5. Упадок математики

Может показаться, что мы живем в эпоху небывалого процветания науки. Научные учреждения, некогда редкие и малочисленные, превратились в огромные предприятия, где часто работают многотысячные толпы людей, Достижения науки с гордостью демонстрируются в газетах и популярных журналах. Необычайно выросло влияние ученых: они консультируют правительства, высказываются по всем вопросам, в том числе очень далеким от их специальности, и публика почтительно прислушивается к их мнению. И все же, наука приходит в упадок. Причины этого упадка мало связаны с границами познания, к которым мы, по-видимому, приблизились в некоторых направлениях – но скорее всего лишь в тех случаях, когда мы пытаемся задавать природе неправильные вопросы. Наше познание подчиняется принципу дополнительности Бора, представляющему, несомненно, величайшее философское открытие двадцатого века. Сущность принципа дополнительности можно высказать в общих чертах следующим образом. В каждом изучаемом явлении нас интересуют некоторые свойства объекта, которые мы желаем выяснить как можно точнее. Можно выделить некоторый ряд основных свойств А, В. . . , через которые выражаются все другие свойства объекта. Каждое из этих основных свойств может быть описано в отдельности с любой точностью. Но для каждого из них, например, А, найдется другое, дополнительное к нему свойство того же рода (обозначим его А'), такое, что пару свойств А, А' нельзя описать одновременно с любой точностью. Например, если А – положение частицы, а А' – ее импульс (или, что равносильно для наших целей, скорость), то можно измерить с любой точностью А или А' в данный момент времени, но одновременно измерить А и А' можно лишь с ограниченной точностью. Ограничение задается следующим из квантовой механики соотношением неопределенностей Гейзенберга (формулированным после дискуссии с Бором). Бор осознал, что в соотношении неопределенностей проявляется общая закономерность, далеко выходящая за пределы физики.

Можно думать, что трудности в некоторых областях науки, например, в физике элементарных частиц, связаны именно с тем, что ученые задают природе "смешанные" вопросы, содержащие дополнительные пары А, А', и требуют от нее слишком детальных ответов. Инерция исследования приводит к тому, что постановки вопросов и способы описания, оправдавшие себя на предыдущем этапе, переносятся на следующий, более углубленный уровень изучения природы, где и обнаруживаются дополнительности, скрытые при более грубом описании. Если это верно, то в будущем придется уделять больше внимания гносеологическим предпосылкам исследования, прежде чем предпринимать сложные и дорогостоящие эксперименты. Возможно даже, что дополнительность проявляется и в таком сугубо теоретическом виде познания, как чистая математика. Набор аксиом достаточно содержательной математической теории, например, теории множеств, содержит, по-видимому, дополнительные свойства в смысле Бора (так что "содержательность" неизбежно связана с наличием дополнительных способов описания). В "обычных" математических вопросах эти дополнительности не проявляются; но если мы хотим узнать очень тонкие свойства числового континуума, то не можем получить ответа на наши вопросы. Как уже было сказано, основоположник теории множеств Георг Кантор этого не подозревал.

Но, повторяю, все эти гносеологические трудности не определяют положение современной науки. Каждый раз, когда такие трудности возникают, остается необозримое поле деятельности, совместимой с дополнительностями. Более того, сами законы дополнительности представляют собой в высшей степени важный предмет научного интереса. Они могут привести к дискредитации некоторых способов теоретического описания, но не к упадку науки.

Но прежде чем искать причины упадка науки, надо увидеть явления, свидетельствующие о нем. Мы начнем с математики.

Первое, что бросается в глаза при просмотре математических журналов – это чрезвычайная специализация публикуемых работ. Конечно, и в наши дни выходят работы, устанавливающие глубокие связи между разными, нередко отдаленными областями математики, но такие работы (и авторы их) скорее составляют исключение. Подавляющая масса работ посвящена специальным вопросам, возникшим внутри некоторой математической теории и представляющим интерес лишь для небольшого числа людей, занимающихся этой теорией, или даже ее отдельным аспектом. Может показаться, что мы встречаемся здесь с разделением труда, увеличивающим производительность научной работы. В промышленности такому разделению труда соответствует работа на конвейере. Но в этом случае известен конечный продукт, выпускаемый предприятием, и все операции на конвейере спланированы таким образом, чтобы увеличить выработку этого продукта, то есть произвести большее число однородных предметов

Ничего подобного нет в науке. В науке нет производства однородных "изделий", а производительность означает не количество, а качество получаемых результатов. Эти результаты, во всяком случае значительные результаты, не могут быть предсказаны заранее, их нельзя "планировать", и неизвестно, какие "детали" или элементарные операции могут понадобиться для их выработки. Поэтому научную деятельность нельзя поставить на конвейер. Специальные работы, посвященные деталям разрабатываемого предмета, очень редко выполняются с отчетливым пониманием перспективы развития предмета. В подавляющем большинстве случаев их авторы руководствуются совсем другими мотивами, связанными не столько с самой наукой, сколько с социологией научной деятельности.

