Путь в математике

Во время московской аспирантуры большую часть времени я проводил в библиотеке. Библиотека была на Моховой, в самом корпусе университета. Там был математический кабинет. Это был мой родной дом. Там были опытные и доброжелательные библиотекарши, которые знают, где что достать, и там были книги и журналы. А библиотека, благодаря заботам Московского математического общества, получала по обмену иностранную литературу. Там я сидел целый день и работал. Когда мне становилось невмоготу, я выходил, бродил по пустым коридорам и поворачивал в голове топологические понятия. Ох, как это было трудно! Я же никого не спрашивал! За всё время я ни к кому не обращался. Я участвовал в семинарах, но там были люди не начинающие, как я, спрашивать их мне было неловко. Стало быть я там был наедине с ``Топологией’’ Александрова и Хопфа, на немецком языке, 1935 года издания, предоставленный собственным силам.

Не язык представлял трудности, а алгебра, странным образом применявшаяся к геометрии. Я не привык к этому. Это не была элементарная алгебра, с помощью которой решаются геометрические задачи – это была теория групп. Это не был учебник для начинающих – это была серьёзная монография.

Месяцев шесть я бился об эту книгу, как рыба об лёд. А потом всё это стало  проясняться. Я начал понимать, о чём идёт речь, что рассказывается на этом своеобразном языке. А различие здесь примерно такое, как различие между записью нот и звуками, которые за ними стоят. Так вот музыка, которая стоит за этой алгеброй, долго не звучала, я не мог понять, о чем идёт речь. Более того, поскольку мои первоначальные представления о топологии сложились по элементарным книжечкам, я не мог сопоставить содержание этой книги  с другими разделами математики. Кто-то должен был дать мне ключи – что за этим стоит.

А за математическими построениями стоят наглядные образы. Видеть эти образы – значит понимать математику. Математики, населяющие математические институты, большею частью ничего такого не видят – они доказывают теоремы, vertreiben Wissenschaft (гоняют науку). Но я видел, я знал, что математику надо чувствовать. И, к частью, на факультете были люди, которые её чувствовали.

В этом смысле мне очень помог Наум Яковлевич Виленкин. Он вёл семинар по топологическим группам, который мне не очень был нужен,  поэтому я ходил в него недолго – пару месяцев. Виленкин говорил: ``Представьте себе, что есть группа и подгруппа’’, и на доске рисует большой круг, а внутри  маленький кружок. ``А теперь, – говорит, – факторизуем её’’. Большой круг он делит на ячейки и показывает: ``Вот это элементы фактор-группы. Всё это расслаивается на слои. Представьте себе цилиндр, составленный из кривых’’. Он рисовал всё это и показывал пальцами. Это называется ``объяснять на пальцах’’.

Когда я студентом пытался делать такие вещи в Томске, я не получил одобрения. Дело в том, что в Томске абстрактной математики было мало – там не занимались этим. Функциональный анализ читал Захарий Иванович Клементьев. Когда он нам объяснял гильбертово пространство, я, пытаясь понять, что это такое, рисовал на бумаге векторы. Элементы гильбертова пространства – это же векторы, а сложение их по правилам параллелограмма. Если представить себе, то всё становится ясным. Я ему сказал, как я себе это представляю. Он очень удивился и сказал: ``Разве можно так? Ведь это же абстрактное понятие, разве можно его так представлять?’’

А Виленкин делал в точности это – он моделировал абстрактные понятия на наглядных предметах. Я имел уже к этому склонность, я и так уже представлял себе функцию в виде точки в функциональном пространстве. То есть я был уже подготовлен к этому, поэтому его намёка было достаточно. Когда всё стало проясняться,  я начал видеть картины, как всё это выглядит – когда написано одно, а за написанным видишь нечто другое. Точно так же, когда ты видишь ноты, они должны звучать у тебя в голове. Но в музыке это всем понятно, а вот в математике, оказывается, можно воспринимать всё это формально. Тогда появляется огромное количество псевдоматематиков.

