От математики к физике

Мои работы по математике связаны с небесной механикой. Из механики известно, что для консервативной системы можно ввести интегралы Мюрре – такой геометрический принцип механики, по которому движение происходит по геодезической линии некоторой метрики. Замкнутые геодезические соответствуют замкнутой траектории механической системы. И Пуанкаре, который исходил из небесной механики, интересовался существованием и числом замкнутых траекторий в связи с  движением планет и вообще небесных тел. Планеты совершают циклические движения, возвращаясь в какую-то точку, причём с тем же направлением, так что движение таким образом может повторяться.

Естественно, что в геометрии простейший прототип этого движения – это движение по бесконечно гладкой поверхности без сопротивления, причём на сфере это большие круги, замкнутые геодезические. На эллипсоиде это три главных эллипса и ещё другие кривые, которые менее известны.

Пуанкаре предположил, что три эллипса на эллипсоиде – это типичный случай и что на любой замкнутой поверхности (Пуанкаре имел в виду сначала выпуклую поверхность) имеется по крайней мере три замкнутых геодезических, аналогичных большим эллипсам. Он не доказал этого, но дал набросок доказательства для одной такой замкнутой геодезической. Вообще говоря, даже для одной существование такой замкнутой траектории не очевидно. Тогда Пуанкаре не давал строгие доказательства, давал только идеи.

В 1929 году Люстерник и Шнирельман сделали знаменитую работу, в которой ими было доказано существование трёх различных замкнутых геодезических на любой замкнутой поверхности. От этой работы отправляется моя деятельность.

Естественно, возникает вопрос, а как обстоит дело с более общими многообразиями? Не обязательно двумерными и с римановой метрикой или даже более общей – регулярные вариационные задачи.

Известен был результат знаменитого Джорджа Дэвида Биркгофа, который доказал, что если многообразие гомеоморфно n-мерной сфере, то на нём имеется по крайней мере одна замкнутая геодезическая. Этот результат доказательства Биркгофа был не очень убедительным, не строгим. Но такое доказательство было.

Моя теорема, опубликованная совместно с Люстерником, состояла в том, что на любом замкнутом многообразии существует по крайней мере одна замкнутая геодезическая. Более того, в дальнейшем я доказал, что существует не три различных геодезических, а на любом замкнутом многообразии существуют замкнутые геодезические трёх определённых индексов. То есть в многомерном пространстве их не меньше чем три, но может быть и больше.

К сожалению, в этой работе нет способа доказать, что эти три геодезические не могут быть повторениями друг друга. Это до сих пор не сделано. Ясно, что этот случай особый, но от него избавиться пока не удалось. А что касается различных геодезических, где уже гарантировано различие, то я доказал, что есть по крайней мере две. Можно было и третью найти, но я этого не сделал – я перешёл к другим вещам. С механической точки зрения это означает, что любая консервативная динамическая система, которая движется в ограниченной части пространства, способна совершить хотя бы одно периодическое движение. Конечно, это очень общие результаты, а особый интерес представляют частные случаи, но ими я не занимался. Результаты эти были получены применением методов топологии.

Математики с середины XIX века оторвались от математической физики. До этого не было разницы между математиком и физиком-теоретиком. Вся французская математическая школа была такая: Лаплас, Фурье, Пуассон. Но Лаплас был первым, кто не занимался чистой математикой вообще. Он не доказывал теорем, а применял математические знания и способности к физике.

Когда произошёл раскол на чистую математику и теоретическую физику, математики при выборе задач стали интересоваться не только физическими и естественно-научными задачами, откуда происходят математические задачи, но ещё и традициями своего собственного цеха. То есть эта задача интересна, потому что ей интересовался А и не решил её, потом В сделал то-то и то-то, поэтому стоит её решать. Этот спортивный подход у некоторых очень хороших математиков не так сильно вредил, потому что они интуитивно брали всё-таки те задачи, которые имели смысл. Но подавляющее большинство математиков занималось задачами, имеющими только профессиональный интерес, т. е. интерес потому, что это принято в данной профессии. Таким образом среди математиков развился дурной вкус, а у рядовых обычных математиков интерес к спортивным достижениям принял патологический характер. Должен быть хороший вкус, а вкус умирает первым. Что в нашей культуре математика вырождается, это стало мне ясно при встречах с математиками, при разговорах с ними.

