Москва. 1907 г. И.И. Жегалкин

Иван Иванович Жегалкин (1869–1947) по­сле окончания Московского университета чи­тал в 1906–1907 гг. курс абстрактной теории множеств, в 1907 г. опубликовал монографию «Трансфинитныя числа» * Автор выражает признательность П.Н. Антонюку за подаренную монографию И.И. Жегалкина. [16], и в 1908 г. за­щитил на эту тему магистерскую диссерта­цию. Впоследствии он возглавил исследова­ния по математической логике, в которой по­лучил крупные результаты, связав классиче­скую логику и арифметику вычетов по модулю 2. Кольцо вычетов по модулю 2 называют ал­геброй Жегалкина. В последующих работах он доказал разрешимость исчисления одномест­ных предикатов.

В диссертации И. И. Жегалкин излагает алге­бру трансфинитных чисел Кантора по-своему, дедуктивно. Совсем нет списка литературы, только несколько упоминаний работ Г. Кантора, Р. Дедекинда, Э. Цермело и Бернштейна. Главным образом, дается переработанное из­ложение последней статьи Г. Кантора 1897 г.

«К обоснованию учения о трансфинитных множествах». И.И.Жегалкин иначе излагает вводную часть, надеясь избежать тех противо­речий теории, которые стали известны к началу XX в., связанных с проблемой вполне упорядо­чения и теоремы Цермело. Некоторые доказа­тельства Г. Кантора И. И. Жегалкин дополняет более строгими соображениями. Аксиома вы­бора была сформулирована Цермело в 1904 г. и вызвала немало споров. И.И. Жегалкин, учиты­вая эту полемику, разделяет положения теории множеств на зависящие и независимые от ак­сиомы выбора. Заслугой его является утверж­дение о независимости проблемы выбора от остальных постулатов математики, высказан­ное задолго до Серпинского и Геделя.

В первой главе И.И. Жегалкин пытается построить теорию количественных и поряд­ковых чисел до введения понятия конечного и бесконечного. Он вводит понятие конечно­го множества, упорядочения и полного упоря­дочения; понятие суммы, произведения и ото­бражения множеств, собственное понятие не­настоящего множества. Во второй главе рас­сматривает отношение эквивалентности, мощ­ности (как количественного числа), операции сложения, умножения и возведения в степень мощностей, чем заканчивает теорию мощно­стей. Третья и четвертая главы посвящены по­нятию упорядоченного множества и понятия типа, а также их свойствам. В пятой главе рас­сматривается вполне упорядоченное множе­ство и теорема Цермело (всякое множество можно мыслить вполне упорядоченным мно­жеством). И.И. Жегалкин доказывает возмож­ность упорядочить семейство множеств для случая попарно непересекающихся множеств (И.И. Жегалкин называет их обособленными), а именно: «Пусть M = {m} – какое угодно неу­порядоченное множество. Рассмотрим множе­ство всех его частей, которые будем обозначать символом М' причем «нуль-часть» исключаем из рассмотрения (но не само M). Мы мыслим, что в каждой части М' мы выбрали произволь­но какой-нибудь элемент т', который будем на­зывать «отмеченным» элементом этой части. В возможности мыслить это мы убеждаемся так: если М' – какая-нибудь часть, то каждый эле­мент ее, мыслимый как принадлежащий имен­но ей, а не иной какой части, дает новую вещь, совокупность которых образует множество N' , эквивалентное М'. Так как каждому М' со­ответствует свое N', то мы получаем систе­му уже обособленных множеств N'. Пусть P какое-нибудь определенное множество, в кото­рое входит по одному элементу из каждого N'.

Если теперь М'₁ определенная часть, то в P входит только один элемент из соответству­ющего ей множества N'₁, и этот элемент будет некоторый элемент т'₁ из М'₁, мыслимый в его принадлежности к М'₁. Его, то есть т'₁, мы и на­зовем отмеченным элементом в М'₁. Очевидно, как каждая часть имеет один определенный от­меченный элемент, так и для каждого элемен­та т'₁ найдется часть, в которой он отмечен, на­пример, особое множество из одного его само­го» [16, с. 149, 150, курсив оригинала].

В шестой главе исследуются свойства по­рядковых чисел, т. е. типов вполне упорядо­ченных множеств. И.И.Жегалкин подчерки­вает важность введения порядковых отноше­ний между ними, выделяя теорему о том, что всякое [порядковое] число есть тип множе­ства всех чисел, меньших его. Только после того, как построена теория количественного и порядкового числа, он рассматривает в седь­мой главе конечные множества и числа, из них как множество всех конечных чисел получа­ет в восьмой главе счетные множества. В де­вятой главе вводится сравнение мощностей; в десятой и одиннадцатой главах изучаются об­щие свойства типов счетных множеств (чи­сел второго класса по Кантору). Двенадцатая глава посвящена образованию последователь­ности алефов, в тринадцатой главе изучается мощность степени. Завершается монография перечислением известных к тому моменту па­радоксов. Фактически И.И.Жегалкин сделал попытку построить непротиворечивую и пол­ную арифметику трансфинитных чисел, но он базировался на понятии конечного множества, не определив его строго, и переносил отноше­ния между конечными числами на трансфиниты. Он исследовал также числа выше II класса, чего не было у Г.Кантора. В последней главе И.И.Жегалкин рассматривает теорему Кенига 1905 г. для счетного множества множителей и дает ее первое доказательство для любого ко­личества множителей [16, с. 337], до Журдена и Цермело. Анализ его доказательства сделал Ф.А.Медведев в работе [17, с. 228–233]

Московская школа теории функций и множеств

В 1910 г. в Московском университете начал работу семинар Д.Ф.Егорова по теории функ­ций, в 1911 г. с теоремы Егорова о равномер­ной сходимости началась история Московской школы теории функций, во главе которой сто­яли Д.Ф.Егоров и Н.Н.Лузин. Исследования Н.Н.Лузина создали новое направление – де­скриптивную теорию множеств, исследования его учеников развивали многочисленные на­правления на основе теории множеств – тео­рию меры, теоретико-множественную тополо­гию, функциональный анализ, теорию вероят­ностей и многие другие.

Страница 8 из 12 Все страницы