Статья Галины Ивановны Синкевич * Г. И. Синкевич  –  канд. физ.-мат. наук, доцент кафедры математики, Санкт-Петербургский архитектурно-строительный университет, Санкт-Петербург, Российская Федерация. опубликована в издании "История науки и техники", №12, 2015.

Приведена полная история проникновения идей Кантора в Россию, сведения о пересказах и переводах идей теории множеств с 1892 до 1985  гг., анализ этих изданий, интерпретация понятий и история поиска соответствующих терминов в русском языке,  а также сведения об их авторах и издателях –  И. Ю. Тимченко, С. О. Шатуновском, Б.К.Млодзеевском, П.А.Флоренском, А. В. Васильеве, В. Л. Некрасове, И.И.Жегалкине, Юшкевиче-отце, Юшкевиче-сыне, Ф. А. Медведеве. Публикуется неизвестная ранее информация о несостоявшемся издании трудов Кантора и о судьбе новосибирского математика А. И.  Фета – автора первого полного, но не изданного перевода. Кратко характеризуется развитие теории в России как в виде новых разделов теории,  появившихся только в XX в., так и непосредственное продолжение самой теории Кантора. Ключевые слова:  теория множеств; русский перевод; XIX–XX вв.

С 1872 по 1897 гг. Г. Кантор написал свои основные работы по теории множеств. Математики России, бывавшие в научных командировках в университетах Берлина, Геттингена, читавшие журнал Крелле (его по­лучали университеты Российской империи) Mathematische Annalen, Acta Mathematica, по­знакомились с идеями теории множеств. Постепенно идеи Кантора входили в научные исследования, преподавание, появлялись в пе­чати в виде пересказов и переводов. Мы рас­смотрим историю наследия Г. Кантора в России с 1892 по 1985 гг.

Вложения:

Теория множеств: пути в Россию

[ ]

357 Kb

Одесса. 1892 год. И.Ю. Тимченко

Первое упоминание о работах Г. Кантора в России (1892 г.) мы нашли у Ивана Юрьевича Тимченко (1863–1939), закончив­шего Новороссийский университет в 1885 г. И.Ю. Тимченко занимался астрономией, мате­матикой и историей математики, неоднократ­но ездил за границу для работы в библиоте­ках (в 1890, 1892, 1893, 1896 гг.). Темой маги­стерской диссертации И.Ю.Тимченко выбрал исторический анализ развития теории аналити­ческих функций. Его работа «Основания тео­рии аналитических функций» была опублико­вана в трех выпусках «Записок математическо­го отделения Новороссийского общества есте­ствоиспытателей» в 1892 и 1899 гг. и защище­на в 1899 г. [1, 2].

Это глубокое исследование охватывает пе­риод от античности до конца XIX в., в нем анализируется развитие основных идей, ру­ководивших теорией аналитических функций. Важнейшей из них является концепция непре­рывности и связанных с ней понятий окрест­ности и предельной точки. И.Ю. Тимченко от­дает дань Вейерштрассу в развитии понятия окрестности, равномерной сходимости рядов, и Георгу Кантору в геометрической трактов­ке концепции непрерывности, в его работах о линейных многообразиях. И.Ю. Тимченко указывает связь представления Г. Кантора о непрерывности («сплошности», как пишет И. Ю. Тимченко) с принципом непрерывно­сти Лейбница [1, с. 12]. И.Ю. Тимченко пи­шет: «Один из самых плодотворных прин­ципов новой математики – объединение или обобщение, – представление, устанавливаю­щее известный правильный переход от одной определенной группы математических объ­ектов к другим, в силу чего все они являются элементами одной и той же группы. Принцип этот очень важен во всех областях математи­ческих знаний, служа могущественным сред­ством для уяснения природы фактов и значи­тельно упрощая аналитические операции. Но совершенно особое значение приобретает это начало в приложении в таких случаях, когда элементы группы представляют из себя сплош­ную систему * Понятие о сплошности – одно из самых трудных основных математических понятий. Полное изложение его, по крайней мере, в приложении к системам известного рода, дано лишь недавно Георгом Кантором, см. Ueber unendl., lineare Punktmannigfaltigkeiten, Math. Ann. B. XXI 1883, 5, §10, pp. 572–576. Одна из первых попыток такого изложения сделана была еще Аристотелем с целью вы­яснить природу движения и опровергнуть парадоксы элеатов... – примечание И.Ю.Тимченко. , как это бывает в области непре­рывно изменяющихся конкретных величин. В таких случаях всегда полезно объединить дан­ную группу с производной * См. G. Cantor. Math. Ann. 1872 . T. V §2 или Acta Mathem. T. II, 4, 1883; Extention d'un theorem de la theorie des series trigonome-triques, p. 343 – примечание И.Ю. Тимченко. группой так назы­ваемых предельных элементов, не принадле­жащих к данной, но связанных с ней сплошно­стью. При известных ограничительных услови­ях свойства основной группы, изменяясь непре­рывно при переходе от одного элемента к дру­гому, распространяются на производную – это есть принцип, названный Лейбницем законом непрерывности» [1, с. 224, курсив оригинала]. Примечательно, что И. Ю. Тимченко обратился к самым ключевым работам Г. Кантора. Первая из них – это работа 1872 г. «Обобщение тео­ремы из теории тригонометрических рядов», где вводится новая концепция числа и поня­тие предельной точки (радостно подхваченное математиками, читавшими курсы анализа, на­пример, Г. Шварцем и У Дини [3]). Вторая, са­мая знаменитая – это Пятый Мемуар из цик­ла «О бесконечных линейных точечных много­образиях», состоящего из шести частей, опу­бликованных в 1879–1884 гг. В Пятом Мемуаре «Основы общего учения о многообразиях. Математически-философский опыт учения о бесконечном» содержатся все основные по­нятия и теоремы, в том числе понятия пусто­го множества, совершенного множества, кон­цепция действительного числа и ее сравни­тельный анализ с таковыми же концепция­ми Вейерштрасса и Дедекинда; введена шкала мощностей и поставлена гипотеза континуума.

