II. «Теэтет».

Из этого диалога особенно ясно видно, в каких муках рождались абстрактные понятия – белизна, теплота, сладость, горечь, красота, польза,... (раньше умели говорить только о конкретных белых, тёплых, сладких, горьких, красивых, полезных предметах), как трудно было находить слова, чтобы объяснить, чт`o они значат, и как трепетно их любили родители. И как же их было не любить – они так прекрасны, так совершенны, ничего подобного им мир прежде не знал. Этим восхищением пронизаны все диалоги Платона, какие я читал и помню, но нигде я не ощутил их так явно, как в «Теэтете». Псевдодедуктивных рассуждений здесь намного больше, чем в «Федре», и часто они образуют очень длинные цепочки. А с каким восторгом платоновский Сократ всё, что попадается ему под руку, делит надвое, и по большей части совершенно произвольно! Точь-в-точь ребенок, который не может наиграться новой игрушкой. Но многие ученые мужи до сих пор не вышли из детства, только той непосредственности, что была у Сократа, у них уже нет.

Тем не менее в рассуждениях Сократа и его собеседников Феодора и Теэтета не всё произвольно. Внимательно приглядываясь к хитросплетениям этих рассуждений, можно заметить кое-что весьма интересное. Например, возникающий в ходе одного очень длинного рассуждения вывод, что «ложное мнение – это нечто иное, нежели мнение о несуществующем» (дословно: «представлять – или даже «предполагать» ложь – не то, что представлять – или предполагать – не сущее» (189b) предвосхищает произведенный совсем недавно перевод Аристотетелевых силлогизмов на язык современной логики (см. [8], гл. 11), а в еще более длинном пассаже о буквах и слогах (202e—208a) нетрудно распознать зародыш принятого в современной лингвистике членения слова (точнее – словоформы) на фонемы и морфемы: фонема есть минимальная единица, сама по себе не выражающая никакого смысла, а морфема (в русском языке – корень, приставка, суффикс, окончание) – минимальная осмысленная единица (более точно – минимальная единица, имеющая некоторое лексическое или грамматическое значение; например, в слове «перечитыванием» корень -чит- непосредственно соотносится с внеязыковым объектом – действием чтения, приставка пере- имеет значение повторности, суффикс -ыва- служит для образования несовершенного вида глагола, суффикс -ни- служит для образования отглагольного существительного, и, наконец, окончание -ем служит для образования творительного падежа) [Описания строения словоформ, принятые в современных научных грамматиках русского языка, значительно сложнее, чем в приведенном примере, и ради понятности здесь пришлось пойти на сильное огрубление].

И вот еще о чем я хочу сказать. «Теэтет» – один из тех диалогов Платона, из которых можно, по-видимому, извлечь сведения об отношених Платона с современной ему математикой и даже о его влиянии на ее развитие.

Оба собеседника Платона в этом диалоге, пифагореец Феодор (Теодор) из Кирены и ученик Феодора Теэтет, известны как крупнейшие математики своего времени. Историки математики считают, что именно им математика обязана доказательством теоремы, в переводе на современный математический язык означающей, что если квадратный корень из целого числа – не целое число, то он не может быть и дробью, т. е. является иррациональным числом (иррациональность квадратного корня из числа 2 была установлена пифагорейцами значительно раньше). Сейчас математики умеют доказывать этот факт очень простым способом, вполне понятным ученику средних классов (см., например, [9], с. 108), но древним грекам, впервые его обнаружившим, понадобилось для этого очень сложное рассуждение, известное нам по десятой книге «Начал» Евклида (там это предложение 9; оригинальные сочинения Феодора и Теэтета не сохранились). И именно на диалог Платона «Теэтет» ссылаются историки для обоснования мнения, что это открытие было сделано Феодором и Теэтетом. Приведу соответствующее место из «Очерков по истории математики» Н. Бурбаки [5, с. 147]: «Никто не оспаривает свидетельства Платона, который в своем “Теэтете” приписывает доказательство иррациональности √3, √5 “и так далее, до √17” Теодору, после чего Теэтет либо получил общее доказательство для √N (N – целое, неполный квадрат), либо, во всяком случае (если, что возможно, доказательство Теодора было общим по своему принципу) дал метод классификации некоторых типов иррациональностей. Нам неизвестно, были ли эти первые доказательства иррациональности выполнены в рамках арифметики или геометрии.» [Подробнее об этом см. в комментарии И.Н, Веселовского к предложению 9 десятой книги «Начал» Евклида ([3], с. 370 – 371). Формулировку и доказательство самого утверждения см. там же на с.109-111]

Здесь, очевидно, имеется в виду следующее место «Теэтета» (147c – 148b):

«Теэтет. <...> И я даже подозреваю, что ты имеешь в виду то, к чему мы сами накануне пришли в разговоре – я и вот этот Сократ, твой тезка. [Этот «младший Сократ» сам ничего не говорит и в числе участников диалога не упоминается]

Сократ. Что же это такое, Теэтет?

