В разделе 4 было рассказано о расцвете Московской школы теории функций в начале 20-х годов под шутливым самоназванием «Лузитания» и о возникновении отпочковавшихся от нее новых математических школ.

Вокруг такого яркого явления, как Лузитания и ее «наследники», не могли не возникнуть споры: неоднократно высказывались по их адресу критические замечания, обвинения в узости и чрезмерной абстрактности, в отрыве от применений и от классических традиций в математике и т. д. и т. п. В этом как будто было и много справедливого. Но главного аргумента в свою пользу — своей роли в формировании большой московской математической школы — Лузитания выставить тогда не могла.

Иногда то, что тогда казалось «основательным», сегодня кажется наивным, и наоборот. Жизнь по-своему разрешила многие спорные вопросы. Поэтому, чтобы разобраться в них, придется иногда делать экскурсы вперед, вплоть до наших дней.

Сейчас обычно идентифицируют московскую математическую школу начала 20-х годов со школой теории функций и называют тот период московской математики «эпохой Лузитании».

А как бы этому удивилось большинство тогдашних московских математиков старшего и среднего поколения, пожалуй, обиделось бы... Среди них преобладали другие оценки и вкусы, они не включали Н. Н. Лузина в официозное руководство московской математикой.

Но кто помнит это? Для будущего оказалось важным только то, что большинство активной математической молодежи шло тогда за Н. Н. Лузиным; ей принадлежал завтрашний день, она была источником информации для следующих поколений математиков, и ее суд оказался для них самым авторитетным. И этому не могли помешать ни трудности, возникшие позже во взаимоотношениях Н. Н. Лузина с его бывшими учениками, ни то, что некоторые из указанных упреков исходили от «кающихся лузитанцев». Как это поучительно!

Бывало за эксцентричностью в Лузитании не замечали ее серьезной работы. Кто-то придумал для теории функций шутливое название «описательная математика, или математика для дам». «Для дам», потому что тогда в университете впервые появились девушки, а некоторые из них входили в Лузитанию. Но ведь из нее вышли первые после С. В. Ковалевской крупные женщины-математики: Н. К. Бари и Л. В. Келдыш!

«Описательная математика»! Тогдашние студенты сдавали скучный для неастрономов курс сферической астрономии (я кое-как сдал его на «уд») и занимательный курс описательной астрономии. Как рассказывают, в 1929 г. один известный ученый, выступая во время выборов в Академию в защиту кандидатуры Н. М. Крылова по математике и Н. Н. Лузина по философии, продемонстрировал страницы из их работ: одну — испещренную формулами, другую — без формул, и сказал: «Вот это математика, а вот это философия».

Математику делили тогда на два больших раздела — «алгорифметическую математику» и «математику понятий», куда относилась теория множеств, теория функций, абстрактная алгебра, топология и т. д. Считалось, что лишь через первый раздел математика имеет приложения, а второй существует лишь «для наведения порядка в математическом доме». В московской математике 20-х годов преобладала математика понятий («описательная математика», или «философия»). К этому вопросу мы вернемся.

«Забвение классических традиций!» С расширением тематики московские математики овладевали «классическими разделами» математики, и такие упреки отпали. Добавим, одно время консерватизм в науке пытался прикрыться «традициями» того или иного крупного ученого прошлого, понимая эти традиции как отказ от того, что завоевано наукой после него.

У нас часто противопоставляли «классическую» петербургско-ленинградскую школу и «модернистскую» московскую. В первой, мол, любили решать трудные конкретные задачи, а во второй — создавать общие концепции. Это неверно. И в московской школе ценили решение конкретных трудных задач; успех Н. Н. Лузина как руководителя определялся его умением ставить такие задачи.

Я уже говорил о «спортивной» точке зрения на математику, которую высказывал Н. Н. Лузин. Правда, «спортивный элемент» не превращался в самоцель — для этого противоядием служили «общие концепции». Мы помним, из каких конкретных задач возникали в московской математике «общие концепции» и в дескриптивной теории функций, и в теоретико-множественной топологии, и в других областях. Из истории математики мы знаем, как из конкретных задач появились «общие концепции»: неевклидова геометрия, теория групп, теория идеалов и сама теория множеств. Это противопоставление обедняет и петербургскую школу. Вот как ее характеризует сам А. М. Ляпунов в биографии П. Л. Чебышёва: «Детальная разработка вопросов, особенно важных с точки зрения приложений и в то же время представляющих особенные теоретические трудности, требующие изобретения новых методов и восхождения к принципам науки, затем обогащение полученных выводов и создание этим путем более или менее общей теории — таково направление большинства работ П. Л. Чебышёва и ученых, усвоивших его взгляды». Добавим, что начиная с конца 20-х годов московские математики решили целый ряд трудных конкретных «знаменитых» задач в геометрии, теории чисел, алгебре, анализе.