Ограничимся пока математикой, хотя наблюдаемые явления носят весьма общий характер. В математике специализация приняла за последние десятилетия небывалые в прошлом формы. В журналах тридцатых и сороковых годов б?льшая часть статей может быть понята любым квалифицированным математиком; во всяком случае, ему нетрудно представить себе, к каким вопросам относится работа и в чем состоят результаты. В наше время квалифицированный математик понимает в журнале лишь работы, относящиеся к его собственной области деятельности, и очень редко другие. Конечно, за полвека математика обогатилась огромным новым материалом, возникли новые предметы; но ведь так было и раньше, а между тем раньше один человек все еще мог следить за всей своей наукой и, хотя бы в общих чертах, понимать происходящее в ней. Следовательно изменилось самое понятие "квалифицированный математик". Математика стала "коллективной деятельностью", смысл которой уже не постигается никаким отдельным человеком. Можно возразить, что это неизбежный процесс; в еще более отдаленные времена отдельный человек – Аристотель или Ньютон – мог охватить взглядом едва ли не всю бывшую тогда науку. Это верно, и уже в девятнадцатом веке наука стала превращаться в вавилонское столпотворение. Но все же можно было выделить определенные отрасли знания, отдельные "науки", все еще доступные одному человеку. Теперь этот "человеческий" контроль над научным процессом в гораздо большей мере утрачен. Невольно возникает аналогия с описанным выше "доказательством" теоремы о четырех красках, которое вовсе не похоже на доказательства в прежнем смысле этого слова. Если наука превращается в процесс, смысл и назначение которого никому не понятны, то не следует ли назвать такое явление новым словом, или, по крайней мере, поставить старое в кавычки?

Пророки утопического "муравейника" могут найти здесь подтверждение своих опасений. Не приведет ли специализация к вырождению человечества в некий коллективный организм, где индивид утратит свою самостоятельность, а самое понятие организма можно будет применить лишь к большим сообществам, вроде муравейников, термитников или пчелиных ульев? При всем моем отвращении к Достоевскому и его западным вдохновителям, я не могу равнодушно отнестись к такой перспективе.[Кстати, эта концепция (и само слово "муравейник") вовсе не возникли в пророческом во-ображении Достоевского, а заимствованы им из французской публицистики, направленной про-тив социалистов.] Впрочем, сейчас мы занимаемся менее общим вопросом.

Число ученых, число научных публикаций и журналов растет в последнее время по экспоненциальному закону. Это обстоятельство уже вызвало глубокомысленные комментарии так называемых "науковедов". Добро бы еще число ученых росло в той же мере, что и население земного шара, – говорят они, – но оказывается, что и доля ученых по отношению к населению тоже экспоненциально возрастает; я сам слышал такое пророчество одного английского науковеда, но не решился спросить его, каким образом экспоненциальная функция остается меньше единицы.

Если оставить в стороне эти опасения, то мы все же видим, что число научных и технических журналов приближается к сотне тысяч. Разумеется, большинство из них не печатает ничего стоящего и существует лишь ради престижных и ведомственных целей. Но все же теперь выходит, например, около двухсот журналов, специально посвященных математике и печатающих новые результаты. Если принять, что журнал выходит шестью номерами в год, по 100 страниц в номере, то получаем (заниженную) оценку: около 60000 страниц математических публикаций в год. В действительности их в несколько раз больше. Многие журналы, особенно издаваемые коммерческими фирмами, отступили от традиционных правил и выпускают не ограниченное заранее число номеров, чтобы справиться с потоком работ. Более того, многие журналы отказались от рецензирования работ, возложив на самих авторов ответственность за содержание публикуемого; практически это означает, что всякая статья, написанная уже известным человеком, или хотя бы рекомендованная известным человеком, печатается немедленно в присланном виде. Годовые комплекты журналов нередко занимают на библиотечных полках целые метры!

Что же содержат эти катастрофически нарастающие метры печатной продукции? Они содержат теоремы. Это настоящая теоремная промышленность!

У всякого знающего, что такое теорема, такое положение вещей должно вызвать недоумение. Содержательную (или, как все еще говорят математики, "нетривиальную") теорему доказать очень трудно; талантливый математик доказывает в свой жизни не так уж много нетривиальных теорем. Можно предположить, что число талантливых математиков выросло за последние полвека в несколько раз, хотя бы за счет смещения интересов в сторону точных наук. И все-таки это никак не объясняет погонные метры публикаций!

Решение загадки состоит в том, что подавляющее число публикуемых работ не содержит сколько-нибудь интересных результатов. Как правило, ими никто и не интересуется, кроме узкого круга из нескольких специалистов, да и те редко читают работы, а чаще просматривают. Думаю, что б?льшая часть публикуемых работ теперь вообще никем не прочитывается. Возникает вопрос: верны ли доказываемые в них теоремы? И в этом случае мы сталкиваемся с новым явлением, потому что в прежние времена присланная в редакцию статья, уже прочитанная обычно коллегами, учителем или учениками автора, посылалась на рецензию известному редакции специалисту, который читал ее от доски до доски, со всеми подробностями доказательств. В наше время эта сложная процедура еще встречается, но лишь в виде исключения. Итак, верны ли публикуемые теоремы?

