В старших классах гуманитарных школ математика урезана до трех часов в неделю, и многие влиятельные администраторы добиваются ее полного устранения. (Автору довелось однажды побывать на парламентских слушаниях, где с таким предложением выступил министр образования одной из республик в составе России.) А некоторые школы и в средних классах, начиная с пятого, сокращают математику до трех-четырех уроков в неделю, хотя государственным стандартом это не допускается. Налицо первые значительные успехи "антиматематического движения".

Подобное движение в свое время уже было – за отмену изучения древних языков. В России оно особенно широко развернулось в предреволюционное время. Мотивы приводились такие же, как теперь: в жизни эти языки никому не понадобятся. Это движение, как известно, добилось полной победы, и не только благодаря революции: греческий язык был отменен раньше. В странах, где не было революций, оно в конце концов тоже победило. И его победа сыграла существенную роль в повсеместном снижении культурных стандартов и общего культурного уровня интеллигенции.

К того же рода последствиям, но гораздо более серьезным, привела бы победа нынешнего движения, пусть даже не столь полная. Потому что практическая полезность математики – не главное, ради чего ее необходимо изучать. Главное ее значение в том, что она представляет собой одну из важнейших составляющих духовной культуры.

Культура, как материальная, так и духовная, основывается на познании мира. Познание – не просто одна из составных частей культуры: это ее главная опора, ее фундамент. И состоит оно не в простом накоплении сведений, а прежде всего в выявлении существующих в мире закономерностей, упорядоченностей, в том числе весьма сложных. Делается это с помощью "познающего аппарата", который сам в высокой степени упорядочен и очень сложен – и именно поэтому способен постигать сложные упорядоченности внешнего мира. "Познающий аппарат" есть и у животных: органы чувств и многообразные механизмы ориентировки в пространстве, реагирования на внешние раздражители, выработки новых способов поведения. У человека к этому добавляются понятийное мышление и тесно связанный с ним словесный язык, возникновение которых означает переход на новый уровень бытия, сравнимый с переходом от неживой материи к живым организмам. Конрад Лоренц, величайший биолог и мыслитель ХХ века, назвал такие резкие переходы на качественно иной уровень фульгурациями (fulguratio по-латыни – вспышка молнии).

Язык представляет собой своего рода "координатную сетку", которую человек накладывает на мир, чтобы лучше в нем ориентироваться. И он же позволяет передавать накопленные знания от поколения к поколению уже не генетическим путем, а с помощью традиции, благодаря которой возникает культура – явление, свойственное исключительно человеку. Культура, подобно живой природе (но несравненно быстрее), постоянно развивается, и развитие ее идет, как и в живой природе, от простого к сложному и от менее упорядоченного к более упорядоченному. В процессе ее развития человек научился строить более сложные и лучше упорядоченные "координатные сетки" – научные теории, позволяющие ориентироваться в мире существенно лучше. Мало того – с их помощью он создал множество новых вещей и этим внес в мир вокруг себя дополнительную сложность и дополнительную упорядоченность. Возник, в сущности, новый, более сложный мир, в котором трудно ориентироваться тому, кто ничего не знает об устройстве новых, более сложных "координатных сеток". Верно, что новые вещи принесли человечеству не одно лишь благо; но так же верно, что нет возврата в тот мир, где свободно ориентировался первобытный охотник или пастух, не умевший даже считать без помощи пальцев.

Но усложнился не только мир вещей. Что еще более важно, благодаря познанию внешнего мира и тесно связанному с ним развитию абстрактного мышления сложнее и упорядоченнее стал духовный мир человека. По меньшей мере со времен Пифагора абстрактные теории образуют одну из важнейших сторон духовной жизни человечества и очень сильно влияют на другие ее стороны, а также на способы организации общественной жизни. И самую существенную роль среди них играют математические теории, потому что математика занимает в системе наук совершенно особое положение, образуя своего рода соединительное звено между естественными и гуманитарными науками. Она изучает пространственные и количественные отношения между материальными предметами, то есть в конечном счете природу; это дает основание отнести ее к естественным наукам. Но в отличие от всех остальных наук о природе математика не прибегает к экспериментам; ее единственный метод – дедуктивное рассуждение – носит чисто умозрительный характер. (Часто используемые в математике вычисления – это тоже рассуждения, но формализованные до такой степени, что их можно выполнять механически.)