Есть разные математические вкусы. Автору ближе всего вкус конкретной геометрии; но именно изучение поведения геодезических на выпуклых телах — вполне конкретная геометрическая задача — потребовало от него и других математиков изучать структуру «пространств допустимых линий» вариационных задач — бесконечномерных пространств из линий на многообразиях; а это основано на применении тех общих топологических теорий, которые когда-то не нравились некоторым любителям конкретной геометрии. Если говорить о традициях, то наибольшим своим успехом работа в наше время в таких традиционных «петербургских» направлениях, как задачи математической физики, теория приближений, проблема моментов, теория вероятностей и т. д., обязана тем ученым, которые сочетали традиционные методы с функционально-аналитическими, теоретико-функциональными и т. п.

Обвинение в абстрактности! Мы уже говорили об отношении абстрактного и конкретного в московской (и не только московской) математике. Ниже мы увидим, что общность понятий теории функций помогла московской математике преодолеть свойственную ей вначале узость.

Совершенно закономерно, что с расширением объема математических знаний объединяющие их теории строятся на более высоком уровне абстракции, и это свойственно не только математике, но и физическим наукам.

Заметим, что такие методологические вопросы, как, например, взаимоотношение абстрактного и конкретного и тем более теории и практики в науке, имеют не только мировоззренческое, но и большое практическое значение. Ведь непонимание этих взаимоотношений или, во всяком случае, одностороннее их освещение было источником ошибок нигилистического порядка, нигилистических нападок на важные разделы науки.

Мы не будем останавливаться на вредных явлениях вульгарного научного нигилизма. Отметим лишь одно: какие бы эмоциональные формы они ни принимали — апломб дилетанта (а то и просто невежды или самоуверенного дурака), инстинкт самосохранения напуганного новым научного обывателя, злобный выпад завистливой научной бесплодности, самоупоение научного помпадура и прежде всего и чаще всего ограниченность (ограниченность всегда присутствует), ограниченность пусть даже добросовестная,— они всегда были направлены против того, чему в науке суждено было утвердиться: принципа относительности и теории квант, функционального анализа и математической логики, математических методов в экономике и кибернетики. «Свежо предание, а верится с трудом»... Оставим, однако, в покое эти малопривлекательные, неблагоухающие и бездарные тени прошлого.

Безусловно, справедливо было обвинение Лузитании в узости. Некоторые из самых молодых лузитанцев ничего не хотели признавать в математике, кроме «интеграла и тригонометрического ряда» и тонких вопросов дескрипции (это не относилось к таким людям, как, например, А. Я. Хинчин, В. В. Степанов или П. С. Урысон). Я тогда высказал — преувеличенное — мнение, что московские математики лучше интегрируют по Данжуа, чем по частям. Как-то одному из студентов, сдававшему экзамены С. А. Чаплыгину, нужно было решить задачу о движении отрезка; он спросил у С. А. Чаплыгина: «Отрезок с граничными точками или без них?» Все это было, конечно, результатом юношеской увлеченности и научной незрелости (см. [6]). Как же все-таки школа со сравнительно узкой тематикой стала базой для развития универсальной математической школы? Оказалось, что «прорыв» научного фронта, хотя бы на узком участке, имеет гораздо более широкое значение, чем может показаться с первого взгляда.

Высокий уровень на «узком основании» в начальный период развития научного центра представляет часто более благоприятную ситуацию для дальнейшего его развития, чем более низкий и равный уровень на более широком основании; можно сказать, что для оценки его начального положения метрика типа С может быть более естественна, чем «усредненная» метрика типа L. (Как близкое к этому явление отметим, что идущие на практическую работу студенты, имеющие более высокий уровень культуры в одной области математики, пусть более далекой от будущей темы работы, часто быстрее творчески овладевали нужным им для этой работы научным аппаратом, чем те, у которых был более низкий максимум научной культуры при лучшей подготовке в областях, более близких к этой теме работы.)

С другой стороны, основные понятия теории функций, возникшие в связи с традиционными задачами анализа и вначале применявшиеся именно к ним, вследствие своей общности получили гораздо более широкое значение. Мы видели логическую простоту и естественность аксиоматики меры и интеграла Лебега, поэтому они неоднократно переносились на различные объекты. На этих понятиях, например, у А. Н. Колмогорова построена аксиоматика теории вероятностей. Хаар перенес эти понятия на широкий класс топологических групп, что позволило перенести на них весь аппарат анализа — это привело к исследованиям Л. С. Понтрягина, а затем других авторов, структуры таких групп. Н. Винер создал аналог мероопределения Лебега на классах кривых, и оно получило у него применение к физике. Л. Г. Шнирельман создал аналог мероопределения в теории чисел и т. д. Само построение функционального анализа, как мы уже говорили, с его многочисленными применениями внутри математики и во внешнем мире, было возможно лишь на базе теории функций.