Одесса. 1896 г. С.О. Шатуновский

Самуил Осипович Шатуновский (1859–1929) не получил систематического образо­вания, побывав студентом различных учеб­ных заведений в России и Швейцарии. Долгое время С.О.Шатуновский зарабатывал урока­ми в маленьких губернских городах. Он писал математические работы по основам геометрии и алгебры, аксиоматическому определению ве­личины; публиковался в российских и зару­бежных журналах и следил за математической жизнью Европы. С.О.Шатуновский появился в Одессе между 1891 и 1893 гг. (судя по публи­кациям в ВОФЭМ, * Вестник опытной физики и элементарной математики – журнал, выходивший в Одессе в 1886 по 1917 гг. где указывался город про­живания автора). Благодаря хлопотам одес­ских профессоров – Ярошенко, Слешинского, И.Ю.Тимченко и Кагана С.О.Шатуновскому было позволено в виде исключения сдать ма­гистерские экзамены, открывавшие дорогу к преподаванию [4]. Должность приват-доцента С.О.Шатуновский получил лишь на 47-м году жизни, а после 1917 г. стал профессо­ром Новороссийского университета. С 1905 г. С.О.Шатуновский читал математический ана­лиз, используя понятия и методы теории мно­жеств. Первые понятия математического анали­за изложены с позиции теории множеств, но рус­ская терминология отличается от современной, так, например, множество названо комплексом. Он дает систему построения вещественных чи­сел, вводит понятие сходящегося комплекса (плотного множества). Впервые вводится по­нятие устранимого разрыва функции. Его тер­минология самобытна, но изложение строго. Этот курс был литографирован в 1906-1907 гг. и переиздан в 1923 г. [5]. Слушателями курса были Г.М. Фихтенгольц, Д.А.Крыжановский, И.В. Арнольд. Несомненное влияние этого кур­са мы видим в «Основах математического ана­лиза» Г.М.Фихтенгольца (1888-1959), закон­чившего Новороссийский университет в 1911 г.

Поражает научное чутье С. О. Шатуновского при выборе работ для перевода. Он первым пе­ревел работы Р. Дедекинда «Непрерывность и иррациональные числа» (написана в 1872 г., пе­ревод С.О. Шатуновского в 1894 г.) и Г. Кантора «Об одном свойстве совокупности всех дей­ствительных алгебраических чисел» (написана в 1874 г., переведена в 1896 г.). Именно в этих двух работах создается новая концепция числа, ставшая основой математики XX в.

В Одессе с 1886 по 1917 гг. выхо­дил журнал «Вестник опытной физики и элементарной математики». В 1896 г. в 233 номере там была опубликована ста­тья О.С.Шатуновского «Доказательство су­ществования трансцендентных чисел (по Кантору)» [6]. С.О.Шатуновский изложил доказательства теорем из работы Г. Кантора 1874 г. «Об одном свойстве совокупности всех действительных алгебраических чисел», но с добавлением его более поздних достижений, в частности, понятия мощности, которое поя­вилось у Г. Кантора только в 1878 г. в работе «К учению о многообразиях».

С 1904 по 1925 гг. в Одессе существо­вало Издательство математической и фи­зической литературы «Матезис» (знание). Организаторами были преподаватели – ма­тематики Новороссийского университета

1. Ф. Каган, С.О. Шатуновский (научный ре­дактор), астроном А.Р. Орбинский и владелец типографии М.Ф. Шпенцер. Наряду с учеб­никами для средних и высших учебных заве­дений в издательстве выходили переводы но­винок зарубежной математики. В «Матезисе» несколько раз переиздавались названные ра­боты Р. Дедекинда и Г. Кантора в переводе
2. О. Шатуновского. Например, 4-е издание вышло в 1923 г. [7].

Москва. 1900 г. Б.К. Млодзеевский

Московские математики были в курсе науч­ных достижений Западной Европы благодаря поступлению литературы, научным команди­ровкам. Студенты для подготовки к магистер­скому званию по крайней мере один семестр слушали лекции в научных центрах Германии и Франции. Лекции, читаемые в Московском университете, включали в себя информа­цию о научных достижениях. Теорию функ­ций действительной переменной в Московском университете читал Болеслав Корнелиевич Млодзеевский (1858–1923). Благодаря теории множеств курсы математики и прежде всего те­ории функций перестраивались на новой осно­ве. Б.К.Млодзеевский использовал в качестве опорного курс Улисса Дини, который уже в 1870-е годы использовал результаты Г. Кантора в своем курсе. Впервые Б.К.Млодзеевский прочитал этот курс в осеннем семестре 1900 г. и читал еще несколько раз до 1908 г. [8].