Думаю, что в значительной части – неверны. Если исключить несколько журналов, все еще сохраняющих высокие требования, то "массовая математическая продукция" содержит, может быть, четверть или треть ошибочных теорем. Но главная беда не в этом. Значительное большинство опубликованных теорем в формальном отношении не вызывает возражений (если их кто-нибудь читает). Беда в том, что непонятно, для чего они нужны.

Подавляющее большинство публикуемых теорем можно отнести к тривиальным. Это значит, что формулировка и доказательство таких теорем требуют лишь усвоения некоторой стандартной техники, выработанной в соответствующей области: терминологии, принятой последовательности и т.п. Тривиальная теорема бесполезна для науки, поскольку представляет собой лишь тавтологическую переформулировку известных определений или теорем. Безусловно, доля таких работ сильно выросла за последние десятилетия, и причины этого связаны с социологией современной науки.

Дело в том, что наука стала в наши дни "производительной силой", то есть приобрела важное экономическое и военное значение. Правительства, частные фирмы и общественные организации придают науке гораздо большее значение, чем пятьдесят лет назад. Конечно, все эти практические соображения больше относятся к физике, химии и технике (о чем еще речь будет дальше), и не имеют, по-видимому, прямой связи с бесполезной "теоремной промышленностью". Связь здесь не прямая, а косвенная: через научные учреждения.

Во много раз выросло число научных институтов, университетов и колледжей. Однажды возникшее учреждение имеет тенденцию к расширению и к освобождению от внешних задач, для которых оно возникло: оно все больше сосредоточивается на своих внутренних проблемах. Этот важный закон развития бюрократических учреждений был высказан Паркинсоном. В прошлом университеты не были бюрократическими учреждениями в смысле, который мы вкладываем в это выражение. Они были скорее корпорациями или орденами, сохранившими свою средневековую структуру и ориентированными на духовные ценности. Малочисленность ученых определялась общественными потребностями: требовалось очень мало математиков, физиков, астрономов и т.д. Вплоть до конца XVIII века ученые в нашем смысле этого слова требовались только для чистой науки, за небольшими исключениями. Главная масса студентов занималась и тогда "прикладными" специальностями – богословием и правом; что же касается ученых, то их было не больше, чем нужно было для воспроизводства университетских кафедр. На кафедре был один профессор и несколько его ассистентов; профессора чаще всего сменял его ученик. В течение столетий в университете была одна кафедра математики, чаще всего вместе с физикой и астрономией. Университеты содержались королями, церковью и (реже) за счет даров и завещаний частных лиц. Ясно, что в старых университетах не было места для паркинсоновской экспансии. Даже в XIX веке, когда университеты постепенно росли и появилось небольшое число специальных исследовательских институтов, наука оставалась занятием малочисленных замкнутых корпораций. Весьма вероятно, что такая унаследованная от средневековья структура научных учреждений, отражавшая бескорыстную духовную направленность науки, наилучшим образом способствовала ее развитию.

Когда научные учреждения и учебные заведения становятся предметом забот государственного аппарата и промышленности, положение резко меняется. Разумеется, лишь отдельные научные разработки приносят финансовые выгоды или военные преимущества; но эти результаты могут быть столь разительны, что научные учреждения начинают рассматриваться как предприятия, заслуживающие капиталовложений. Поток денег, вливающихся в университеты и институты, становится сравнимым с капиталовложениями в обычные отрасли промышленности; но в этом случае люди, принимающие решения – банкиры, государственные деятели и генералы – менее всего компетентны в механизме предприятия и, конечно, ни в коем случае не готовы признать свою некомпетентность. Они консультируются с ректорами, учеными советами и отдельными научными знаменитостями, слышат от них самые захватывающие обещания, и охотно дают деньги. Такая некритическая, слепая щедрость по отношению к науке не должна удивлять нас: если какое-нибудь научное учреждение, получая ассигнования, с лихвой окупает их за счет одного или двух прикладных проектов, то деловые люди считают предприятие выгодным и не интересуются, на что в действительности идут отпущенные деньги. Со своей стороны, истеблишмент научного учреждения ревниво оберегает свои расходы от слишком пристального наблюдения, ссылаясь, например, на традицию академической свободы. Таким образом впервые в истории в распоряжении университетов и научных институтов оказались большие деньги, и эти деньги начали свою разрушительную работу.