Объясняется эта особенность тем, что математика изучает природу все-таки лишь в конечном счете, непосредственный же объект ее изучения – абстрактные понятия, созданные разумом человека. А это позволяет отнести ее к наукам о человеческом духе и его творениях – иными словами, к гуманитарным наукам. Один из крупнейших наших ученых в области математической логики Андрей Андреевич Марков любил повторять в своей обычной полусерьезной, полушутливой манере: "Математика, в сущности, наука гуманитарная, потому что она изучает то, что человек напридумывал". Конечно, человек не просто так "напридумывал" арифметические действия, геометрические теоремы и т. п., в них отразились отношения между материальными предметами; но эти отношения настолько универсальны – они присутствуют буквально на всех уровнях организации материи, – что изучать их можно, только отвлекаясь от всех частных свойств предметов и даже от самой их материальности. И в результате этого отвлечения возник математический язык – столь же прекрасное творение человеческого духа, как естественный язык, с которым он имеет много общего и продолжением которого по сути дела является.

И естественный, и математический языки подобны космосу, благодаря чему они и способны служить инструментом для его познания. В связи с этим нельзя не вспомнить строки Гёте, которые Конрад Лоренц выбрал эпиграфом к вводной главе своей последней книги "Оборотная сторона зеркала", посвященной естественной истории человеческого познания. [Русский перевод этой книги вместе с переводами двух других важнейших трудов Лоренца – "Так называемое зло" и "Восемь смертных грехов цивилизованного человечества" – опубликован в однотомнике: К. Лоренц, Оборотная сторона зеркала. М.: Республика, 1998. Второе издание этого однотомника вышло в 2008 году в издательстве Культурная революция под общим названием «Так называемое зло».]

War' nicht das Auge sonnenhaft,
die Sonne konnt' es nie erblicken.

(Если бы глаз не был подобен солнцу,
он никогда не смог бы его увидеть.)

Но глаз подчинен не законам неживой природы, как солнце, а законам органической жизни. Точно так же естественный и математический языки живут и развиваются не по законам большого, внечеловеческого космоса, а по законам "малого космоса" – духовного мира человека. И этот малый космос человек познает также с их помощью. При этом обойтись средствами естественного языка удается далеко не всегда, а в тех случаях, когда математические методы непосредственно не используются, нередко можно обнаружить их косвенное влияние. Так же обстоит дело и при изучении социальных явлений. Науки о человеческом духе и человеческом обществе связаны с математикой множеством прочных нитей; и не только науки, но и другие "гуманитарные" области деятельности.

Можно выделить три главных направления прямых и косвенных связей между математикой и гуманитарной сферой.

Первое направление. Во всех гуманитарных науках и гуманитарных областях практической деятельности – таких, как юриспруденция, финансы и т. п., – приходится иметь дело с абстрактными понятиями. (Ведь, например, кража – уже абстрактное понятие. Конкретны украденные вещи, конкретны физические действия, в результате которых они оказались в сумке вора, но квалифицировать эти действия как кражу можно только с помощью понятия собственности, абстрактный характер которого очевиден.) Но ничто так не развивает умение работать с абстрактными понятиями, ничто так не воспитывает культуру абстрактного мышления, как изучение математики. И ничто другое не учит столь эффективно искусству логического рассуждения, без которого невозможно представить себе никакую деятельность гуманитарного профиля.

Один из самых ярких примеров деятельности этого профиля, в которой логические рассуждения стоят на первом плане, дает юриспруденция. Сходство между юридическими и математическими доказательствами прямо-таки бросается в глаза. И вряд ли это сходство случайно: именно искусство судебного доказательства, которое было высоко развито в Древней Греции, послужило, по мнению многих историков, образцом для греческих ученых, открывших искусство математического доказательства. Как писал известный историк С.Я. Лурье, начиная с IV в. до н. э. "авторы математических книг черпают свою аргументацию из практики уголовного судопроизводства" (откуда был заимствован, в частности, способ доказательства "от противного"), в результате чего "аргументация стала более строгой, основанной на правильных и точных, научно безукоризненных определениях". (С.Я. Лурье, Архимед. Изд-во АН СССР, М.-Л., 1945, с. 23 – 24.)