В архиве П.А. Флоренского, тогда студен­та 3 курса математического факультета, был найден в 1902 г. Курс состоял из 29 лекций (три раза в неделю). Судя по конспекту, Ф.А.Медведев предполагает, что «Млодзеевский, по-видимому, не был в то время непосредственно знаком с трудами Г.Кантора. Фамилия последнего и многочисленные при­надлежащие ему теоретико-множественные и теоретико-функциональные результаты упоми­наются в лекциях неоднократно. Но судя по ха­рактеру этих упоминаний (отсутствие прямых ссылок на канторовские работы, указания, что те или иные соображения излагаются по одной из перечисленных выше работ и так далее), правдоподобно предположение, что к 1902 г. Б.К.Млодзеевский знал о работах Г. Кантора из вторых рук, главным образом по рабо­там П.Таннери, Ж.Таннери и А.Шенфлиса». В лекциях Б.К.Млодзеевского теория мно­жеств используется для изложения учения об аргументе функции. Рассматриваются точеч­ные множества («группы точек») и функции на них, вводится понятие предельной точки и про­изводного множества; разделение множеств на первый и второй род; формулируется теорема о равенстве нулю меры множества первого рода; верхней и нижней границы; понятие мощности множеств, счетности («счетовости») множеств рациональных и алгебраических чисел; равномощность континуумов разных измерений; счетность счетной суммы счетных множеств, несчетность континуума с упоминанием гипо­тезы континуума; совершенные множества; по­рядковый тип («порода»), полная упорядочен­ность («благоустроенная группа»); порядковые трансфинитные числа и алефы [8, с. 134, 138, 139].

Москва. 1904 г. П.А. Флоренский

Павел Александрович Флоренский (1882–1937), с 1900 по 1904 гг. был студентом матема­тического факультета Московского университе­та. В осеннем семестре 1902/03 учебного года он слушал курс лекций Б.К.Млодзеевского, из которого узнал о теории множеств Кантора. С 1903 г. П.А.Флоренский готовил диссерта­цию «Идея прерывности как элемент миросо­зерцания», предисловие к которой опубликова­но в Историко-математических исследованиях в 1986 г. [9]. В ней П.А.Флоренский пишет о канторовской трактовке непрерывности.

Второй раз П.А.Флоренский обратился к учению Г.Кантора в 1904 г. в работе «О симво­лах бесконечности (Очерк идей Кантора)» [10]. П.А.Флоренский поставил себе целью пере­сказать смысл работ Г.Кантора. Он излагает развитие понятий потенциальной и актуальной бесконечности в истории философии и перехо­дит к изложению теории трансфинитных чисел Кантора. При этом он в основном обращается к поздним работам Г.Кантора, которые тот напи­сал для философского обоснования своего по­нимания бесконечности и теории типов – «О различных точках зрения на актуально беско­нечное» 1886 г. и «К учению о трансфинитном» 1888 г. Начиная с IV по VII главы своего сочи­нения [10, с. 109–120], П.А.Флоренский пере­сказывает учение Г. Кантора о точечных мно­жествах («группах»), их «вполне определен­ности», упорядоченности («устроенности»), вполне упорядоченности («вообще устроен­ной группы», например, трехкратно упорядо­ченной), соответствие взаимное и однознач­ное, эквивалентность, в том числе для беско­нечных множеств («трансфинитных групп»), всюду плотные множества, порядковые типы, мощность и ее связь с эквивалентностью; эк­вивалентность целого и части для бесконеч­ных множеств; конечные (нетрансфинитные) и бесконечные множества; алгебра трансфи­нитных чисел, мощность счетного множества («счетовой группы») как наименьшее из трансфинитов, алеф-нуль, шкала («скала») алефов; классы типов. Учение Г.Кантора, хоть и в со­кращенном виде, изложено верно, преимуще­ственно это пересказ двух названных статей. П.А.Флоренский сосредоточился на фило­софском аспекте учения, тяготеющего к фило­софии религии. Он ставит Г.Кантору в заслу­гу введение символов актуальной бесконечно­сти. Далее П.А.Флоренский пытается понять научную мотивацию Г.Кантора, истоки кото­рой ищет в его биографии, хотя сам и признает, что «биографические данные о Канторе нигде не опубликованы и поэтому фактический мате­риал чрезвычайно скуден. Приходится интер­полировать чутьем, но, создав себе представ­ление о его личности, чрезвычайно затрудни­тельно доказать правомерность своего взгля­да». [10, с. 120, курсив оригинала]. Упорство и целенаправленность научного пути Г.Кантора П.А.Флоренский приписывает еврейской ре­лигиозности, усиленной до самопожертвова­ния. Мы можем учесть молодость двадцатид­вухлетнего П.А. Флоренского, взявшегося ин­терполировать, а точнее проецировать свои воззрения (и воззрения Вл. Соловьева) на вну­тренний мир незнакомого ему ученого, сме­шивая понятия национальности и религиозной принадлежности. Сейчас уже известно, что Г.Кантор был лютеранином, родившись в се­мье лютеранина-отца и матери-католички; что лишь его дед по мужской линии был иудеем, а в следующем поколении как отец, так и брат, и сестра, были лютеранами, еще одна из сестер отца была православной. Мужская линия восходит к португальским евреям, поселившимся в Копенгагене; женская линия – к австрийским чехам и венграм, католикам [11]. Имея роди­телей разных конфессий, Георг Кантор не был очень религиозен, а впоследствии, в поисках теологического обоснования понятий своей те­ории, он консультировался только с католиче­скими богословами, хотя апеллировал ко всей философской литературе, посвященной про­блемам бесконечности и континуума.