Наконец, «конструктивная» техника, развивавшаяся в теоретико-функциональной школе, имела и общематематическое значение. В том процессе поисков новой тематики, о котором мы говорили выше, московские математики теоретико-функциональной школы находили и в других областях математики задачи, решавшиеся привычными для них приемами. «Зацепившись»,. таким образом, в новой области, они обогащали свой технический аппарат приемами, ей свойственными, и становились в ней «хозяевами».

В математике есть объективные законы развития. Наша математика должна была «пройти» через теорию функций, как должна была позже «пройти» через функциональный анализ и другие области, нравилось ли это или не нравилось отдельным математикам. Конечно, часто субъективные вкусы мешают понять эти объективные законы.

Обвинение в узости можно было бросить многим другим направлениям и школам той эпохи. Это результат дифференциации в математике.. О. Ю. Шмидт в своем выступлении на Всесоюзном математическом съезде 1930 г. говорил: «Математика представляет собой одну из самых разветвленных наук, настолько разветвленных, что когда кто-нибудь делает математический доклад, то очень небольшое число присутствующих может судить о нем компетентно; это таит в себе опасность общего разброда, опасность заблудиться в дебрях леса, где напрасно расточаются силы и гибнут таланты»..

Ф. Клейн в «Вопросах элементарной и высшей математики» говорит о двух «направлениях» в развитии математики: «направлении А»— тенденции к дроблению, к самостоятельному изучению отдельных областей, и «направлении В» — синтетическом, придающем особое значение «связи между отдельными областями и многочисленными случаями их взаимного содействия». Проследив смену этих направлений в истории математики до конца XIX века, Ф. Клейн приходит к выводу, что «математика только тогда может равномерно развиваться, когда ни один из видов развития не будет оставаться в пренебрежении. Пусть каждый математик работает в том направлении, к какому лежит его сердце».

В первые десятилетия XX века в развитии математики в Москве преобладало направление А. Указанное пересечение основных понятий теории функций относится уже к направлению В, равно как и проводившиеся в конце 20-х и в начале 30-х годов исследования в областях, смежных для анализа и топологии, топологии и алгебры, анализа и теории вероятностей и т. д. К направлению В относится и развитие синтетических концепций функционального анализа и его широкое применение в разных разделах математики, равно как и развившееся за последнее десятилетие синтетическое направление, охватившее ряд областей алгебры, геометрии, топологии и анализа и т. д.

В последние годы для науки в целом характерным является появление синтетических дисциплин, смежных с прежде далекими друг от друга науками, включая математику.

С расширением тематики московской математики среди ее ведущих деятелей появились ученые самого широкого диапазона творческой работы. С другой стороны, есть и математики, получающие выдающиеся результаты в более ограниченной области. Согласимся с Ф. Клейном и скажем снова: «Больше математиков хороших и разных!» Но от тех, кто претендует на руководящую роль в математике в целом, мы вправе требовать широкого кругозора, высокой культуры математической и общей, понимания связей между математическими дисциплинами, между математикой и другими областями науки и жизнью. На протяжении 20-годов московских математиков часто упрекали в односторонней «теоретичности», в отсутствии связи с практикой. При этом напоминали о «героической» эпохе Эйлера, когда новые математические дисциплины рождались в связи с астрономией или механикой, о Чебышёве, который говорил: «Раньше математике давали задачи боги, потом полубоги (великие математики прошлого), а теперь сама жизнь».

В линейных нестационарных задачах решение состоит из суммы «инерционного члена», идущего из «прошлого», и возникающих «источников». Есть «героические» времена истории математики, когда много «источников», дающих порой начало совершенно новым направлениям математической работы, и есть более «спокойные» времена, когда преобладает инерционный член — развертывание тех направлений, источники которых в прошлом. В первые десятилетия XX века некоторые математики вздыхали о «героических» временах прошлого. Сейчас мы снова переживаем «героическое» время в математике, когда «источников» много, и традиционные области математической работы и применений окружены необъятной «математической целиной».

В начале 20-х годов в Москве, где еще недавно президентом Математического общества был Н. Е. Жуковский, традиции прикладной математической работы имели глубокие корни. Почему же они на время заглохли? Во-первых, работа в теоретической математике в гораздо меньшей степени зависит от материальной базы, чем в соседних физических науках; математика могла развиваться в самые трудные годы и вырваться на время вперед, ослабив свои связи с другими науками; во-вторых, задачи, стоявшие перед, страной в восстановительный период, не требовали «математической» мобилизации. Положение изменилось уже в годы первой пятилетки, тогда, как мы указывали, ряд математиков московской школы перешли на прикладную тематику; советские математики того поколения начинали свою работу часто в таких организациях, как ЦАГИ (М. В. Келдыш), Сейсмологический институт (С. Л. Соболев), вообще в механике (М. Г. Крейн); усилилось обратное воздействие прикладной работы на теоретическую математику, например, исследования А. А. Адронова по нелинейным колебаниям стимулировали в Москве работу по качественной теории дифференциальных уравнений.