Начинается инфляция научных учреждений – в точном смысле этого слова, означающая "раздувание", наподобие того, как раздувается мыльный пузырь. Растет число факультетов и кафедр, безудержно раздуваются наборы студентов и, вследствие этого, увеличивается спрос на научных работников и преподавателей. Спрос рождает предложение, и в науку уже идут не одержимые любознательностью энтузиасты, а обыкновенные мещане, желающие устроиться, но не имеющие удобного доступа к более заманчивой карьере. Посредственно одаренные люди, приходящие таким образом в науку, не строят себе иллюзий по поводу своих будущих открытий. Они хотят лишь устроиться на службу, продвигаться по службе и, если возможно, занять какие-нибудь административные посты по научной части (что им нередко удается). Для этого им надо регулярно выдавать "научную продукцию".

То же относится к преподавателям. По традиции, преподаватели университетов и колледжей должны быть "учеными", то есть иметь собственные научные труды. В прежние времена это была хорошая традиция. Но когда началась инфляция учебных заведений, понадобилось столько преподавателей, что неоткуда было взять такое число "ученых"; а между тем, не было никакого другого критерия для отбора людей, способных преподавать науку. Естественно, от преподавателей требовали "научных трудов", и им пришлось выдавать "научную продукцию"

Мы видим, каким образом возник многочисленный слой людей, материальные и престижные интересы которых требовали научных публикаций. В этом и состоит разгадка инфляции журналов.

Откуда же берется вся эта "научная продукция"? Молодые люди, желающие стать научными чиновниками, поступают на кафедры, где уже застают какую-нибудь деятельность. Поскольку их приводят в науку не личные вкусы, а желание устроить свои житейские дела, они присоединяются к имеющейся деятельности; если есть выбор, они выбирают более "перспективную" область, в зависимости от научной моды или попросту от административных возможностей того или иного руководителя. Конечно, такие соображения не всегда осознаются и прикрываются какой-нибудь рационализацией, как у всех людей, устраивающих свои дела к собственной выгоде.

Профессор, заведующий кафедрой, дает молодым людям задачи, очень хорошо зная, чт`o от него требуется. Если он способен давать интересные и нетривиальные задачи, у него обычно хватает сообразительности этого не делать, потому что из таких задач выйдет очень мало диссертаций и ученых степеней, требуемых законом Паркинсона. Тем более он не станет отказываться от сотрудничества с безобидными и почтительными юношами, которые наполнят его кафедру, доставят ему публикации, расширение штатов и все, что требуется для его репутации в глазах начальства. Итак, он дает этим молодым людям нетрудные задачи, решение которых ему в общих чертах заранее известно. Этим обеспечиваются, при некоторой помощи руководителя, публикации, защиты и все, что публика принимает за научную деятельность.

Такой образ действий принципиально отличается от традиционных отношений между учителем и учеником. В прежние времена у профессора было очень мало учеников, иногда всего один любимый ученик, со временем занимавший его кафедру. Профессор давал ученику трудную задачу, возникшую на пути его исследований, задачу, решение которой ему было неизвестно. Если ученику удавалось найти решение, его работа была самостоятельным вкладом в науку и доказывала, вместе с тем, способность молодого человека к научной деятельности. Защита диссертации была признанием свершившегося научного события и вступлением диссертанта в ученое сословие. Вспоминая это ушедшее прошлое, надо отдать должное средневековым традициям; может быть, даже торжественные акты на латыни, мантии и шапочки не так уж заслуживают презрения. Наука была серьезным делом.

Все это переменилось. Теперь учитель дает своим ученикам нетрудные задачи, путь решения которых он заранее знает. Тем самым наука не является больше серьезным делом, а превращается в своеобразный вид бюрократической деятельности. Как известно, бюрократическая деятельность отличается от всякой другой тем, что ее номинальные цели второстепенны или фиктивны, подлинная же цель состоит в успешном взаимодействии с аппаратом, предназначенным для этих номинальных целей. Остается объяснить, откуда берутся "задачи". Если руководитель все еще ученый в прежнем смысле слова, вынужденный приспосабливаться к аппарату, он использует в качестве задач "отходы" своего научного производства: в математике это варианты доказательств, более или менее очевидные следствия или приложения доказанных теорем, примеры, показывающие необходимость какого-нибудь условия. Если руководитель сам уже деградировал и серьезных задач не решает, он предлагает своим ученикам какие-нибудь обобщения, вызывающие у него любопытство. "Обобщение" как вид математического декаданса мы обсудим дальше.

Игрушечные задачи, возникающие таким образом, обрабатываются научной машиной. Молодые люди усердно усваивают терминологию и технические приемы в своей области, учатся писать статьи, выражать благодарности, ссылаться или не ссылаться на других авторов в зависимости от конъюнктуры. Руководитель посылает эти статьи кому-нибудь из своих знакомых, входящих в редакцию журнала, тот представляет их к опубликованию, слегка просмотрев, и таким образом возникает "научная продукция", о которой сказано выше. Продукция эта не нужна и никогда не понадобится науке. Если какая-нибудь деталь снова возникает в ходе работы, то проще будет заново обдумать ее, чем найти в литературе и прочесть статью, содержащую много других тривиальных вещей. Таким образом, подавляющая часть научных публикаций представляет собой "социологический мусор".