П. А. Флоренский полагал, что абсолютное постигается в символах и потому абсолютизи­ровал стремление Г.Кантора создать символы трансфинитов. «Если Кантор, как личность, яв­ляется живейшим образцом еврея, то его ми­ровоззрение носит характер того же едва ли не в большей степени». Вновь, смешивая эт­нические и конфессиональные характеристи­ки, П.А.Флоренский делает вывод, что именно поэтому Г.Кантор рассматривал актуальную бесконечность: «Идея законченной бесконеч­ности, как у абсолютной личности – Бога, так и у человеческой, есть достояние еврейства, а эта идея есть, кажется, самое существенное основание у Г.Кантора. В то время как дру­гие, арийцы, признают только потенциальную бесконечность, «дурную», неопределенное и неограниченное, его душе мысль о невозмож­ности актуальной бесконечности кажется чудо­вищной» [10, с. 126, 127].

Увлечение П.А. Флоренского философ­ской стороной теории Г.Кантора разделяли А.Ф.Лосев (хотя А.Ф. Лосев не читал самого Г.Кантора, в его статьях среди ссылок на ли­тературу присутствует только интерпретация учения Г.Кантора в статьях П.Таннери, но нет работ самого Г.Кантора) и другие московские философы [12].

К первому десятилетию XX в. учение Г. Кантора распространилось в математиче­ских кругах Европы и России. На его основе в работах Лебега, Бореля и Бэра зародилась тео­рия меры. В Москве с 1911 г. начинает форми­роваться школа теории функций, а затем и де­скриптивной теории множеств, у истоков кото­рой стояли Д.Ф.Егоров и Н.Н.Лузин.

Казань. 1904-1908 гг. А.В. Васильев

Александр Васильевич Васильев (1853–1929) с 1874 г. после окончания Петербургского университета работал в Казанском универси­тете сначала приват-доцентом, с 1887 г. – про­фессором. Его широкая образованность, зна­ние языков, многочисленные контакты с за­рубежными учеными позволили ему стать хо­рошим организатором и просветителем. Он занимался как научной, так и общественно­политической деятельностью, пропагандиро­вал идеи Н.И.Лобачевского, подготовив к из­данию собрание его сочинений. В Казани до 1855 г. работал дядя Георга Кантора, Дмитрий Иванович Мейер (1819-1856), известный юрист и создатель русского гражданского пра­ва [11]. В кабинете А.В.Васильева висели два портрета – Н.И.Лобачевского и Д.И.Мейера. А.В.Васильев был знаком с Г.Кантором по пе­реписке и пропагандировал его идеи.

С 1904 по 1908 гг. в издательстве Казанского университета выходит «Введение в анализ» А.В.Васильева с изложением начал теории множеств. Как пишет С.С.Демидов, «Мало-помалу курсы математического анализа на­чинают выстраиваться на современный лад.

Здесь первенство принадлежит математи­кам Одессы (С.О.Шатуновский), Киева (Б.Я.Букреев), Казани (А.В.Васильев)» [13, с. 77].

***

С момента появления учения Г. Кантора про­шло около 30 лет. За это время учение обогати­лось как трудами последователей, так и крити­кой оппонентов, благодаря чему приобрело за­конченную форму. Вся теория заключалась в 10 основных статьях Г. Кантора. Первая обоб­щающая монография Шенфлиса появилась в 1900 г., но и она была не полна. Необходимо было целостное изложение теории.

Теория множеств Кантора состоит из двух частей: теория линейных точечных множеств и теория трансфинитных чисел. Б.К.Млодзеевский разделил задачу целостно­го изложения теории между двумя диссертан­тами: В.Л.Некрасовым и И.И. Жегалкиным. В.Л.Некрасов должен был полно изложить те­орию точечных множеств, а И.И. Жегалкин – теорию трансфинитных чисел, и каждый дол­жен был добавить к изложению собственные результаты. Оба диссертанта справились с по­ставленными задачами. Б.К.Млодзеевский оп­понировал на обеих защитах. Обе защиты со­стоялись в 1908 г. И.И.Жегалкин защитился 12 марта, В.Л.Некрасов – 4 октября. Магистерские диссертации были изданы годом раньше и ста­ли первыми в России монографиями по теории множеств.

Москва-Томск. 1907 г. В.Л. Некрасов

Владимир Леонидович Некрасов (1864­–1922) окончил Казанский университет, где и был оставлен преподавателем, а в 1900 г. пе­реведен в открывшийся Томский технологи­ческий институт на кафедру чистой математи­ки. Для приготовления магистерской диссерта­ции с 1902 по 1903 гг. был в Европе в научной командировке. Его магистерская диссертация «Строение и мера линейных точечных обла­стей» * «Область» у Некрасова понимается как множество. была опубликована в 1907 г. в «Известиях Томского технологического института» [14].

Глава I содержит обстоятельный историче­ский очерк основных результатов теории мно­жеств и теории меры с исчерпывающим би­блиографическим обзором. Список литерату­ры расположен в хронологическом порядке от 1638 до 1907 года. В третьей главе «Новейшие работы» В. Л. Некрасов дополняет его литера­турой, появившейся к моменту поступления рукописи третьей главы в печать. Как пишет Н.Н.Круликовский, «До появления в 1928 году книги А. Френкеля «Введение в теорию мно­жеств», в которой библиография доведена до 1928 года, библиография В.Л. Некрасова была наиболее полной. В историческом обзоре про­является стремление автора отделить теорию точечных множеств от абстрактных множеств» [15, с. 24]. Мы можем видеть это из следую­щих слов В.Л. Некрасова: «Что касается раз­мера, то еще Cantor'ом было установлено, что точечные области могут быть конечны, счетны или иметь размер непрерывности. Выяснение же того, в каком отношении последний размер находится в ряду алефов, входит в задачи те­ории трансфинитных чисел и нас здесь не за­нимает». В.Л. Некрасов, начиная рассматри­вать историю от открытия бесконечно малых Ньютоном и Лейбницем, пишет, что «родона­чальником в современной теории областей был Bolzano, но развил и поставил ее на строго на­учную почву G. Cantor» [14, с. 2, курсив ориги­нала]. В третьей главе В.Л.Некрасов добавля­ет к числу предтеч и Галилея с его примером о соответствии бесконечных множеств нату­ральных чисел и их квадратов [14, с. 98, 225]. Как фундаментальные, В. Л. Некрасов выделя­ет введенные Г.Кантором понятия предельной точки и произвольного множества. Далее он приводит основные положения теории точеч­ных множеств, называя три основные характе­ристики линейных областей: размер, строение и меру.