И в течение многих веков юристами становились люди с тем же складом ума, который благоприятствует занятиям математикой. Людмила Всеволодовна Келдыш, замечательный математик из поколения моих учителей, вспоминала, что когда она в 20-х годах преподавала на заочном отделении физмата МГУ, среди студентов было много старых юристов: после революции они не могли работать по специальности, и многие из них стали учителями математики и получали математическое образование заочно. И все они учились очень хорошо – для чего, разумеется, требовались не только способности, но и хорошая школьная подготовка. В дореволюционной русской гимназии математика преподавалась основательно; это приучало к точности и ясности мышления и уже поэтому шло на пользу всем, не исключая и тех, кто потом с математикой не сталкивался.

Многие выдающиеся представители гуманитарной мысли и целые ее направления испытали и испытывают сильнейшее влияние математики и опирающихся на нее естественных наук. Иногда это влияние проявляется в прямом подражании математическим рассуждениям – как в "Этике" Спинозы, построенной по образцу "Начал" Евклида, с определениями, аксиомами и теоремами. Но гораздо более значительным было и остается косвенное влияние. Оно не всегда благотворно и подчас ведет к серьезным ошибкам; но эти ошибки чаще всего обусловлены именно тем, что философы, историки, социологи, экономисты имеют лишь поверхностное представление о методах математики и естественных наук, а нередко даже не подозревают, что находятся под их влиянием.

Примером может служить характерное для самых влиятельных общественных учений XIX и ХХ веков представление, что эволюция общества подчинена столь же непреложным законам, как движение небесных тел, и обществовед может, открыв эти законы, предсказывать ход истории с такой же точностью, с какой астроном предсказывает положение планет. Философы и социологи пришли к такому представлению под впечатлением успехов математической физики и тесно связанной с ней астрономии – настолько сильным, что вместе со столь же сильным соблазном освятить пророчества непререкаемым авторитетом науки оно заслонило принципиальные различия между общественными процессами и теми явлениями, которые изучает математическая физика. Но вряд ли они поддались бы этому впечатлению, если бы глубже понимали сущность ее методов. В ХХ веке одно из таких учений – марксизм (правда, в сильно искаженном виде) – усиленно претворялось в жизнь, и хорошо известно, что из этого вышло.

Не лучшие результаты получаются, впрочем, и тогда, когда за исследование общественных явлений берется математик, не чувствующий их специфики (что случается сейчас не так уж редко). Многим математикам в наше время свойственно высокомерное убеждение, что имеющиеся у них навыки точного мышления сами по себе уже позволяют им справиться с любой социологической, исторической или, скажем, лингвистической проблемой лучше, чем это сделает профессиональный социолог, историк или лингвист. Такой математик, как правило, бессознательно переносит привычные ему способы рассуждения на области, где они неприменимы. Противостоять же заблуждениям, возникающим из-за неправомерного переноса на гуманитарную сферу стереотипов мышления, характерных для математики и близких к ней наук, может только тот, кто понимает и чувствует специфику этой сферы и в то же время обладает хотя бы некоторой математической культурой.

Второе направление. Человек живет среди природы и сам является ее частью; поэтому он не может "познать самого себя" – в чем и состоит назначение гуманитарных наук, – не познавая одновременно природу, для чего служат естественные науки, в значительной своей части опирающиеся на математику, а также и сама математика в той мере, в какой она является естественной наукой.

Это хорошо понимали древние греки. У них философия была тесно связана с математикой; а математика была для них не "игрой ума" и тем более не прикладным искусством, а главным средством объяснения устройства мира. По преданию, Платон запретил вход в свою Академию тем, кто не изучал геометрию; и даже если это всего лишь легенда, она верно отражает дух греческой мысли. А в Новое Время мы видим такие колоссальные фигуры, как Декарт и Лейбниц – великие философы и великие математики. И в более близкую к нам эпоху мы находим среди значительных философов физика Э. Маха и математика Б. Рассела.