В сборниках, посвященных математике за 10 лет (1917—1927) и за 15 (1917—1932), слабо представлены московские работы по уравнениям математической физики. Несомненно, увеличившийся размах прикладной работы способствовал быстрому развитию этих разделов анализа уже в 30-е годы; точно так же не случайными являются и возросшие тогда масштабы работы в области теории вероятностей: задачи физики явились исходным пунктом для важных разделов функционального анализа. Заимствованное из теории информации понятие энтропии стало одним из основных в теории приближений. Можно многократно увеличить число примеров, показывающих обратное воздействие математической практики на математическую теорию. С другой стороны, сохранение большого ствола общематематической работы позволяло в разные периоды направлять ответвления в те или иные области практики, связанные с разными областями математической теории. Было бы губительным для математической практики сегодняшнего и вчерашнего дня, если бы мы позавчера ограничили математическую работу теми разделами нашей науки, которые тогда имели применение.

Запросы смежных наук и практики к математике все расширялись: наряду с классическими областями анализа современная физика использовала такие его абстрактные разделы, как теория линейных операторов, причем запросы физики неоднократно обгоняли уровень математической теории; все возрастала роль статистических и вероятностных методов; некоторые новые области приложений, связанных с появлением электронно-вычислительной техники, относятся к прикладной математической логике и теории алгорифмов.

Помню, математиков часто упрекали тогда в «формализме». Теперь значительная часть математиков, работающих в НИИ, занятых новой тематикой, используется не столько как лица, умеющие решать те или иные задачи, а как обладающие более высокой культурой формализованного абстрактного мышления. Для того чтобы исследовать какой-либо процесс на вычислительной машине, нужно перейти от его содержательного описания к адекватному или приближенно адекватному — формализованному, здесь и возникает совместная работа математика с представителями других специальностей. Это исключительно важный этап работы, требующий не только математической, но и общей культуры; лишь после него математик может перейти к следующему этапу — выбору алгорифма для решения уже формализованной задачи.

Современная стадия развития науки и техники, связанная с «математизацией» все новых и новых их областей, характерна тем, что не только «алгорифмическая математика», но и «математика понятий» играет существенную роль в приложениях. Математика влияет не только «кладовой» своих приемов решений отдельных задач, но и самим характером своего мышления, выработанным именно в математике понятий. Многие общие математические понятия превратились в общенаучные, например понятие алгорифма (все время слышишь «алгорифм управления», «алгорифм перевода на другой язык», «алгорифм диагнозирования» и т. д.), понятия изоморфизма и модели — какое распространение получило построение моделей, изоморфных логически и неоднородных в физическом смысле данному явлению, и т. д. Не случайно, что первое поколение работавших в новых прикладных областях состояло главным образом из представителей «математики понятий»— теории функций, абстрактной алгебры, топологии, математической логики и т. д.

Мне пришлось беседовать с талантливым инженером, успешно работающим в новых областях техники, в свое время посещавшим лекции мехмата МГУ. На мой вопрос, что дало ему больше всего для его практической деятельности, он ответил: «Лекции по теории функций действительного переменного. Они дали мне культуру логического мышления». Ах, эта «описательная математика, или математика для дам»! Конечно, ни скептики, ни восторженные поклонники «математики понятий» не могли ждать такого оборота событий.

На этом я позволю себе закончить. Мы видим, что большая научная работа, как бы ни изменялась научная ситуация, не пропадала и что научные оптимисты оказывались чаще правы, чем научные пессимисты.

Цитированная литература

[1] Л. А. Люстерник, Молодость московской математической школы, УМН 22, вып. 2 (134) (1967).

[2] А. Н. Колмогоров, Теория функций действительного переменного, Сб. «Математика в СССР за XV лет», М.—Л., ГТТИ, 1932, 37—48.

[3] П. С. Александров и О. Н. Головин, Московское математическое общество, УМН 12, вып. 6 (78) (1957), 9-46.

[4] Л. А. Люстерник, Молодость Московской математической школы, УМН 22, вып. 1 (133) (1967), 137-161.

[5] Труды Всероссийского съезда математиков в Москве, 27 апреля — 4 мая 1927 г., М., Госиздат, 1928.

[6] Труды первого Всесоюзного съезда математиков (Харьков, 1930),М.—Л., ОНТИД936.

[7] Л. А. Люстерник, Теория и практика в современной математике, «Высшая школа», 1961.

 



Страница 9 из 11 Все страницы

< Предыдущая Следующая >