Вторая глава содержит собственные резуль­таты В. Л. Некрасова по строению линейных множеств, соответствующих трем типам раз­мещений и их комбинациям как для замкну­тых, так и для открытых множеств. Структура точек разрыва функции является приложением результатов В.Л. Некрасова. Заметим, что В.Л.Некрасов, пожалуй, первым отметил при­оритет Улисса Дини в классификации точек разрыва. Третья глава содержит дополнения в виде новой литературы и исторического упо­рядочения развития идей теории множеств. В четвертой главе приведено учение о мере Лебега и В.Юнга, хотя начало теории меры Л.Некрасов выводит от Римана и Ганкеля. В.Л.Некрасов отмечает факт признания тео­рии Кантора: «Право на существование и роль учения об областях в общей системе науки яв­ляется упроченным: с этим учением считают­ся и в настоящее время нельзя уже избежать его влияния в целом ряде отделов анализа. И вся эта эволюция произошла в течение каких-нибудь 30-ти лет, не считая ее так сказать, дои­сторического периода» [14, с. 97, 102].

Благодаря тщательному историческому ана­лизу, скрупулезному изложению теории точеч­ных множеств Г.Кантора и собственным ре­зультатам В.Л.Некрасова монография сохра­нила значимость и по сей день.

Москва. 1907 г. И.И. Жегалкин

Иван Иванович Жегалкин (1869–1947) по­сле окончания Московского университета чи­тал в 1906–1907 гг. курс абстрактной теории множеств, в 1907 г. опубликовал монографию «Трансфинитныя числа» * Автор выражает признательность П.Н. Антонюку за подаренную монографию И.И. Жегалкина. [16], и в 1908 г. за­щитил на эту тему магистерскую диссерта­цию. Впоследствии он возглавил исследова­ния по математической логике, в которой по­лучил крупные результаты, связав классиче­скую логику и арифметику вычетов по модулю 2. Кольцо вычетов по модулю 2 называют ал­геброй Жегалкина. В последующих работах он доказал разрешимость исчисления одномест­ных предикатов.

В диссертации И. И. Жегалкин излагает алге­бру трансфинитных чисел Кантора по-своему, дедуктивно. Совсем нет списка литературы, только несколько упоминаний работ Г. Кантора, Р. Дедекинда, Э. Цермело и Бернштейна. Главным образом, дается переработанное из­ложение последней статьи Г. Кантора 1897 г.

«К обоснованию учения о трансфинитных множествах». И.И.Жегалкин иначе излагает вводную часть, надеясь избежать тех противо­речий теории, которые стали известны к началу XX в., связанных с проблемой вполне упорядо­чения и теоремы Цермело. Некоторые доказа­тельства Г. Кантора И. И. Жегалкин дополняет более строгими соображениями. Аксиома вы­бора была сформулирована Цермело в 1904 г. и вызвала немало споров. И.И. Жегалкин, учиты­вая эту полемику, разделяет положения теории множеств на зависящие и независимые от ак­сиомы выбора. Заслугой его является утверж­дение о независимости проблемы выбора от остальных постулатов математики, высказан­ное задолго до Серпинского и Геделя.

В первой главе И.И. Жегалкин пытается построить теорию количественных и поряд­ковых чисел до введения понятия конечного и бесконечного. Он вводит понятие конечно­го множества, упорядочения и полного упоря­дочения; понятие суммы, произведения и ото­бражения множеств, собственное понятие не­настоящего множества. Во второй главе рас­сматривает отношение эквивалентности, мощ­ности (как количественного числа), операции сложения, умножения и возведения в степень мощностей, чем заканчивает теорию мощно­стей. Третья и четвертая главы посвящены по­нятию упорядоченного множества и понятия типа, а также их свойствам. В пятой главе рас­сматривается вполне упорядоченное множе­ство и теорема Цермело (всякое множество можно мыслить вполне упорядоченным мно­жеством). И.И. Жегалкин доказывает возмож­ность упорядочить семейство множеств для случая попарно непересекающихся множеств (И.И. Жегалкин называет их обособленными), а именно: «Пусть M = {m} – какое угодно неу­порядоченное множество. Рассмотрим множе­ство всех его частей, которые будем обозначать символом М' причем «нуль-часть» исключаем из рассмотрения (но не само M). Мы мыслим, что в каждой части М' мы выбрали произволь­но какой-нибудь элемент т', который будем на­зывать «отмеченным» элементом этой части. В возможности мыслить это мы убеждаемся так: если М' – какая-нибудь часть, то каждый эле­мент ее, мыслимый как принадлежащий имен­но ей, а не иной какой части, дает новую вещь, совокупность которых образует множество N' , эквивалентное М'. Так как каждому М' со­ответствует свое N', то мы получаем систе­му уже обособленных множеств N'. Пусть P какое-нибудь определенное множество, в кото­рое входит по одному элементу из каждого N'.