Каждая научная революция ставит перед философией новые проблемы, от которых она не может отмахнуться, не рискуя выродиться в пустословие. И вряд ли какая-либо гуманитарная наука в состоянии полностью отвлечься от окружающей человека природной среды и от его собственной физической природы, а во многих случаях приходится принимать в расчет и воздействие естественных наук на человеческий дух.

К этому следует еще добавить, что естественные науки оказывают на гуманитарные столь же сильное косвенное влияние, как математика, и все, что было сказано о влиянии математики, справедливо и в отношении влияния естественных наук.

Третье направление. В наше время некоторые гуманитарные науки непосредственно используют математические идеи и методы, и область их применения постоянно расширяется.

Полтора века назад в работах Дж. Буля и А. Де Моргана появились зачатки математического аппарата логики, который за несколько последующих десятилетий совершенно изменил облик этой науки, более двух тысяч лет не выходившей сколько-нибудь значительно за пределы круга идей и понятий, очерченного Аристотелем. Современная логика – наука по преимуществу математическая, и в то же время она остается гуманитарной, ибо ее предмет – законы рассуждения.

Столетие спустя, в 50-е годы XX века, возникла математическая лингвистика. В определенной степени ее появление было стимулировано прикладными исследованиями, начавшимися как раз тогда в связи с изобретением электронных вычислительных машин (автоматизация перевода, построение информационно-поисковых систем и т. п.). Но главная причина была в другом: ход развития теоретической лингвистики естественно привел ее к использованию математического языка и математического аппарата. Если в девятнадцатом веке она изучала язык исключительно в историческом аспекте, то в первой половине двадцатого в центре внимания лингвистов оказалась структура его "синхронного среза", и было замечено, что закономерности, которым она подчиняется, во многом аналогичны математическим. (Это, разумеется, не случайно: ведь математический язык произошел от естественного и сохранил некоторое структурное сходство с ним.) Еще в начале века такие крупнейшие лингвисты, как Ф. де Соссюр и И.А. Бодуэн де Куртенэ, говорили о желательности создания математических методов лингвистики, и несколько десятилетий спустя такие методы действительно появились. Особенно важно подчеркнуть, что для современной лингвистики математические понятия являются не вспомогательным средством, а неотъемлемой и очень важной частью ее понятийного аппарата.

Несколько раньше математической лингвистики возникла математическая экономика. Сейчас о важности математических методов для экономической науки знают все, хотя бы понаслышке.

Есть и другие точки соприкосновения гуманитарных наук с математикой: нередко им приходится, например, пользоваться методами математической статистики.

Всего сказанного достаточно, чтобы сделать вывод, что тот, кто не обладает хотя бы элементарной математической культурой, не может быть по-настоящему культурным человеком и в том смысле, в котором это выражение понимают обычно – в смысле гуманитарной культуры. В лучшем случае он может быть либо специалистом в какой-либо узкой области, не видящим ничего за ее пределами, либо "эрудитом", знающим много фактов, но не умеющим выстроить из них единую картину. Конечно, бывают исключения: некоторым особо одаренным людям удается компенсировать пробелы в систематическом образовании за счет интуиции. Но никому из них эти пробелы не помогают; напротив, они очень сильно мешают, хоть это и не всегда легко заметить.

Мы остановились так подробно на "гуманитарном аспекте" математики прежде всего потому, что наступление на нее часто ведется под лозунгом защиты гуманитарного образования и гуманитарной культуры – лозунгом, как мы постарались показать, фальшивым. Однако культурное значение математики далеко не исчерпывается ее влиянием на гуманитарную сферу и важностью для естественных наук. Математическая культура сама по себе является неотъемлемой частью общей культуры. С одной стороны, математика дисциплинирует ум, приучает к систематическому, упорядоченному мышлению, с другой – развивает воображение, интуицию, сообразительность. (Известны слова Д. Гильберта о человеке, который был сначала математиком, а потом стал поэтом: "Чтобы заниматься математикой, у него было слишком мало воображения".) Наконец, она развивает эстетическое чувство: все, что человек воспринимает как прекрасное, в высокой степени упорядочено, а занятия математикой приучают ценить это качество и наслаждаться им.