Я должен был описать этот очевидный процесс не только потому, что он приводит к деградации научных учреждений, журналов и издательств. Есть еще одна причина, побудившая меня это сделать. Как уже было сказано выше, математические символы и научные термины внушают современной публике почти суеверное уважение. Поэтому надо было объяснить без обиняков, как мало мудрости и таланта скрывается за этим специальным жаргоном. Люди, научившиеся им пользоваться, ничем не отличаются от конторских служащих, и в сущности представляют собой их разновидность. Само собой, конторская работа обычно столь же фиктивна.

Я перейду теперь к более интересной сфере математического декаданса, связанного со специализацией. Работы этого рода составляют гораздо меньшую часть публикаций, чем "социологический мусор", и отличаются от него тем, что требуют иногда нетривиальных усилий. Характер этой деятельности, объясняемый дальше, мы условно обозначим термином "обобщение".

Обобщение (без кавычек) представляет собой законный и необходимый метод математического исследования. Это не что иное, как индуктивный метод естествознания в применении к математическим фактам: после изучения некоторого числа отдельных фактов находят нечто общее между ними и создают понятие, позволяющее рассмотреть их с единой точки зрения. Так создаются все теории, и в этом смысле обобщение лежит в основе науки. Первым великим обобщением в математике была геометрия Евклида: Евклид (или его неизвестные предшественники) собрали множество геометрических фактов и поняли, что все они могут быть выведены из небольшого числа предложений, по своей очевидности не требовавших доказательств. Эти исходные предложения Евклид называет аксиомами, и из них выводит все другие утверждения геометрии – теоремы. Например, представляется довольно очевидной аксиома, по которой через две точки проходит одна и только одна прямая; несколько менее очевиден "пятый постулат" Евклида: через точку вне прямой проходит одна и только одна прямая, не пересекающая данную прямую (то есть параллельная ей). [Неточность: пятый постулат Евклида (состоящий в том, что если сумма внутренних односторонних углов, образованных двумя прямыми при пересечении их третьей, с одной из сторон от секущей меньше 180 ? , то они пересекаются, и притом по ту же сторону) равносилен утверждению, что через точку вне прямой проходит не более одной прямой, не пересекающей данную. Существование такой прямой доказывается без использования пятого постулата.]

Система Евклида охватывает все факты так называемой "элементарной геометрии". Правда, вполне удовлетворительная система аксиом геометрии была построена лишь в конце девятнадцатого века (немецким математиком Гильбертом). Но в принципе построение Евклида было правильно и послужило образцом всех последующих математических теорий. Следует отметить важное свойство теории Евклида, называемое полнотой. Нынешние аксиомы этой теории, в сущности, определяют ее однозначно: если имеется две системы вещей (точек, прямых, плоскостей), каждая из которых удовлетворяет этим аксиомам, то они изоморфны, то есть между объектами первой и второй системы можно установить взаимно однозначное соответствие, сохраняющее все соотношения теории. Если, например, объекты "второй" системы называются "точки", "прямые" и "плоскости" (в кавычках), то каждой точке А первой системы соответствует "точка" "А" второй системы, и обратно, такое же соответствие связывает прямыe l "прямыми" "l", плоскости Р с "плоскостями" "Р" Если при этом, например, точки А и В лежат на прямой l, то соответствующие им "точки" "А" и "В" (во второй системе) лежат на "прямой" "l", соответствующей l. Таким образом, полнота геометрии Евклида означает, что если найдется какая-нибудь другая система вещей и отношений, удовлетворяющая аксиомам Евклида, то они по своей структуре не отличаются от "обычной", содержащей наш простой геометрический опыт[Конечно, с логической стороны речь идет об изоморфизме двух аксиоматических (формальных) систем. Наглядные "модели" вроде "обычной" геометрии относятся не к логике, а к нашему неформальному опыту.].

Другой математической теорией, тоже известной с древности, является арифметика – наука о натуральных числах.[Т.е. целых положительных чисел.] Правда, у арифметики не было систематического построения до конца девятнадцатого века, когда итальянский математик Пеано предложил для нее набор аксиом. [Система аксиом арифметики, называемая обычно системой Пеано, впервые была сформулирована немецким математиком Дедекиндом.] Эта система также полна, то есть ее аксиомы описывают лишь "обычные" числа 1, 2, 3, ... и арифметические операции над ними, так что всякая другая система объектов и операций, удовлетворяющих тем же аксиомам, изоморфна "обычной".