Если теперь М'₁ определенная часть, то в P входит только один элемент из соответству­ющего ей множества N'₁, и этот элемент будет некоторый элемент т'₁ из М'₁, мыслимый в его принадлежности к М'₁. Его, то есть т'₁, мы и на­зовем отмеченным элементом в М'₁. Очевидно, как каждая часть имеет один определенный от­меченный элемент, так и для каждого элемен­та т'₁ найдется часть, в которой он отмечен, на­пример, особое множество из одного его само­го» [16, с. 149, 150, курсив оригинала].

В шестой главе исследуются свойства по­рядковых чисел, т. е. типов вполне упорядо­ченных множеств. И.И.Жегалкин подчерки­вает важность введения порядковых отноше­ний между ними, выделяя теорему о том, что всякое [порядковое] число есть тип множе­ства всех чисел, меньших его. Только после того, как построена теория количественного и порядкового числа, он рассматривает в седь­мой главе конечные множества и числа, из них как множество всех конечных чисел получа­ет в восьмой главе счетные множества. В де­вятой главе вводится сравнение мощностей; в десятой и одиннадцатой главах изучаются об­щие свойства типов счетных множеств (чи­сел второго класса по Кантору). Двенадцатая глава посвящена образованию последователь­ности алефов, в тринадцатой главе изучается мощность степени. Завершается монография перечислением известных к тому моменту па­радоксов. Фактически И.И.Жегалкин сделал попытку построить непротиворечивую и пол­ную арифметику трансфинитных чисел, но он базировался на понятии конечного множества, не определив его строго, и переносил отноше­ния между конечными числами на трансфиниты. Он исследовал также числа выше II класса, чего не было у Г.Кантора. В последней главе И.И.Жегалкин рассматривает теорему Кенига 1905 г. для счетного множества множителей и дает ее первое доказательство для любого ко­личества множителей [16, с. 337], до Журдена и Цермело. Анализ его доказательства сделал Ф.А.Медведев в работе [17, с. 228–233]

Московская школа теории функций и множеств

В 1910 г. в Московском университете начал работу семинар Д.Ф.Егорова по теории функ­ций, в 1911 г. с теоремы Егорова о равномер­ной сходимости началась история Московской школы теории функций, во главе которой сто­яли Д.Ф.Егоров и Н.Н.Лузин. Исследования Н.Н.Лузина создали новое направление – де­скриптивную теорию множеств, исследования его учеников развивали многочисленные на­правления на основе теории множеств – тео­рию меры, теоретико-множественную тополо­гию, функциональный анализ, теорию вероят­ностей и многие другие.

Петербург-Одесса. 1914 г. П.С. Юшкевич

Три основные работы Г. Кантора уже в пере­воде, а не в пересказе, вышли в 1914 г. С 1913 по 1915 гг. А. В. Васильев издавал в Петербурге серию «Новые идеи в математике». Он при­влек к переводу работ Г.Кантора филосо­фа и переводчика философской литературы Павла Соломоновича Юшкевича (1873–1945), отца Адольфа Павловича Юшкевича. Были переведены три самых характерных работы Г.Кантора, содержавшие квинтэссенцию его учения: «Основы общего учения о многообра­зиях» (Пятый Мемуар), «О различных точках зрения на актуально бесконечное» и «К учению о трансфинитном».

Мы почти не говорим здесь о личных кон­тактах русских ученых и Г.Кантора, упомя­нем лишь, что Г.Кантор был избран иностран­ным членом Харьковского математического об­щества.

Теория Кантора в первоначальном виде (наивная теория множеств) была перерабо­тана и послужила основой новых направле­ний теории функций, теории меры, функцио­нального анализа, теоретико-множественной топологии и многих других разделов матема­тики. Непосредственно к основам теории мно­жеств обращались отдельные русские матема­тики, среди которых назовем чувашского ма­тематика Исайю Максимовича Максимова (1889–1976), аспиранта Н.Н.Лузина, работав­шего в области теории множеств, теории чи­сел, теории функций и исследовавшего создан­ную им в 1930-е годы концепцию трансфинит­ного пространства.

Москва-Новосибирск. 1968 г. А.И. Фет. Драматическая судьба первого полного перевода Кантора на русский язык

Историю, которая сейчас будет рассказана, поведала мне в июне 2014 г. вдова первого пе­реводчика всех трудов Г.Кантора А.И.Фета, Людмила Павловна Петрова, проживающая в Новосибирске.

Абрам Ильич Фет (1924–2007), матема­тик, философ, публицист и блестящий пере­водчик, родился в Одессе, закончил Томский университет, в 1948 г. в Москве защитил кан­дидатскую диссертацию под руководством Л.А. Люстерника; в 1967 г. там же защитил докторскую, содержащую известный ныне ре­зультат: теорему Фета о двух геодезических. С 1955 г. работал в Новосибирске. Вот что на­писала мне Людмила Павловна (фрагменты письма публикуются с ее согласия): «Поскольку Вы занимаетесь Кантором и вообще историей, Вам, вероятно, будет ин­тересно узнать один эпизод из истории на­следия Кантора в России. А.И.Фет перевел не только биографию Кантора, написанную Френкелем, а все его сочинения. Перевод был сделан с издания: Georg Cantor, Ernst Zermelo, ed., Gesammelte Abhandlungen mathematischen und philosophischen inhalts, mit erlauternden anmerkungen sowie mit erganzungen aus dem briefwechsel Cantor-Dedekind, Berlin, Verlag von Julius Springer, 1932.