Однажды, будучи в Горьком, я оказался на даче у Александра Григорьевича Сигалова. Мы с ним бродили в лесах вокруг этой дачи, и он мне рассказал нечто, что произвело на меня глубочайшее впечатление.

Он рассказал, что пытался исследовать вариационный принцип, соответствующий уравнению Шредингера. Это основное уравнение квантовой механики. Вариационный принцип был давно известен, но исследование математика состоит в исследовании решений. Он пытался доказать существование единственности решения, подобно тому, как он делал раньше для двумерных задач. Он взял в качестве образца не какую-нибудь придуманную задачу, а задачу Шредингера. ``И вот, – он говорит, – стали получаться какие-то странные вещи’’. Он исследовал многоэлектронный атом (это когда вокруг ядра вертится много электронов), и получалось, что нет единственного решения, а есть какой-то сумбур, какая-то сложность, запутанность, мешающая доказать существование единственного решения.

С физической стороны казалось, что всё должно быть ясно. Что решение есть, доказывается от природы – атомы существуют. А по математике не выходило, чтобы они могли существовать.

Наконец он догадался, что изучал этот многоэлектронный атом так, как если бы электроны его были индивидуальны и имели собственные имена: ``первый’’, ``второй’’, как будто они имели метки, по которым их можно узнавать. Но есть принцип Паули, принцип тождественности частиц, по которому электроны принципиально неотличимы, то есть, нельзя сказать, который из них первый, который второй, потому что они все одинаковы. Они находятся в разных местах, движутся с разными скоростями, но который из них (вот этот) – указать пальцем нельзя. И вот когда он поставил задачу иначе, с самого начала предположив, что электроны неотличимы, – всё получилось. Это означает, что математик пытался обмануть природу, доказать то, чего в природе нет.

Я думал, что математика всего лишь подводит базу под физические вычисления. Но оказалось, что если не учитывать законов природы, то решения в обычном смысле нет. Иначе говоря, математику нельзя искать решений, которых не существует в природе. Можно, конечно, представить себе, что электроны вертятся по сортам – первый сорт, второй сорт, третий сорт и т. д., – но в природе этого не заметно. И даже более того, неприятности с математикой свидетельствуют о том, что такого в природе не может быть. Не может быть атома, вокруг которого вращается электрон и ещё что-нибудь другое!

Получается, что математика и физика неотделимы друг от друга, связаны в тугой узел. Математику, не знающему физики, угрожает опасность впасть в схоластику, то есть заниматься задачами, которые выдуманы и ничему в природе не соответствуют, чем и заполнено большинство математических журналов. Сигалов раньше меня обратился к физике. Он был замечательный математик.

Но мой интерес к физике объяснялся не только разочарованием в работе подавляющего большинства чистых математиков, которые действительно углубляли бесконечное число тонкостей и занимались этим только потому, что этим занимались другие. Был и ещё другой источник интереса – меня всегда влекла к себе физика.

Будучи студентом в Томске, я должен был сдавать экзамены по физике. Преподаватели физики, которых присылают на факультет, не объясняют, откуда происходит их собственная наука. Конечно, объяснение, что человек происходит от обезьяны, не всегда помогает в человеческой деятельности, но знание о происхождении разных учреждений и обычаев очень полезно – надо понимать, откуда что происходит.