В течение двух тысяч лет все развитие математики строилось, в сущности, на этих двух формальных системах – геометрии и арифметике. Лишь в начале 19 века возникла еще одна математическая теория, с другой аксиоматикой: "неевклидова геометрия" Лобачевского – Бояи. Объекты этой геометрии тоже называются "точками", "прямыми" и "плоскостями", и для них сохраняется б?льшая часть всех аксиом Евклида, кроме "пятого постулата", который заменяется следующим: "через точку вне прямой проходит более одной прямой, не пересекающей данную" (откуда следует, что таких прямых бесконечное множество). "Неевклидова геометрия" возникла на пути чисто логических исследований: пытались вывести пятый постулат" из других аксиом Евклида "приведением к абсурду", для чего его заменяли противоположной аксиомой и делали из нее всевозможные выводы. Оказалось, что в полученной системе не получается логического противоречия, хотя ее теоремы и противоречат наглядным представлениям. Это был первый пример математической теории, возникшей не "опытным" путем, а из абстрактных логических построений. Впрочем, оказалось, что "неевклидова" геометрия допускает наглядные модели и имеет важные применения в физике. Она также является полной теорией, то есть аксиомы описывают ее с точностью до изоморфизма. Обычно эту геометрию называют "гиперболической".

Затем Риман предложил другую элементарную геометрическую систему, тесно связанную с геометрией на сфере. Эта система тоже полна и называется "эллиптической геометрией".

Риман сделал также следующий важный шаг, объединив все известные к тому времени геометрические системы в одно общее построение, называемое "римановой геометрией". Система аксиом римановой геометрии не полна: это значит, что существует (бесконечное) множество геометрических систем, удовлетворяющих этим аксиомам. Специализируя "риманово пространство" добавлением новых аксиом, можно получить, в частности, евклидову, гиперболическую и эллиптическую геометрию. Построение Римана, охватившее всю деятельность геометров на несколько десятилетий вперед, оказалось полезным далеко за пределами геометрии (как предвидел уже сам Риман): в 1916 году Эйнштейн показал, что физическое пространство и время образуют четырехмерную риманову геометрию, строение которой зависит от распределения гравитационных масс. Универсальность и гибкость римановой геометрии, описывающих в весьма общем виде свойства множества геометрических систем, получаемых из нее путем специализации, доставили ей центральное положение в геометрии.

Другое великое обобщение произошло в алгебре. Система натуральных чисел (арифметика) легла в основу других числовых систем: системы рациональных чисел (дробей), действительных чисел и комплексных чисел. Все эти системы можно описывать аксиомами, но можно и строить из арифметики, определяя числа разного рода как производные понятия; так, например, дробь p/q можно рассматривать как упорядоченную пару натуральных чисел p, q. Аксиоматики числовых систем полны. Но в начале прошлого века Галуа ввел понятие группы подстановок, что впоследствии привело к появлению общего понятия группы. Аксиомы теории групп задают весьма общие свойства алгебраической операции (такой, как сложение или умножение). Аксиоматика теории групп не полна: из нее можно получить путем специализации, то есть добавления новых аксиом, бесконечное множество алгебраических систем, в частности, обычные числовые системы. Были построены и другие системы аксиом, описывающие в общем виде две алгебраические операции, связанные между собой так, как сложение с умножением; так возникла аксиоматика кольца и поля.[Дедекинд, Штейниц, Эмми Нетер.]

Аксиоматический метод, завоевавший математику в конце прошлого века, позволил упорядочить множество специальных теорий, подчинив их общим схемам. При этом часто оказывалось, что рассуждения и построения, отдельно возникавшие в этих специальных теориях и имевшие в них разный вид, представляют собой частные случаи общих рассуждений и построений, которые достаточно провести один раз, в некоторой общей системе аксиом.

В области математического анализа грандиозным объединяющим построением, охватившим множество до того разрозненных аналитических теорий, был "функциональный анализ", созданный в двадцатые годы нашего века.[Гильберт, Банах, Винер.]

Естественно, эти великие обобщения произвели на математиков сильное впечатление и во многом определили математическое мышление двадцатого века. Но всякое обобщение ст`oит столько, сколько оно обобщает. Системы аксиом, охватившие огромные области математического исследования, были продуктом "концентрации" большого фактического материала и могли быть построены лишь учеными, глубоко и всесторонне знавшими математику своего времени.

Однако, успех аксиоматических теорий вызвал и другой процесс, тот самый, который выше был обозначен как "обобщение" (в кавычках). Аксиоматика, при всех ее важных достоинствах, является средством, а не целью познания – средством, позволяющим лучше понять, упорядочить и предвидеть математические факты. Конечной целью в науке всегда является понимание природы. Если даже считать, что понимание природы достигается именно построением общих, абстрактных теорий, то речь может идти лишь о достаточно содержательных теориях, связанных с интересным и разнообразным миром конкретных математических фактов. Но такие теории, как все трудное и прекрасное на свете, появляются редко. Проще всего придумываются абстрактные теории, бедные содержанием. Для этого исходят не из "экспериментального материала" математики, а из существующих, уже построенных аксиоматических теорий с установившейся репутацией. Из списка аксиом такой теории чаще всего выбрасывают какую-нибудь аксиому, или видоизменяют ее, а затем смотрят, чт`o можно вывести из полученной системы.