Это издание включает почти все, что на­писано Кантором. Кроме того, в приложении представлены 5 писем из переписки Кантора с Дедекиндом и биография Кантора, написанная А. Френкелем.

Перевод был сделан в 1969–1970 годах, для заработка, так как осенью 1968 года, после под­писания письма в защиту незаконно осужден­ных, А.И. Фет был изгнан с работы и оставался безработным до лета 1972 года.

Договор на перевод был заключен с мо­сковским издательством Физматлит на имя А.В.Гладкого, поскольку А.И. не имел права ни на какую работу. Когда перевод уже был го­тов и издательство начало работать над книгой, она была отвергнута комиссией Понтрягина (не перевод, а сама книга Кантора!)».

Л.С. Понтрягин (1908-1988), академик, сделавший большой вклад в тополо­гию и вариационное исчисление, в 1970 г. возглавил созданную им группу, входящую в секцию редакционно-издательского совета (РИСО) АН СССР «Главная редакция физико­математической литературы издательства «Наука». Вот что пишет он сам: «Еще до ор­ганизации группы секция приняла решение о переводе на русский язык собрания сочинений Г. Кантора. При повторном прохождении этого решения через секцию вопрос попал на груп­пу. Еще до того, как мы стали его рассматри­вать на группе, И. Р. Шафаревич при встрече в столовой сказал мне: «Кажется, я уже теперь не член секции * В результате конфликта, описанного Л.С. Понтрягиным, Шафаревич был исключен из секции. , и поэтому я хочу вас преду­предить относительно собрания сочинений Кантора. Кантору неправильно приписывает­ся вся заслуга в создании теории множеств. Фактически очень значительная часть была сделана Дедекиндом. Это можно видеть из пе­реписки Кантора с Дедекиндом. Так что следу­ет к сочинению Кантора приложить эту пере­писку».

Я стал думать об этом соображении Шафаревича и пришел к заключению, что со­чинения Кантора вообще издавать не следует, поскольку привлекать внимание молодых мате­матиков к теории множеств в настоящее время неразумно.

Теория множеств, очень популярная во вре­мена Лузина, в настоящее время уже утратила актуальность. Мое предложение было приня­то группой, и книга была отвергнута. Секция с нами согласилась сразу, и это несмотря на то, что перевод сочинений Кантора уже был сделан! Так что пришлось его оплатить». [18, с. 175].

Людмила Павловна добавляет: «Лев Семенович ошибается – перевод не был оплачен. Машинописный текст перевода 536 стр. на­ходится в домашнем архиве. Все формулы, вставки и цветные пометы для издательства сделаны рукой А.И. Фета.

Когда Ф.А. Медведев и А.П. Юшкевич переводили труды Кантора для издатель­ства «Наука», 1985, они не знали о суще­ствовании уже готового перевода Фета (или А.В. Гладкого)».

О мастерстве А.И. Фета как переводчика пи­шет Е.Н.Савенко:

«Проблема переводов волновала ученого на протяжении всей жизни. Выступая в 1997 г. на конференции, посвященной этому вопросу, он отмечал, что с 1960-х гг. в стране «началась эпоха безграмотных переводов» [19, с. 387]. По его мнению, причинами такого положе­ния были утрата умения отбора книг для пе­ревода и низкая квалификация переводчиков. Подразумевалось не столько плохое знание языка, сколько непонимание смысла переводи­мого текста из-за слабой гуманитарной подго­товки. Сам А.И.Фет – эрудит и интеллектуал – обладал уникальными способностями, необхо­димыми для качественных переводов: он точ­но распознавал значимые идеи и умел верно их формулировать» [20].

Л.П. Петрова добавляет: «Он говорил мне, что хорошим переводом математической книги считает такой, который улучшает ее. Сам А.И. рассматривал такие переводы как возможность хорошо узнать интересующую его книгу».

Добавление автора: я переводила с немец­кого языка первую биографию Г.Кантора, на­писанную его учеником Адольфом Френкелем. Но увидев перевод, сделанный А.И.Фетом, я была восхищена ярким и живым язы­ком, который делал текст полнокровным и эмоциональным, не искажая первоисточни­ка ни на йоту. Переводчики меня поймут. Этот перевод, как и другие работы А.И.Фета, мож­но найти в Интернете. Полагаю, что и перевод трудов Г.Кантора, сделанный А.И.Фетом, тоже следовало бы издать, хотя сейчас мы уже рас­полагаем очень хорошим переводом 1985 года.

Москва-Ленинград. 1985 г. Ф.А. Медведев

В феврале 1983 г. было закончено, а в 1985 г. вышло издание трудов Г.Кантора в Издательстве «Наука». Оно было подго­товлено А.Н.Колмогоровым (1903-1987) и А.П.Юшкевичем (1906–1993) и включало в себя основные его работы по теории мно­жеств, переписку Г.Кантора с Р.Дедекиндом и примечания Э. Цермело к немецкому изда­нию. Основным исходным текстом было изда­ние 1932 года под редакцией Э. Цермело [21]. В отличие от издания Э. Цермело, включавше­го в себя пять писем из переписки Г.Кантора и Р.Дедекинда, в русском издании 1985 г. при­водится в переводе Ф.А. Медведева 49 пи­сем из этой переписки по немецкому изданию Э. Нетер и Ж. Кавайеса [22].