А потом, когда я научился видеть топологию, я оказался в Томске. В то время я себя чувствовал на вершине волны: я сделал, на мой взгляд,  прекрасную кандидатскую диссертацию; я сделал великолепное открытие в вариационном исчислении – замкнутые геодезические, связанные с топологией.

И вот – это было в 1951 году – захожу я в библиотеку Томского университета, куда всё ещё приходили иностранные журналы, беру номер ``Annals of Mathematics’’, и вижу очень большую по объёму статью Серра. Я не знал, что это была его диссертация, которая называлась, кажется, ``Сингулярные гомологии пространства кривых’’, точно не помню, но помню, что это имело прямое отношение к тому, чем я занимался. Начинаю читать эту статью, и ничего не понимаю. Ничего! Потому что это была даже не монография, это была журнальная статья, написанная густо, очень плотно, которая начиналась с объяснения алгебраического аппарата – алгебраический аппарат без всяких объяснений, для чего это нужно. Читаю одно построение за другим, одну формулу за другой – ничего не понимаю. И всё моё представление о себе, вся моя самоуверенность как тополога рухнула. Только потом я узнал, что вся московская топологическая школа оказалась в таком же положении. Никто не понимал Серра.

Что делать? В 52 году я приехал в Москву и обратился к Мише Постникову, который был опытней меня в топологии. Он был ученик Понтрягина. Я ему рассказал, что у меня трудности с работой Серра. Ох, как осклабился Миша Постников: ``Ах, так Вы на работу Серра наткнулись!’’ И далее он употребил неприличное выражение, означающее, что Серр оскорбил, или обошёл, или обгадил всю Московскую математическую школу (игра слов, которую я не могу употребить). ``Мы, – говорит, – долго разбирали её’’. Я сказал: ``Мне бы только эту алгебру понять, с которой она начинается’’. Он ответил: ``Мы сделали с этой алгеброй расшифровку’’ – подробно изложили алгебраическую часть статьи. А они с алгеброй имели, конечно, гораздо лучшее знакомство. Я попросил, нельзя ли дать мне. Мне дали её, кажется, на один день или на одну ночь – ненадолго. А средств копирования не было, или они были, но я не имел к ним доступа. Я переписал её от руки за одну ночь. Это было 50 страниц формул.

И с этим, без малейшего применения к топологии, только с расшифровкой алгебры, которую они сделали, я уехал в Томск и начал думать. Ну, алгебру я более или менее мог понять, чтó она значит, в терминах чистой алгебры. Но как применить всё это к дальнейшему? Что всё это значит? Опять возник этот раскол между формальным пониманием и пониманием по существу.

Но я проходил книгу Морса, в которой тоже применялась топология – правда, старая топология, а не новая, которая была у Серра. Я знал эту старую топологию в применении к вариационному исчислению. То есть я знал теорию критических точек. И я начал моделировать построения Серра на морсовских циклах, на его геометрических образах. Потом я узнал, что таким образом я открыл так называемые спектральные последовательности Морса. Я начал всё это рисовать себе, располагая мои картинки выше и ниже на графлёной бумаге. Не нужно было столько граф, сколько в нотах, но нужно было выше и ниже несколько горизонтальных линий, и на них располагать эти картинки. И алгебра Серра заговорила для меня, я понял, что она означает.

Когда я приехал на следующую топологическую конференцию – это было, кажется, в 54 году, – я уже понимал, о чем идёт речь. Оказалось, хотя я тогда не знал этого, что я понимал это лучше, чем Постников и Болтянский – а это звезды молодого поколения в тогдашней топологии, – потому что они не имели морсовских картинок, а я имел. Они оперировали алгеброй Серра с помощью диаграмм, а я с помощью картинок.