Теэтет. Вот Феодор объяснял нам на чертежах нечто о сторонах квадрата, [площадь которого выражена продолговатым числом], налагая их на трехфутовый и пятифутовый [отрезки] соответственно и доказывая. что по длине они несоизмеримы с однофутовым [отрезком]; и так перебирая [эти отрезки] один за другим, он дошел до семнадцатифутового. Тут его что-то остановило. Поскольку такого рода отрезков оказалось бесчисленное множество, нам пришло в голову попытаться найти какое-то их единое [свойство], с помощью которого мы моггли бы охарактеризовать их все.

Сократ. Ну, и нашли вы что-нибудь подобное?

Теэтет. Мне кажется, нашли. Взгляни же и ты.

Сократ. Говори, говори.

Теэтет. Весь [ряд] чисел разделили мы надвое: одни числа можно получить, взяв какое-то число равное ему число раз. Уподобив это равностороннему четырехугольнику, мы назвали такие числа равносторонними и четырехугольными.

Сократ. Превосходно.

Теэтет. Другие числа стоят между первыми, например три, пять и всякое другое число, которое нельзя получить таким способом, а лишь взяв большее число меньшее число раз или взяв меньшее число большее число раз. Эти другие числа мы назвали продолговатыми, представив большее и меньшее число как стороны продолговатого четырехугольника.

Сократ. Прекрасно. А что же дальше?

Теэтет. Всякий отрезок, который при построении на нем квадрата дает площадь, выраженную равносторонним числом, мы назвали длиной, а всякий отрезок, который дает разностороннее продолговатое число, мы назвали [несоизмеримой с единицей] стороной квадрата, потому что такие отрезки соизмеримы первым не по длине, а лишь по площадям, которые они образуют.»

Невозможно сомневаться, что «равносторонние числа», о которых говорит здесь Теэтет,– это полные квадраты, т. е. целые числа, которые являются квадратами целых же чисел (числами древние греки считали только целые числа) а «продолговатые числа» – целые числа, которые квадратами целых чисел не являются.

Но кто такой «младший Сократ», которого Теэтет представляет его старшему тезке как соавтора своего отктрытия? Существует гипотеза, что это не кто иной, как сам Платон. Об этой гипотезе я узнал от моего друга Вадима Анатольевича Янкова, профессионально занимающегося историей греческой философии и греческой математики. Вот отрывок из его письма: «Не помню, кем выдвинуто предположение, что «младший Сократ» не кто иной, как Платон. Мне оно кажется очень правдоподобным. Оно вполне согласовано с основной мыслью диалога. Эта мысль в том, что подлинное познание за частным познаёт общий эйдос. Младший Сократ, если это Платон, мог и внушить Теэтету мысль о необходимой общности доказательства, после чего такое доказательство и удалось Теэтету. Платон же как автор диалога считал, видимо, неуместным своё явное появление в нём. <...> О Платоне рассказывается, что он научил геометров «анализу и синтезу» (то есть необходимым и достаточным условиям).»

От себя добавлю, что мне как учителю математики (своим основным ремеслом я считаю преподавание; преподавал главным образом студентам, но и школьникам тоже) хорошо понятно, как важно было «научить геометров необходимым и достаточным условиям». Если попросить сильного старшеклассника самостоятельно, не заглядывая в учебник, доказать, что геометрическое место точек, равноудаленных от двух заданных точек плоскости, есть перпендикуляр к отрезку, соединяющему эти точки, проведенный через его середину, то он без труда докажет, что каждая точка этого перпендикуляра равноудалена от концов отрезка (пользуясь признаками равенства треугольников, которые постоянно «в работе» и потому не забываются), но ему не придёт в голову, что нужно доказать и обратное утверждение. Мне представляется в высшей степени правдоподобным, что и греческим геометрам это не приходило в голову, пока им не объяснил это Платон.

Страница 3 из 6 Все страницы