Русское издание 1985 г. содержит три ста­тьи Г.Кантора («Основы общего учения о многообразиях», «О различных точках зре­ния на актуально бесконечное» и «К учению о трансфинитном») в переводе П.С.Юшкевича, изданные в 1914 г. в «Новых идеях в ма­тематике»; одиннадцать статей в перево­де Федора Андреевича Медведева, в том чис­ле «Принципы теории порядковых типов. Первое сообщение», не входившее в сборник 1932 г. под редакцией Э.Цермело, и найденное А.Граттан-Гиннессом в рукописи, хранящей­ся в институте Миттаг-Леффлера в Швеции и опубликованное им в 1970 г. [23]. Эта статья была написана Г.Кантором в 1884 г. для жур­нала Миттаг-Леффлера «Акта математика», но была отклонена как слишком философская.

Федор Андреевич Медведев (1923–1994) – математик и историк математики, всю свою жизнь посвятил истории теории множеств, автор четырех книг и многих статей по исто­рии теории множеств и о творчестве самого Кантора. Он не только тщательно перевел труды

Г. Кантора, его переписку с Р.Дедекиндом и комментарии Э. Цермело, но и добавил свои очень ценные замечания к работам Г.Кантора. Федор Андреевич был моим учителем, благо­даря ему я тоже стала исследователем истории учения Г.Кантора.

Судьба русских переводов Г.Кантора про­шла вместе с Россией ее историю XX века.

Список литературы

1. Тимченко И. Основания теории аналитиче­ских функций // Записки математического отделения Новороссийского общества Естествоиспытателей. Ч. I 1892 г. Т XII. Одесса. С. 1–256.

2.  Тимченко И. Основания теории аналитиче­ских функций // Записки математического отделения Новороссийского общества Естествоиспытателей. Продолжение I части. 1899. Т. XVI. С. 257–472.

3.  Синкевич Г.И. Улисс Дини и понятие непрерыв­ности // История науки и техники. 2012. № 10. С. 3–11.

4.  Чеботарев Н. Г. Самуил Осипович Шатуновский // УМН. 1940. VII. С. 315–321.

1. Шатуновский С.О. Введение в анализ. Одесса: Матезис. 1923. 260 с.

6.  Шатуновский О.С. Доказательство существова­ния трансцендентных чисел (по Кантору) // Вестник опытной физики и элементарной математики. 1896. № 233 (№5). С. 113–122.

1. Дедекинд Р. Непрерывность и иррацио­нальные числа. Перевел с немецкого профессор С. О. Шатуновский. 4-е исправленное издание со статьей переводчика: Доказательство существования трансцен­дентных чисел. Одесса. 1923. 46 с.

8.  Медведев Ф.А. О курсе лекций Б.К. Млодзеевского по теории функций действительного переменного, про­читанных осенью 1902 г. в Московском университете // Историко-математические исследования. Москва: Наука. 1986. XXX. С. 130–148.

9.  Флоренский П.А. Введение к диссертации «Идея прерывности как элемент миросозерцания» // Историко­математические исследования. Москва: Наука. 1986. XXX. С. 159–177.

10.  Флоренский П. Сочинения в четырех томах. Москва: мысль 1994 г. Т. I. С. 79–128.

11.  Синкевич Г.И. Георг Кантор & Польская школа теории множеств. Изд-во СПбГАСУ 2012. 356 с.

12.  Синкевич Г.И. Московские математики и фи­лософы первой трети XX века: дескриптивная теория множеств и проблема именования // Генеалогия ценно­стей в русской философии Серебряного века. Сборник научных трудов под редакцией М. И. Панфиловой, Е.А. Трофимовой. СПб: СПбГЭУ 2013. С. 444–456.

13.  Демидов С.С. Русские математики в Берлине во второй половине XIX-начале XX века // Историко­математические исследования. Москва: Янус-К. 2000. 5(40). С. 71–83.

14. Некрасов В.Л. Строение и мера линейных точеч­ных областей // Известия Томского технологического института. Томск. 1907. Т. 5. № 2. С. 1–102; Т. 6. № 3. С. 103–254.

15.  Круликовский Н.Н. Из истории развития мате­матики в Томске. Томск. 2006. 174 с.

1. Жегалкин И. Трансфинитныя числа. Москва: Университетская типография. 1907. (на внешней обло­жке и 1908 г. на титульном листе) 346 с.

17.  Медведев Ф.А. Ранняя история аксиомы выбора. Москва: Наука. 1982. 304 с.

18.  Понтрягин Л. С. Жизнеописание Л. С. Понтрягина, математика, составленное им самим. Рождения 1908 г., Москва. М.: Прима В, 1998. 340 с.

19. Фет А.И. Положение с переводами в России. Доклад А.И. Фета на конференции фонда Сороса, посвя­щенной проблемам перевода, Новосибирск, 1997.

20. Савенко Е.Н. Автор предпочел остаться неизвест­ным / Гуманитарные науки в Сибири. 2011. № 3.

21.  Cantor, Georg. Gesammelte Abhandlungen mathematischen und philosophischen inhalts, mit erlauternden Anmerkungen sowie mit Erganzungen aus dem Briefwechsel Cantor-Dedekind / Hrsg. Von Ernst Zermelo; Nebst einen Lebenslauf Cantors von Adolf Fraenkel. Berlin: Verlag von Julius Springer, 1932. 402 s.

22.  Briefwechsel Cantor – Dedekind / Hrsg. Von E. Noether, J. Cavailles. Paris. 1937. 60 s.

Grattan-Guinness, I. An unpublished paper of Georg Cantor «Prinzipien einer Theorie der Ordnunstypen. Erste Mitteilung» // Acta mathematica. 1970. Vol. 124. Pp. 81-101.