И вот, когда пришло время сдавать экзамены, мне захотелось выяснить в самом деле, откуда взялись постановки задач, которые пришли в математику. Любопытство моё не пошло далеко, потому что в те годы и ещё много времени спустя мне надо было доказать себе и другим свою состоятельность в качестве математика. А тогда чистая любознательность увела бы от этого в сторону. Физика на какое-то время отошла в тень. Но ещё в студенческие годы в двух случаях моё любопытство к физике было сильно возбуждено.

Занимаясь чем-то вроде теории электричества по Мандельштаму и Папалекси (а экзамены были элементарные, физику от математиков никто не думал требовать всерьёз, иначе они никогда бы не выполняли никаких требований), я захотел выйти за пределы этого учебника и узнать, что там в действительности делается. Я набрёл на книгу Беккера ``Теория электронов’’. Это очень хорошая книга старого склада. И в этой книге меня поразили некоторые построения теоретической физики, с которыми я впервые встретился. Ясно помню, что когда я сдавал экзамен, я оттуда привёл какое-то рассуждение, какой-то вывод, и профессорша, которая меня экзаменовала, была очень удивлена и спросила, откуда это. Я объяснил. Но и с Беккером я далеко не пошёл, потому что для Беккера надо было понимать уравнения Максвелла. Теория электронов считается у Беккера уже известной.

А второй случай, может быть, более серьёзный, был такой. Я упорно не понимал, что такое энергия. Я читал, что энергия превращается из одной формы в другую, при этом общее количество энергии остаётся неизменным. Я готов был этому поверить и в том случае, когда механическая энергия переходит в тепловую. Но что такое вообще энергия? Для консервативной системы механическая энергия – это сумма кинетической и потенциальной энергии, и она почему-то сохраняется. Это удивительный факт, но на вопрос ``Что такое энергия?’’ в рамках консервативной механики невозможно было ответить. А когда не только механическая энергия, но появляется ещё и электромагнитная энергия!..

Словом вопрос, что такое энергия, мне не давал покоя. Я не находил на него никакого ответа, потому что в учебниках пишут, что энергия всегда сохраняется, но что она такое – не пишется. А для математика, настроенного на строгие доказательства, утверждение, что нечто сохраняется, всё равно что абракадабра сохраняется. Но что сохраняется? Я искал ответа на этот вопрос. А в Томске была большая библиотека, и я нашёл в ней книжку, изданную в Москве в 1936 году – перевод книги Планка ``Принцип сохранения энергии’’. Она была написана им ещё в восьмидесятых годах XIX века, задолго до его открытия. Но Планк и открытие-то своё сделал, потому что был великим знатоком энергетики. Я прочёл книгу Планка, содержавшую только объяснение понятий и вовсе никаких специальных вопросов. И он отвечал на вопрос, который поставил в заголовке ``Что такое энергия?’’

Планк был глубокий физик, но до своего великого открытия он не пользовался особой популярностью, его даже неохотно печатали. Он занимался основами физики. В то время это не имело популярности в Германии, потому что Германия уже вышла из фазы философствования и перешла в фазу технологий. И я понял из книги Планка, что такое энергия. Я понял это с помощью математических терминов, которые сам Планк не использовал, а я применил к этому случаю.

Для физических систем существует некий функционал, сопоставляющий физической системе число. Этот функционал составляется из нескольких слагаемых, число которых неопределённо, неизвестно, может быть бесконечно. Но в каждом случае надо учитывать несколько слагаемых. И если их учесть правильно, то сумма их сохраняется со временем для замкнутой системы. Вопрос, почему она сохраняется, выходит за пределы физики. Физика не отвечает на вопрос ``Почему?’’, она отвечает только на вопрос ``Как?’’ Этот функционал имеет слагаемые, на вид совершенно разные. Если вы сравните механическую энергию с электромагнитной (интеграл от t² + h²),  то вы не узнаете, что это одно и то же. Но если вы их суммируете и обнаружите, что сумма сохраняется, то это – энергия. И знание того, что такой функционал существует, очень помогает. Во-первых, помогает при оценке всяких явлений, где нельзя подробно интегрировать, а во-вторых, помогает в поисках новых видов энергии, следовательно – новых физических явлений. Если обнаруживается, что не сходится этот баланс, значит, какой-то вид энергии пропущен, может быть, до сих пор неизвестный.

