IV. «Парменид».

Этот диалог был для меня самым трудным, но и самым интересным. Далеко не всё понял, но то, чт?, как мне кажется, удалось понять, произвело очень сильное впечатление. Только при чтении «Парменида» я окончательно уяснил себе, что для Платона единственный источник знания – умозрение: если хочешь что-то узнать о свойствах вещей и отношениях между вещами, рассмотри свойства идей и отношения между идеями. Но рассмотрение свойств идей и отношений между ними нередко позволяет лучше понять, как устроены реальные вещи, абстрактными образами которых являются эти идеи. Чем занимается, например, математика, как не анализом отношений между идеями? («Число», «число 5», «точка», «линия», «треугольник» – всё это идеи. В реальности нет предмета «число 5», есть только совокупности из пяти предметов – скажем, лепестков цветка яблони или пальцев на руке.) Между тем благодаря математике люди много узнали о вещах, существующих в природе, и создали много новых вещей, без которых мы теперь не умеем обходиться.

Некоторые кажущиеся правдоподобными предположения об отношениях Платона с современной ему математикой можно, как мы видели, извлечь из «Теэтета» (и, как увидим далее, из «Менона»), а в «Пармениде» есть точка соприкосновения с математикой нашего времени. Если внимательно прочесть рассуждение Парменида о числах (143c–144a), можно узнать в нем зачатки аксиоматического построения натурального ряда чисел, осуществленного Рихардом Дедекиндом (1831-1916). [Предложенную Дедекиндом систему аксиом арифметики натуральных чисел называют также системой Пеано] При этом способе построения понятие числа, возникшее в процессе абстрагирования из опыта счета различных предметов, заново строят умозрительным путем, отправляясь от простейшего понятия «один». Первые две аксиомы системы Дедекинда (иначе – системы Пеано) таковы: «1 есть число»; «Если n есть число, то и n+1 есть число». Сумма и произведение двух чисел тоже строятся «снизу вверх». Главное различие между аксиомами этой системы и теми аксиомами, которыми открывается первая книга Евклидовых «Начал» – «Точка есть то, что не имеет частей», «Линия же – длина без ширины», «Концы же линии – точки», «Прямая линия есть та, которая равно расположена по отношению к точкам на ней» и т. д. – состоит в следующем. Аксиомы Евклида жестко привязаны к конкретным геометрическим образам и фактически представляют собой всего лишь наглядные пояснения; поэтому использовать их в доказательствах теорем невозможно, и все доказательства у Евклида опираются исключительно на наглядный смысл геометрических понятий. В противоположность этому система Дедекинда ни на какие наглядные представления не опирается, ее первоначальные понятия – «число», «единица» и другие – не привязаны ни к каким конкретным объектам и могут интерпретироваться по-разному. Из таких аксиом можно выводить следствия по формальным правилам без обращения к наглядному смыслу. В конце XIX столетия для геометрии также были построены системы аксиом, позволяющие обходиться в доказательствах без опоры на наглядный смысл и по-разному интерпретировать первоначальные понятия. Мысль о возможности различных интерпретаций геометрических понятий не могла возникнуть прежде, чем был разработан метод координат, позволивший перевести геометрию на язык алгебры (которой в античные времена еще не было). А считать можно самые различные предметы по одним и тем же правилам, и именно осознание этого простого, но удивительного факта лежит в основе первой известной нам попытки умозрительного построения системы чисел (теперь мы сказали бы: целых положительных чисел), которую мы видим в рассуждении, вложенном в уста Парменида. [У Платона речь идёт скорее не о построении, а об открытии становления ряда натуральных чисел как некоторых идеальных сущностей. (Замечание В.А. Янкова.)]