По давно уже сделанному наблюдению, такой образ действий следует уподобить не концентрации, образующей питательный бульон, а разведению в воде.[Это замечание, принадлежащее выдающимся венгерским математикам Пойя и Сеге, можно найти в предисловии к их книге "Задачи и теоремы из анализа".] Аксиоматика превращается здесь из средства исследования в цель; а когда средства превращаются в цели, это верный признак вырождения той деятельности, где это происходит.

Безусловно, сами средства исследования должны быть предметом научного изучения. Математик точно так же должен изучать свои аксиомы, как физик изучает свой прибор или астроном свой телескоп. Но для этого прибор должен иметь определенное назначение, а изучение прибора должно быть направлено к его усовершенствованию. Между тем, многие отрасли математической деятельности производят такое впечатление, будто из прибора вынимаются некоторые части, чтобы посмотреть, что из этого выйдет. Обычно этим занимаются люди, мало сведущие в конкретных вопросах, для которых была придумана интересующая их система аксиом. Если продолжить аналогию с прибором, они играют со своим прибором, как мартышка с очками, не заботясь о цели своих манипуляций.[Когда я придумал название этой книги, я имел в виду начать с Пифагора и кончить обезьяной, но каким-то образом обезьяны появились уже здесь. ]

"Обобщение" в только что описанном смысле слова было особенно характерно для двадцатых и тридцатых годов, когда большие аксиоматические построения были внове и вызывали интерес у любителей легкодоступных математических занятий. В самом деле, если не интересоваться конкретными фактами, стоящими за системой аксиом, то можно легко приступить к исследованиям почти без предварительных знаний: надо только выучить термины, входящие в аксиомы. Области деятельности, возникшие таким образом, породили безбрежный поток публикаций. Они конструировались в научные направления и получали названия: аксиомами алгебры занималась "Общая алгебра", аксиомами топологии – "Общая топология". Не было недостатка и в работах того же рода, связанных с аксиоматикой геометрии, хотя эта деятельность не обзавелась собственным названием. Аксиомы функционального анализа точно так же вызвали поток "обобщений".

Я вовсе не хочу этим сказать, что с аксиомами не стоит возиться. Бывают случаи, когда это необходимо, и уже Гильберт в своих "Основаниях геометрии" исследовал роль некоторых отдельных аксиом. Более того, как мы видели, появление первой абстрактной системы – неевклидовой геометрии – было связано с изучением аксиом Евклида. Но люди, занимавшиеся этим, знали о геометрии значительно больше списка аксиом.

В общем, вопрос об аксиоматических теориях решается их связями с действительностью – понимая под этим словом также и математическую действительность. Все серьезные математики убеждены, что такая вещь существует, что предмет их науки есть нечто большее, чем "игра в бисер", в которую ее нередко пытаются превратить.

"Обобщения" в стиле двадцатых-тридцатых годов, то есть бесхитростная возня с аксиомами, и по сей день занимает немалое место в математической литературе. Но в наше время они уже не являются главным видом математического декаданса. Упадок математики происходит в наши дни в другой форме, которая еще недостаточно изучена. В той же книге венгерских математиков, на которую я уже ссылался, этот процесс сравнивается с никуда не впадающими реками, делящимися на мелкие ручьи и пересыхающими в пустыне. В сущности, интересующее нас явление тоже можно назвать "обобщением", но оно гораздо утонченнее и опаснее наивной возни с аксиомами, о которой говорилось выше.

Дело в том, что в ходе развития очень серьезных научных теорий, основанных на общепринятых и плодотворных аксиомах, возникает бесконечное множество вопросов. Далеко не все эти вопросы действительно важны для развития предмета, хорошо связаны с его основным содержанием. Короче говоря, не все задачи, какие можно поставить в данной области математики, в самом деле нужны. Спешу заметить, что я здесь ни в коем случае не имею в виду прикладное значение этих задач. Напротив, я говорю здесь о чистой математике, не интересующейся приложениями и не ожидающей приложений. Есть они или нет, математика – если это хорошая математика – все равно изучает природу. Поскольку в природе все связано, то даже самая чистая математика когда-нибудь найдет "приложения" в практическом смысле этого слова. Но математики занимаются своей наукой ради нее самой.