Так вот, на вопрос ``Что такое энергия?’’ ответ должен быть таким: ``Энергия – это то, что сохраняется’’. Это очень абстрактная постановка вопроса, и Планк в своей книге, опубликованной страшно давно (русский перевод ведь вышел только через полвека), это объясняет. Она очень хорошо написана (Планк вообще очень убедительно писал), но старомодным языком, выражения функционала у него не было. Из этой книги я понял, чтó физики понимают под энергией. Этим мой интерес к физике в университетские годы ограничился, потому что у меня тогда были чисто математические интересы, которые развивались дальше.

К стыду своему должен сознаться, что я воображал тогда, будто единственная настоящая наука – это математика, а способ мышления других учёных примитивен, и другого мышления, кроме математического, просто не существует. Томские профессора-физики меня из этого убеждения не вывели. Они читали лекции, которые меня не убедили, что они являются носителями другой науки.

Помню, как я забрёл в аудиторию, где студенты старшего курса слушали лекцию по общей теории относительности. Читал доцент по фамилии Жданов, который писал формулы с большим числом индексов. Я же, пытаясь разобраться в теории относительности, даже специальной теории относительности понять тогда не мог. Моё обучение начиналось, конечно, с классической механики, а перейти от классической механики к специальной теории относительности – значило расстаться с одновременностью. И вот я вижу, что сидят эти студенты и аккуратно записывают то, чего я совершенно не понимаю. Это на меня произвело сильное впечатление. Я задал им вопрос, чтó они с этим будут делать, и они с уверенностью ответили, что будут это сдавать. Слово ``сдавать’’ имеет двусмысленный характер.

Я не знаю, понимал ли сам Жданов, чтó такое общая теория относительности. Это было ещё до того, когда начались атаки на эту теорию. Я ясно помню, что не понимал её. Потом большими самостоятельными усилиями я разобрался в специальной теории относительности, никого не спрашивая. Но дальше этого я тогда не пошёл. Физика казалась мне трудной и недоступной.

Следующий шаг в направлении физики был сделан, когда я встретился с Юрием Борисовичем Румером. Это было примерно в 1955 году, лет десять спустя, когда я уже был известным математиком. Он появился в Томске на физическом семинаре. Я его запомнил. Он был в новеньком, с иголочки ярко-синем костюме, недавно выпущенный из лагеря. Румер был первым примером учёного, которого я считал настоящим учёным, хотя он не был математиком. Слушая его рассуждения, я понял, что есть какая-то другая наука, другой способ мышления. Прошло ещё много лет, прежде чем я понял, что у биологов тоже есть особое мышление. Это объяснил мне Конрад Лоренц. А тогда я думал, что биологи – это те люди, что ловят бабочек и травки собирают. Словом, у меня было математическое высокомерие. Слушая Румера я понял, что он носитель какого-то другого мышления, в котором не самое главное доказать теорему, а важно уяснить, чтó на самом деле есть в природе. Тогда я с ним не стал знакомиться, мне было стыдно, т. к. я совсем не знал физики.

А потом я с ним вторично встретился и познакомился. Это было уже в Новосибирске, когда я стал работать в Институте Связи. Там же по совместительству читал какие-то лекции Румер и его ученики. Главная его работа тогда была в Сибирском филиале Академии Наук, в небольшом помещении на ул. Мичурина. Он был ещё сравнительно молод, тренировался для здоровья, нося на себе рюкзак, набитый камнями, был полон энтузиазма. И он сказал, что сейчас объяснит мне, что такое физика. Начал он с объяснения теории поля, с общего понятия поля, затем с принципов Гамильтона, с уравнений поля в самом общем виде. Он был очень образованный физик, ведь он учился у Борна в Гёттингене и был одним из его ассистентов. Другой ассистент был Гейзенберг.