Очень жаль, что я не пошёл в этом дальше. Дальше произошёл мой конфликт с Томским университетом, который надолго выключил меня из этой работы, затем увлечение Римановой геометрией в целом, породившее диссертацию Топоногова, а не работы под моим именем, и переезд в Новосибирск.

Потом я сделал работу, которая стала моей докторской диссертацией – на старую тематику, замкнутые геодезические. Работа, которой можно было не стыдиться. Я её докладывал на Международном Математическом конгрессе в 1966 году. Там я встретился с Клингенбергом. Когда я спросил его, по каким источникам он учился вариационному исчислению в целом, он мне ответил: ``По Вашей статье в Математическом сборнике’’. Эту статью Американское Математическое Общество поместило в свой сборник переводов. Тогда ещё не переводили журналы целиком, только избранное. Они опубликовали её в следующем же году. Но значение моей теоремы о замкнутой геодезической я хорошо понимал ещё раньше, потому что математика – это такая наука, где если задача решена, то человек это знает.  Я снова чувствовал себя на волне. К тому времени я уже освоил технику Серра, понимал, что я могу разобрать современную топологию и даже больше – я мог разобрать то, что снобы в Москве называли ``современной математикой’’.

Современной математикой они называли ту, что началась около 1950 года во Франции, одним из представителей которой был Серр. А героями ее были Анри Картан (сын Эли Картана), Жан Лере, этот же Серр, Жан Дьедоне, которые составляли вместе группу под названием ``Бурбаки’’. Человек по имени Бурбаки существовал. Он вовсе не был математик. Он был французский генерал греческого происхождения, который не без славы участвовал во франко-прусской войне, вначале даже немного побил пруссаков, потом пруссаки вдребезги разбили всю французскую армию. Память о нём осталась, и в городе Нанси, в Лотарингии, был поставлен памятник генералу Бурбаки.

И вот оказалось, что несколько молодых французских математиков, не нашедших себе места в Париже, собрались в этом Нанси и стали работать в ничем не примечательном университете. Каждый из них, конечно, публиковал свои работы под собственным именем. Но наряду с работами, содержащими новые результаты, они стали публиковать обобщающие работы, приводящие в порядок всю математику и излагающие её на новых началах. Это было коллективное творчество, которое нельзя было назвать никаким отдельным именем. И вместо того, чтобы подписывать эти сочинения вереницей имён, они придумали лжематематика по именем ``Николя Бурбаки’’. Фамилия его звучала иностранно, и он был объявлен академиком Поллардской академии наук – Польши и Молдавии. Они наняли актёра, который под именем Бурбаки прочёл математически построенную белиберду студентам. Те, естественно, ничего не могли понять, и недоумевали, что это за наука такая, в которой ничего невозможно понять.

Перед самой войной они начали печатать первые выпуски многотомного трактата под названием ``Eléments de matématique’’, где самые основные разделы математики – только те, которые они считали основными – были расположены в логическом порядке и изложены на основе того, что теперь называется математическими структурами. Они начали печататься, и я видел первое издание первого выпуска алгебры Бурбаки, вышедшее уже после оккупации. На нём было написано ``Разрешается немецкой военной цензурой’’.

Конечно, во время войны не очень-то можно было печататься, и к тому же некоторые из этой группы были евреи (Вейль был еврей, я забыл его упомянуть, Лоран Шварц был еврей), и им пришлось либо покинуть Францию, либо скрываться. Но после войны они все вернулись во Францию, и тогда началась славная эпоха Бурбаки. Один за другим выходили выпуски трактатов Бурбаки, очень трудные для понимания обыкновенных математиков. Не то чтобы они были написаны на другом языке, язык был французский, но математический язык, на котором они были написаны, очень резко отличался от того, к которому все привыкли. Это был тот язык, на котором была написана диссертация Серра. Надо было переучиваться. Они ввели новые понятия, объединяющие всю математику – понятия категории и функтора и по этому поводу написали трактат – ``Гомологическую алгебру’’, которая тоже поставила в тупик математический мир.