Что же такое "хорошая математика"? Какими задачами надо заниматься, и какими нет? Это очень сложный вопрос, разрешаемый интуицией и хорошим вкусом. Вопрос о том, чем ст?ит заниматься, возникает в любой науке. Если спросить об этом специалиста, он приведет свои мотивы. Он скажет, что в его области давно уже стоит такая-то проблема, от решения которой зависят такие-то важные вопросы. Важны они потому, что связаны со многими другими вещами, и обычно не только из данной области математики, но также из других. Он объяснит вам, что все дело в этих разносторонних и глубоких связях, на которых и держится наука. Эти связи, – скажет он, – заменяют нам связь с экспериментом, это, в сущности, и есть наш опыт. (Если со связями все благополучно, то со временем найдется и выход к физическому эксперименту, – но этого он вам не скажет!). Затем специалист объяснит вам, что для решения указанной им проблемы (той самой, которая так хорошо связана с другими, что ее непременно надо решить!) давно уже составлен определенный план. Более или менее известно, какие этапы надо пройти по пути к ней. И вот, он предлагает задачу, стоящую на одном из этих этапов. Он может добавить, что эта задача и сама по себе красива, а это увеличивает шансы на ее применение к важным вопросам. Потому что, – скажет он вам, – нет бесполезной красоты[ Изречение одного знаменитого математика.], и опыт свидетельствует о глубокой связи между прекрасным и полезным. Если вы станете спрашивать его, что же такое прекрасное в математике, он ответит вам, что это можно объяснить только на примерах, как и в любом другом искусстве.

Можно заметить, что в отношении "хорошей математики" имеется гораздо большее согласие между хорошими математиками, чем в более популярных областях искусства. Хороший математик и есть человек, умеющий выбирать себе серьезные задачи. Эйнштейн однажды высказался в том духе, что машина, может быть, сумеет когда-нибудь решить любую задачу, но вряд ли сможет хоть одну задачу поставить.

Но здесь мы можем расстаться с хорошей математикой, которая, к счастью, все еще существует. Наш предмет – вырождение математики, и сейчас будет описан самый обычный способ, как оно происходит. Я опишу, как в хорошей, серьезной области математики ставятся плохие задачи.

В каждой области математики вводится ряд понятий. Некоторые из них – основные понятия – входят в аксиомы, как в аксиомы геометрии входят (не подлежащие логическому определению) понятия "точка", "прямая" и "плоскость". Но затем вводится много производных понятий, определяемых через основные; в геометрии таким понятием является, например, треугольник, определяемый с помощью трех точек (или трех прямых). Производные понятия, необходимые для формулировки теорем, это "блоки", из которых складываются теоремы. Было бы невозможно каждый раз повторять вместо слова "треугольник" логическое определение треугольника через три точки или три прямые. Итак, производные понятия образуют неизбежный в математике язык. О треугольниках имеется несколько важных теорем, например, теорема Пифагора; отсюда можно заключить, что треугольники играют в геометрии важную роль.

Но следует ли отсюда, что ст`oит решать любые задачи о треугольниках? В задачниках по элементарной геометрии можно найти много любопытных задач на эту тему, решение которых требует немалых усилий, но от этих задач ничего особенного в геометрии не зависит. Они служат для учебных целей, и если кто-нибудь открывает новое свойство треугольников, это никого не волнует.

Производные понятия, входящие в формулировки теорем, строятся во всех областях математики. Установление связей между ними (если, конечно, они целесообразно выбраны) и составляет работу математика. Но если какое-нибудь понятие оказалось полезным, оправдало себя в серьезных вопросах, то оно, естественно, становится и само по себе предметом изучения. Можно задавать о нем всевозможные вопросы, можно заменять его в формулировках известных теорем близкими понятиями и спрашивать, что из этого выйдет. Более того, можно строить родственные, аналогичные понятия, сами по себе ни зачем не нужные, но заслуживающие внимания по их близости к нужным, а затем ставить разные вопросы об этих новых понятиях.

В основе такой деятельности лежит та же установка, что и в случае возни с аксиомами: берется интересный объект, и все к нему относящееся считается интересным. Это такое же "обобщение" в кавычках, и столь же ненужное, но ненужность таких занятий маскируется тем, что они могут быть весьма утонченны и трудны.

Человек, занимающийся "обобщениями" в этом современном смысле слова, знает обычно довольно узкую область математики, и больше ничего не знает. Но свою узкую область он должен знать, и на это он затрачивает много времени и усилий. Поскольку более далекие связи ему непонятны, в центре его интересов лежит не предмет, а отдельные престижные задачи, возле которых он и развивает свою деятельность. Иногда он проявляет при этом немалую тонкость в выборе вариантов и формулировок. Он может затратить серьезные усилия на преодоление трудностей, придуманных им самим (или его коллегами). Его достижения будут опубликованы и канут в Лету.

Математик этого рода и есть подлинный декадент. Судьба его трагична, потому что непосредственная радость постижения природы заменяется у него спортивным интересом к выдуманным головоломкам. Он – "решатель задач", problem solver. Особенно печально, что некоторые из этих людей в более здравой научной атмосфере могли бы приобрести лучший вкус и более широкие интересы. Но обычно они уже застают себе подобных на кафедрах, где их обучают. В человеческом смысле все эти решатели задач ничем не отличаются от тех, кто производит "социологический мусор".

Только что описанная форма декаданса представляет для математики самую опасную угрозу. Она тесно связана с общим направлением эволюции современного человека, с его тенденцией к специализации на узкой функции, иначе говоря – с потерей личности и с растворением в "коллективе". Обо всем этом еще будет речь дальше.

Страница 7 из 14 Все страницы