Он объяснял мне всё это, а я мало что понимал. Тогда он дал мне только что вышедшие ``Успехи физических наук’’ с работами Боголюбова и Шеркова, которые объясняли квантовую теорию поля. Представьте себе человека, который не мог одолеть ``Квантовой механики’’ Ландау, потому что она казалась ему лишённой логики, а ему дают квантовую теорию поля, которая очень трудна. Хотя в этих статьях она излагается на бóльшем уровне строгости, чем обычно, я не понимал этих рассуждений, и наша с ним встреча снова не привела меня в физику. Интерес этот остался загнанным в уголок, тем более, что в то время меня волновали чисто математические задачи, которые легли в основу моей докторской. Физикой я в то время не занимался, но знакомство наше продолжалось.

В 1957 году Румер был назначен директором Института радиофизики и электроники, который стал первым физическим институтом в Новосибирске. По моей просьбе он взял к себе на работу Топоногова, моего аспиранта из Томска. А потом, когда я уже работал в Институте Математики, ситуация в физике начала резко меняться в связи с высшими группами симметрии. Долгое время кроме группы Лоренца ничего не было в ходу. Работа Фока 35-го года, где группа SO₄, не произвела впечатления, как и работа Дирака 38-го или 39-го года, в которой появилась конформная группа. А потом появились новые группы, и стало ясно, что группы симметрии играют решающую роль в физике. По просьбе математиков Румер читал об этом лекцию в Институте Математики. Почему-то ему не дали аудитории, он читал её в холле, почти что в коридоре.

На меня эта тематика произвела сильное впечатление. Я решил разобраться во всём этом. Разбираюсь до сих пор. Тут уж я стал с ним взаимодействовать вплотную. И я был поражён тем, как физик подходит к представлениям групп. Юрий Борисович мало знал теорию групп, но с представлениями работал смело, потому что он твёрдо знал, что представления групп даются тензорами той или иной симметрии, и что надо искать их через тензоры. Это считалось чем-то вроде аксиомы у физиков. Я же не понимал, почему. Для меня тензоры были с одной стороны, а группы – с другой. Я тогда не понимал, что тензоры есть не что иное, как аппарат для представления групп. Потом понял. Я стал думать об этом и беседовать с ним на эти темы. И на этот раз уже глубоко втянулся.

С Юрием Борисовичем Румером. Новосибирск, середина 60-х

Как раз тогда, когда я в это глубоко втянулся и начал печататься на физические темы, меня выгнали из Института Математики в связи с тем, что я подписал письмо в защиту незаконно осуждённых. Четыре года я был безработным, на положении ``врага народа’’, которого могли в любой момент арестовать. Румер в это время не только не порвал со мной отношений, но обеспечивал печатанье работ. Тогда это были совместные работы. Он даже добился издания нашей книги по унитарной симметрии * Ю.Б.Румер, А.И.Фет ``Теория унитарной симметрии’’, М, Наука , 1970, потом была издана другая книга * Ю.Б.Румер, А.И.Фет ``Теория групп и квантованные поля’’, М., Наука, 1976. . И те работы, что я писал один, он тоже проталкивал в печать. Он старался мне всячески помочь. В то время мы работали вместе. В работе о химических элементах * Группа SPIN (4) и таблица Менделеева, в журнале ``Теоретическая и математическая физика’’, том 9, № 2, ноябрь 1971.. исходная идея была его, но он не мог её довести до конца, потому что нужна была разная математика. Как только появилась такая возможность, он помог мне устроиться на работу в Институт неорганической химии. Он нарочно читал там доклад на эту тему и рекомендовал им меня. То есть ради меня он и ещё раньше Сергей Львович Соболев проявили несвойственную им храбрость. Румер был моим учителем в физике. Я очень уважал его как учёного, не разделяя некоторых его мнений.