Нельзя не сказать и о роли изучения математики в нравственном воспитании. Здесь уместно привести слова, сказанные в XIX веке русским педагогом Ю. Ф. Виппером: "Отсутствие исключений в математике заставляет строго придерживаться правила, однажды принятого, и сообщает твердость и определенность поступкам. Видя, как от малейшего значка, от одной черты зависит неверность результата, учащийся привыкает к аккуратности, к порядку, и приучается делать все с наибольшей добросовестностью и с напряжением наибольшей силы. (...) Справедливо называют математику трудной наукой, но в этой-то трудности и заключается залог успеха, ибо только то усваивается надолго и надежно, что далось с некоторым усилием. Жизнь есть труд. В серьезности труда учащийся предчувствует серьезность жизни, в борьбе с трудностями крепнет дух его. Но зато с чем может сравниться удовольствие ученика, когда после усиленных трудов и напряжения всех умственных сил ему наконец удалось понять то, что казалось ему прежде темным и непонятным. (...) Кто не увидит в этом школу нравственной энергии и образования характера?" [Воспитательные начала физико-математических наук. Речь Ю. Виппера. (Издано отдельной брошюрой; выходные данные в экземпляре РГБ отсутствуют.)]

Итак: лишь того можно назвать культурным человеком, кто ориентируется не только в гуманитарной области, но и в математике и естественных науках. (При этом важна не эрудиция, не объем знаний; важно, чтобы они не лежали мертвым грузом, а составляли часть духовного мира.) И есть профессии, для которых такая всесторонняя культура необходима, как воздух. В первую очередь к ним относится профессия школьного учителя. Низкий уровень общей культуры учителей – главная причина того, что школьная премудрость предстает перед детьми и подростками в виде склада, где хранятся разрозненные и неизвестно для чего нужные факты и правила, и не только математика и грамматика лежат на разных полочках, но и грамматика русская и грамматика английская, сложение векторов в математике и сложение сил в физике. И вот нам предлагают не бороться больше с этим злом, а приветствовать и узаконить его; это называется "дифференциацией", "гуманитаризацией" и как-то там еще.

Стремление к снижению уровня математической подготовки школьников, какими бы красивыми словами оно ни сопровождалось, есть не что иное, как воинствующий обскурантизм. Дяди и тети, защищающие детей от математики, защищают в действительности собственное невежество: они хотят сделать его предметом гордости и увековечить в потомстве.

И снова мы возвращаемся к тому, с чего начали: к пресловутым трем часам в неделю на математику в гуманитарной школе. В нашей школе издавна принято измерять важность учебного предмета числом отводимых на него уроков, так что сокращение времени на тот или иной предмет приобретает символическое значение: это признак второстепенности, признак того, что на этот предмет не нужно обращать внимания и заниматься им следует только для вида. Результат нетрудно себе представить. Вот что пишет педагог-математик, работающий в экзаменационной комиссии, созданной для проверки знаний выпускников петербургских школ: "Ощущение бессмыслицы происходящего, увы, почти всегда преследует проверяющего работы учеников таких (гуманитарных – А.Г.) школ. Есть основания опасаться, что подобные чувства возникают в большинстве случаев и у гуманитариев при столкновении с этими школами. Противопоставление предметов здесь явно неуместно – возникает новый тип школы – школа, в которой совсем не важно учение." [А.П. Карп. О работе санкт-петербургской экзаменационной комиссии по математике в 1993 г. – Математика в школе, 1994, №1] Школа без математики, как бы она ни называлась и как бы ни украшала свой учебный план экзотическими предметами, всегда будет выпускать круглых невежд. Никакое серьезное образование без математики невозможно.

Но остается вопрос: каким должен быть школьный курс математики, что должно в него входить? Об этом – в следующей статье.

Страница 1 из 2 Все страницы