Из этого рассуждения ясно видно также, что арифметика была сначала частью обычного человеческого языка (естественного языка, как говорят сейчас лингвисты). Существование единицы обосновывается тем, что «можно сказать “один (hen)”». [См. [2] с. 371: «А можно ли сказать также “единое”?». В сноске на с. 498 комментатор поясняет, что в тексте перевода словом «единое» по традиции передается греческое числительное hen] «Два», «три», «дважды», «трижды», «сложить», «больше», «меньше» – тоже слова обычного языка. Далеко не сразу арифметика отделилась от обычного языка и превратилась в самостоятельный язык – с несравненно более бедными выразительными средствами и несравненно более узкой областью применимости, но зато несравненно более точный. Так же было и с геометрией. По словам Л.С. Выготского, «первым, кто увидел в математике мышление, происходящее из языка, но преодолевающее его, был, по-видимому, Декарт» ([7], с. 310). Лингвистики как отдельной науки во времена Декарта не было, появилась она (точнее, снова начала развиваться после многовекового застоя) только в конце XVIII столетия, и лишь в XX столетии языковеды поняли, как много общего у предмета их науки с математикой, и начали использовать для исследования структуры языка математические средства. Еще и сейчас очень многие лингвисты и другие «гуманитарии» с пеной у рта утверждают, что у их наук нет и не может быть с математикой ничего общего, что знать ее гуманитарию не нужно и даже стыдно. Но из «Парменида» видно, что великий гуманитарий Платон задолго до Декарта догадался о происхождении старейшей математической науки – арифметики – от обычного языка. И видно это не только из того рассуждения, о котором мы сейчас говорили. Вот важное арифметическое тождество на пока еще недостаточно четком «нематематическом» языке (154b): «равные величины, будучи прибавлены к неравным – времени или чему-либо другому,– всегда оставляют их различающимися настолько, насколько они различались с самого начала».

Есть в «Пармениде» и другие удивительные предвосхищения. Здесь отмечен, например, особый статус местоимений в языке и описана их главная функция – служить «заменителями» значащих слов (160e). [Местоимения являются, видимо, самыми «трудными» словами. В речи ребенка они появляются позже, чем существительные, глаголы, прилагательные и наречия. Одно из их отличительных свойств состоит в том, что они не могут служить собственными именами. (Этим, как известно, воспользовался хитроумный Одиссей, назвав себя Outis – Никто,– чтобы обмануть циклопа Полифема.) А в языке математики местоимениям соответствуют переменные. Ни о чем этом, разумеется, не говорится у Платона, но главное он заметил, по-видимому, первый. В грамматических учениях древних греков местоимение (antönymia) как отдельная часть речи появилось позже, чем имя, глагол и наречие, Дионисий Фракиец (I век н. э.) определяет местоимение как «слово, употребляемое вместо имени, показывающее определенные лица» (см. [6], с. 141 2-го изд.) Русский термин «местоимение», как и латинский «pronomen» – калька греческого antönymia] А в следующем пассаже можно узнать один из парадоксов, которые волновали математиков и философов в конце XIX столетия («парадокс Кантора»): «Если бы что-либо было частью многого, в котором содержалось бы и оно само, то оно, конечно, оказалось бы частью как себя самого, что невозможно,– так и каждого отдельного из другого, если только оно есть часть всего многого. Но не будучи частью чего-нибудь отдельного, оно будет принадлежать другому, за исключением этого отдельного, и, значит, не будет частью каждого отдельного; не будучи же частью каждого, оно не будет частью ни одного отдельного из многого. Если же оно не есть часть ни одного, то невозможно ему быть чем-нибудь – частью или чем-то иным – по отношению к сумме отдельных [членов], ни для одного из которых оно не есть нечто» (157d).

Многое в «Пармениде» все же осталось для меня загадочным, но и то, чтó мне удалось заметить, переполняет меня восхищением. [Перед одним местом (154d-e) я остановился в полном недоумении. Парменид спрашивает своего собеседника Аристотеля (которого не следует смешивать со Стагиритом): «Если мы станем прибавлять к большему и меньшему времени равное время, то будет ли равное время отличаться от меньшего на равную или на меньшую часть?» Аристотель отвечает: «На меньшую», и Парменид подтверждает правильность этого категорического ответа, хотя только что он утверждал прямо противоположное (см. выше цитату из 154b). Но В.А. Янков объяснил мне, что здесь ошибка в переводе: должно быть не «равное» а «большее»]

Страница 5 из 6 Все страницы