С этого времени я много занимался физикой или тем, что я называл физикой. Можно сослаться на эпиграф в одной математической книге, который был заимствован из английского поэта Киплинга ``И вот к тебе приходит дьявол и говорит твоему умирающему сердцу: «Ты всё это делал, но было ли это искусством?» (You did it, But was it art?) Рифма была: of his dying heart. Так и я могу сказать, что занимался тем, что называлось физикой, печаталось в физических журналах, но было ли это физикой – это другой вопрос.

Идея химической симметрии атомов принадлежит Румеру. Ему не удалось дойти до точного описания этой системы, это уже сделал я один, но его была первая идея. Конечно, исходная мысль была из физики адронов, где высшие группы симметрии уже себя проявили.

Когда Румер из-за болезни перестал работать, я продолжал заниматься симметрией в Институте неорганической химии. Опубликовал на эту тему несколько работ, написал книгу * А.И.Фет ``Группа симметрии химических элементов’’. В сокращенном виде опубликована в сб. «Математическое моделирование в биологии и химии», 1992. Целиком издана посмертно, Новосибирск, Наука, 2010.. А после этого центр тяжести моих интересов как-то незаметно перешёл в этологию. Я стал думать об этом и даже написал на эту тему книгу * А.И.Фет ``Инстинкт и социальное поведение’’, Новосибирск, ИД ``Сова’’, 2006. .

Что касается физики, то в физике я продолжал заниматься интересующими меня вещами. Больше всего меня интересовали основания квантовой механики. Я занимался физикой довольно много, но только в смысле размышления над вечными проблемами. В последние годы, например, я много увлекался работами Людвига, в которых многое сделано. Но к моему глубокому сожалению обнаружилось, что всё-таки он не может изложить нерелятивистскую квантовую механику как отдельную науку. Она не получается.

Не получается по странным причинам. Дело в том, что там группой симметрии является группа Галилея. Группа Галилея – это обычные геометрические движения плюс бурсты, то есть Лоренцевы движения (xt, когда y и z не меняются) – преобразования Лоренца. Но в классической механике нет Лоренцевых, а там есть просто движение одной системы отсчёта относительно другой равномерное и прямолинейное. Они вместе с вращениями и параллельными трансляциями образуют группу Галилея. Так её назвали, хотя сам Галилей никаких групп не знал. Из группы Галилея он пытается извлечь динамические переменные нерелятивистской квантовой механики. Но группа Галилея – очень плохая группа, у нее патологические свойства, связанные с тем, что она является пределом хороших групп, она получается как предельный случай из группы Лоренца. А сама она с алгебраической стороны нехорошая группа, представления устроены плохо, и чтобы извлечь наблюдаемые в квантовой механике динамические переменные, ему приходится идти на ухищрения. И сразу видно невооружённым глазом, что они неестественны. И хотя он назвал свою книгу ``Основания квантовой механики’’, начиная с какого-то места мой энтузиазм к ней ослабел, потому что я увидел, что дальше он идти не может, в особенности когда я увидел, что он тайком протаскивает туда идеи вторичного фрахтования, которые логически там нельзя использовать. Поэтому я отставил временно Людвига.

А в самое последнее время, под действием любознательности моего сына, я решил разобраться в том, что такое общая теория относительности. Это было трудно, но я понял основные идеи и добрался до космологии. Я разобрал решение Фридмана, знаю, откуда всё это идёт и что всё это значит. Теперь я изучаю книгу Эддингтона об общей теории относительности – лучше всех других. Когда-то она была мне недоступна, я её не понимал. Риманова геометрия и тензорный анализ – это главные средства общей теории относительности, математический аппарат. Но я не собираюсь втягиваться глубоко в это, а намерен вернуться к квантовой механике. Эти занятия являются чистой любознательностью, потому что я ничего не печатаю по этой части.

Следующая часть:

К 100-летию А. И. Фета. Часть 2

Страница 12 из 12 Все страницы