Всё это началось около 1950 года. На самом деле раньше, но генезис этой школы прошёл незамеченным из-за войны. Поэтому оказалось возможным такое удивительное явление – когда я спросил Лазаря Ароновича, кто такой Бурбаки, он засмеялся и сказал мне: ``Такого человека нет. Это группа молодых французских математиков, которые – сказал он мне буквально, – свои собственные работы печатают под своими именами, а обобщения, не содержащие новых результатов (именно так!), под псевдонимом “Бурбаки”. Им стыдно печатать их под своими именами, и они печатают их под псевдонимом’’. Так относилась славная Московская математическая школа к новоявленной французской школе.

Почему новоявленной? Да потому что французская классическая школа XIX века давно зашла в тупик. Потому что после работ Пуанкаре и Картана она отстала. И на передний план вышла вначале немецкая школа Гильберта, а потом американская школа, возникшая там после эмиграции туда европейских математиков. Так и говорили: ``Немецкую школу уничтожил Гитлер. Теперь есть американская и наша, Московская школа’’. К новой французской школе, возникшей под именем ``Бурбаки’’, относились несерьёзно.

Работы Лере и Серра заставили к ней отнестись серьёзно,  когда они начали получать результаты. Одно дело – излагать новые понятия и писать трактаты, объясняющие основы математики, а другое дело – доказывать новые теоремы, преодолевая трудности, которые не поддавались прежним средствам. Особенно поразил, конечно, Андре Вейль, который топологическими методами получил в теории чисел результаты, недоступные прежним методам – совершенно недоступные результаты. Неслыханно! Топология и теория чисел считались в противоположных концах математики! И вот тогда все поняли: ``Да, это работает’’. Так и слышу это в изложении Бориса Николаевича Делоне, старого уже в это время. Он говорил, что вот во Франции они научились делать эти вещи, которые не может дать теория групп, а гомологическая алгебра даёт. Сам он не мог разобрать этого, а его ученик, молодой алгебраист Шафаревич, разобрался в этой гомологической алгебре.

И после 1950 года появилось представление, что возникла современная математика – не больше и не меньше. А те, кто не понимают этой современной математики, так и остались в старой математике.

Я её освоил, да ещё в новосибирской изоляции, потому что в Новосибирске настоящих топологов не было. Конечно, я мог встречаться с ними в Москве, но мне это уже не очень было нужно. Я мог бы пойти дальше в топологии, в её применении к вариационному исчислению, что было бы даже естественно. Меня сгубило любопытство. Я хотел понять, что делается в физике.

А в физике произошёл переворот – введение многомерных групп симметрии. Я это понял из лекций, которые прочёл Юрий Борисович Румер в коридоре Новосибирского Института Математики. Я понял, что физика меняется на глазах, возникает новая физика – физика симметрии. Большинство физиков до сих пор этого не понимает. Во мне разгорелась любознательность. Я захотел в этом разобраться. Вот до сих пор разбираюсь.

А старые интересы у меня никогда не умирают. В последнее время, уже будучи больным, я заглядывал в книжечку Артина ``Теория Галуа’’, которую я так и не разобрал до конца в своё время. Оказывается, голова моя прекрасно работает в области алгебры, а значит и в любой области математики. Я вижу лучше, чем раньше видел. Странно, что алгебраисты не видят, как Артин геометризировал теорию Галуа.

Такова в общих чертах моя математическая биография. Мне везло в том смысле, что я видел живых людей, у которых можно было учиться. Я видел молодого Понтрягина, видел совершенно незабываемого Петра Сергеевича Новикова, видел Колмогорова, полного сил, а также бесконечно ленивого Лазаря Ароновича, который не сделал и десятой доли того, что он мог. Таким образом я убедился на собственном опыте, что есть, бывают математики. А вот с физиками мне не так повезло. На Румера я наткнулся довольно поздно.

Страница 11 из 12 Все страницы